分塊矩陣及其相關應用

岳　靖， 劉　紅

(安徽理工大學，安徽 淮南 232001)

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分塊矩陣及其相關應用

岳靖， 劉紅

(安徽理工大學，安徽 淮南 232001)

摘要：介紹了分塊矩陣的概念及性質(zhì), 討論了分塊矩陣在矩陣的求逆，在某些有關矩陣的計算和證明問題中的應用。最后給出了分塊矩陣的一般性結論。

關鍵詞：分塊矩陣；矩陣的逆；矩陣的秩

0引言

分塊矩陣是處理矩陣的一種重要的方法，其中有許多技巧在一些計算和證明的問題中都是非常有用的，比如在高階行列式的計算，求矩陣的逆矩陣、求矩陣的特征值等一些問題都可以利用分塊矩陣使得計算簡化，尤其是某些結論的證明中如果能將所討論的矩陣作適當?shù)姆謮K，就可以使其變得更加清晰明快。所以，對分塊矩陣有關技巧進行深入總結和分析是個非常有意義的事情。本文主要介紹了分塊矩陣的概念和一些重要性質(zhì)，以及分塊矩陣的幾個綜合應用。

1矩陣分塊

1.1分塊矩陣的定義與基本運算

定義1 將矩陣分成若干小矩陣，每個小矩陣稱為原矩陣的子塊，以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。

分塊矩陣的運算在形式上和數(shù)字矩陣的運算一樣，只要進行運算的矩陣的分塊適當，分塊矩陣有類似于普通矩陣的運算法則,矩陣分塊的方法很多，究竟采用什么樣的分塊方法，需要根據(jù)問題進行適當?shù)倪x取。

分塊矩陣的加法：設A,B都是m×n矩陣，并且對A,B用同樣的方法進行分塊：

其中每個Aij,Bij都是mi×nj小矩陣，即Aij,Bij是同型矩陣，則：

不難驗證這個分塊矩陣作為數(shù)字矩陣恰為A+B。 應注意的是利用分塊法對兩個同型矩陣進行加法運算時，兩個矩陣必須采用相同的分塊法(即行的分法完全一致,列的分法也完全一致),這樣才能保證每個位置上對應的塊都是同型的。

分塊矩陣的數(shù)量乘法：

分塊矩陣的乘法：設A,B為同級矩陣,并且A的列的分法與B的行的分法相同，也就是說對于每個k,Aik的列數(shù)與Bkj的行數(shù)相同。

定義A,B的乘積為：

分塊矩陣的乘法類似于矩陣的乘法,應該特別注意：矩陣A的列分法必須與矩陣B的行分法一致。

分塊矩陣的轉置：對于一有rs塊的分塊矩陣

值得注意的是：轉置時，每一個小塊也要轉置，并且它的位置也要行列對調(diào)(即行轉化為列，列轉化為行)。

1.2分塊矩陣的初等變換

對分塊矩陣實行以下三種變換，稱為初等變換.(1)互換分塊矩陣的某兩行(列)；(2)用一個非奇異陣左(右)乘分塊矩陣的某一行(列)；(3)用一個非零陣左(右)乘分塊矩陣的某一行(列)加至另一行(列)上。

2分塊矩陣的相關計算

2.1利用分塊矩陣求逆矩陣

求一個矩陣的逆矩陣時，一般我們可以通過求其伴隨矩陣和矩陣行列式來求得結果。但對一些矩陣，如果我們對其進行適當?shù)姆謮K，并利用一定的結論可以使問題更加輕松的得到解決。以下給出兩個常用的結論：

利用初等變換來求分塊矩陣的逆矩陣和利用初等變換求矩陣的逆矩陣，方法基本相同，所不同的是：

(1)對(A,In)中的子塊In必須施行分塊初等變換，使得A是一個分塊單位矩陣；

(2) 把“子塊作為元素”處理時，必須遵守左行右列的規(guī)則，即變行必須左乘，變列必須右乘。

下面介紹一些可逆分塊矩陣的簡單方法:

解:因為

所以

2.2矩陣的分塊零化方法及其應用

引理1對分塊矩陣施行一次分塊初等行變換，相當于在這個矩陣左邊乘以一個對應的分塊初等矩陣；施行一次分塊初等列變換相當于在這個矩陣右邊乘以一個對應的分塊初等矩陣。這里所說的對應的分塊初等矩陣是指變化方式一致且分塊方式能保障乘法有意義的分塊初等矩陣。

推論1設矩陣A，D分別為r和n-r階方陣，若A可逆，則有

推論2設A與D是同階方陣,則A可逆時，

D可逆時，

推論3設A與D是同階方陣，若A可逆，且AC=CA時，

3分塊矩陣的相關證明

3.1慣性定理中唯一性的證明

慣性定理敘述：任意一個實數(shù)域上的二次型，經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。下面我們利用分塊矩陣來證明它的唯一性。

引理2設A為m×n實矩陣，則下式成立：r(ATA)=r(A)=r(AAT)。

因此

r(A)=r(ATA)

同理可得r(A)=r(AAT)，故r(A)=r(AAT)=r(ATA)。

現(xiàn)在我們用矩陣形式表述慣性定理中的唯一性，并加以證明。

證明：若有兩個標準形

則它們之間合同，即存在非奇異矩Q使得

(1)

r(KTK)=r(GTG)=r(G)=s。

另一方面，r(KTK)≤r(K)≤p≤s,二者矛盾。同理s

3.2矩陣秩的分塊不等式證明

定理1設A是數(shù)域P上n×m矩陣，B是數(shù)域P上m×s矩陣，則

秩(AB)≤min[秩(A)，秩(B)]。

證明該定理的方法很多，下面用分塊矩陣的方法證明。

從這個式子很容易看出AB的行向量是B的行向量的線性組合，因而有秩(AB)≤秩(B);

秩(AB)≤min[秩(A)，秩(B)]。

下面我們證明Sylvester不等式(即下面的定理2). Sylvester不等式是關于矩陣秩的一個重要不等式。其證明方法也不唯一，而利用構造分塊矩陣的方法來證明該不等式是最簡單的方法之一，且思路會變得清晰明了，下面我們給出證明。

先給出下面3個基本事實，它們的證明可參看[1]。

引理1對矩陣進行初等變換不改變矩陣的秩。

引理2設A、B為任意兩個矩陣，則有

引理3設向量組a1,a2,L,an的秩為r,在其中任取m個向量ak1,ak2,L,akm,，則向量組ak1,ak2,L,akm的秩≥r+m-n。

定理2設A、B分別是s×n，n×m矩陣，則Sylvester不等式成立，即

秩(AB)≥秩(A)+秩(B)-n

證明: 設r(A)=r1,r(B)=r2,則存在可逆矩陣P1,Q1,P2,Q2使

r(A)+r(B)-n≤r(AB)。

3.3證明有關矩陣秩的等式

例1設A是n×s實矩陣，求證秩(En-A′A)-秩(Es-AA′)=n-s。

故有秩(En-A′A)+s =秩(H)。即秩(Es-AA′)+n=秩(En-A′A)+s，所以秩(En-A′A)-秩(Es-AA′)=n-s。

在學習特征值、特征向量時，我們會經(jīng)常討論矩陣AB與BA之間的關系，通過對該等式我們知道AB與BA具有相同的特征多項式，從而我們會得到許多相關的性質(zhì)，下面我們給出利用分塊矩陣的證明，從而再次體會分塊矩陣所起的巧妙作用。

例2設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，證明AB的特征多項式fAB(λ)與BA的特征多項式fBA(λ)有如下關系式：λnfAB(λ)=λmfBA(λ)

一方面，

(3)

另一方面，

(4)

將(3)(4)兩式兩邊同時取行列式可得

例3(Frobenious不等式) 設A,B,C分別為m×n,n×s,s×1矩陣，

r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)。

證明：上式變形為r(ABC)+r(BC)-r(B),而利用矩陣的一系列初等變換

如下所示：

所以

故 r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)。

[參考文獻]

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[2] 丘維聲.高等教育學習指導用書[M], 北京:清華大學出版社，2005.

[3] 陳公寧.矩陣理論與應用[M], 北京:北京科學出版社，2007.

[4] 秦小二.分塊矩陣的幾種用法[J].數(shù)學教學與研究,2007，41(2):68-69．

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[6] 徐天保.分塊矩陣的應用[J]，安慶師范學院學報:自然科學版，2010，16(2):105-108．

[7] 李佳榮.高等代數(shù)的方法研究[M]，香港：香港亞太經(jīng)濟出版社，2001.

中圖分類號：O177.5

文獻標識碼：A

文章編號：2095-0063(2015)06-0051-07

收稿日期：2015-09-27

作者簡介：岳靖(1991-)，男，安徽淮南人，碩士研究生，從事矩陣及其應用研究。

DOI10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2015.06.013