空間解析幾何作圖的若干結(jié)論及其應(yīng)用

欒金鳳

【摘要】空間解析幾何是高等數(shù)學(xué)課程中最重要和最基礎(chǔ)的內(nèi)容.由于受空間想象能力所限，學(xué)生認(rèn)為空間解析幾何題較難.本文對(duì)柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面和曲線在坐標(biāo)面上的投影分別進(jìn)行了總結(jié).掌握這些結(jié)論，考生不再畏懼此類題，同時(shí)這四個(gè)結(jié)論可以很好地建立代數(shù)與幾何之間的橋梁.

【關(guān)鍵詞】柱面;旋轉(zhuǎn)曲面;二次曲面;伸縮法;曲線;投影

在高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何把向量作為基本出發(fā)點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，建立空間圖形，為學(xué)習(xí)多元函數(shù)的圖像和多元函數(shù)微積分的內(nèi)容做了一個(gè)很好的鋪墊.

空間解析幾何主要解決兩個(gè)基本問題：（1）已知一曲面，建立該曲面的方程;（2）已知一方程，研究該方程表示的圖形的形狀.柱面和二次曲面屬于問題（2）;旋轉(zhuǎn)曲面和曲線在坐標(biāo)面上的投影屬于問題（1）.由于空間解析幾何內(nèi)容的重要性和為讓學(xué)生在課堂上很好地掌握這部分知識(shí)，本文提出了結(jié)論1、結(jié)論2、結(jié)論3和結(jié)論4.這些結(jié)論具有簡(jiǎn)便、容易記憶的特點(diǎn).

一、柱面

定義1：一般地，直線L沿定曲線C平行移動(dòng)形成的軌跡叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫做柱面的母線.

結(jié)論1：柱面方程中不含什么字母，在相應(yīng)的圖形中，母線平行于該字母所對(duì)應(yīng)的軸.

在三維空間中，方程F（x，y）=0中不含字母z，則應(yīng)用結(jié)論1，柱面圖形中的母線平行于z軸（如圖1）.

圖1 柱面

例1 下列曲面中，（? ）的母線與z軸平行.

A.z=1

B. x2+y2+z=1

C.x2+y2+z2=1

D. x2+y2=1

解 從四個(gè)選項(xiàng)中可以看出，只有D選項(xiàng)方程中不含字母z，應(yīng)用結(jié)論1，可知選D.

二、旋轉(zhuǎn)曲面

定義2：一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲面和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸.

結(jié)論2：坐標(biāo)面上曲線L繞什么軸旋轉(zhuǎn)一周，方程中該軸所對(duì)應(yīng)的字母不變，另一個(gè)字母用正負(fù)根號(hào)下其他兩個(gè)字母的平方和來代替，所得的方程就是旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

如圖2，坐標(biāo)面yOz上曲線F（y，z）=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，方程中字母z不變，另一個(gè)字母y用±x2+y2來代替，所得的方程F（±x2+y2，z）=0就是旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

圖2 旋轉(zhuǎn)曲面

例2 旋轉(zhuǎn)曲面x2-y2-z2=1是（? ）.

A.xOy平面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得

B.xOy平面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得

C.xOy平面上的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)所得

D.xOy平面上的橢圓繞z軸旋轉(zhuǎn)所得

解 四個(gè)選項(xiàng)均是從xOy坐標(biāo)面上出發(fā)考慮，所以把z=0代入旋轉(zhuǎn)曲面方程x2-y2-z2=1中得雙曲線方程x2-y2=1，排除C和D.應(yīng)用結(jié)論2，若該雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)，方程中字母x不變，另一個(gè)字母y用±y2+z2來代替，這樣雙曲線方程x2-y2=1就變成旋轉(zhuǎn)曲面方程x2-y2-z2=1了，故選A.

三、二次曲面

定義3：三元二次方程F（x，y，z）=0所表示的曲面稱為二次曲面.

分析二次曲面圖形往往用到截痕法和伸縮法，其中伸縮法較難.下面對(duì)伸縮法給出結(jié)論.

結(jié)論3：原圖形沿什么軸伸縮為原來的λ倍，方程中該軸所對(duì)應(yīng)的字母就除以λ，其余的不變，就可以得到新圖形所對(duì)應(yīng)的方程.

為說明結(jié)論3的正確性，下面用maple數(shù)學(xué)軟件作圓x2+y2=1和橢圓x24+y2=1的圖像，如圖3.

應(yīng)用結(jié)論3，圓x2+y2=1變成橢圓x24+y2=1，圓沿x軸方向伸長(zhǎng)為原來的2倍，圓的方程中字母x除以2，而y不變，即得橢圓方程.

圖3 圓和橢圓

例3 分析方程x2+y2+z2=1所對(duì)應(yīng)的球面圖形變成橢球面圖形所對(duì)應(yīng)的方程x222+y2+z20.52=1的過程.

解 應(yīng)用結(jié)論3，首先球面x2+y2+z2=1沿x軸方向伸長(zhǎng)為原來的2倍，方程x2+y2+z2=1中字母x除以2，其余不變，得到圖形所對(duì)應(yīng)的方程為x22+y2+z2=1;然后該圖形沿z軸方向縮短為原來的0.5，同樣方程x22+y2+z2=1中字母z除以0.5，其余不變，得到橢球面所對(duì)應(yīng)的方程x22+y2+z0.52=1.

四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

結(jié)論4：考慮曲線在什么坐標(biāo)面的投影方程，需把另一個(gè)字母消去得到一個(gè)方程，同時(shí)令消去的字母等于0，建立方程組就是投影方程.

例4 設(shè)曲線C的一般方程是z=4-x2-y2，z=3（x2+y2），求曲線C在xOy坐標(biāo)面上的投影C′的方程.

解 應(yīng)用結(jié)論4，要求曲線C在xOy坐標(biāo)面上的投影C′的方程，

需把另一個(gè)字母z消去，

得到方程x2+y2=1，

同時(shí)令消去的字母z=0，

得到投影曲線C′的方程x2+y2=1，z=0.

例5 求螺旋線x=acos θ，y=asin θ，z=bθ在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程.

解 應(yīng)用結(jié)論4，螺旋線在xOy坐標(biāo)面上的投影，由方程組的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程得x2+y2=a2，同時(shí)令z=0，得到投影曲線的方程為x2+y2=a2，z=0;

應(yīng)用結(jié)論4，螺旋線在yOz坐標(biāo)面上的投影，由方程組的第二個(gè)方程和第三個(gè)方程得y=asin zb，同時(shí)令x=0，得到投影曲線的方程為y=asin zb，x=0;

應(yīng)用結(jié)論4，螺旋線在zOx坐標(biāo)面上的投影，由方程組的第一個(gè)方程和第三個(gè)方程得x=acos zb，同時(shí)令y=0，得到投影曲線的方程為x=acos zb，y=0.

有時(shí)解決問題需要用到結(jié)論1、結(jié)論2、結(jié)論3和結(jié)論4中的幾個(gè)才能完成，如下面例6.

例6 分析雙曲柱面x2-y24=1圖形變成雙葉雙曲面x2-y24-z25=1圖形的過程.

解 雙曲柱面的方程x2-y24=1中不含字母z，應(yīng)用結(jié)論1，柱面的母線平行于z軸;

雙曲柱面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，應(yīng)用結(jié)論2，得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程是x2-y2+z24=1;

然后再應(yīng)用結(jié)論3，旋轉(zhuǎn)曲面沿著z軸方向伸長(zhǎng)為原來的52倍，得到雙葉雙曲面x2-y24-z25=1的圖形.

結(jié)束語

本文主要論述有關(guān)幾何的簡(jiǎn)便、容易記憶的四個(gè)結(jié)論，提供了有關(guān)空間解析幾何中最難部分（柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影）出現(xiàn)的一些題目的解決方法，希望能夠?qū)處煹慕虒W(xué)工作、學(xué)生掌握這部分內(nèi)容有所幫助.

【參考文獻(xiàn)】

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