線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程Euler方法的收斂性

王煥許， 張博洋，柴　暢，王　爍

(綏化學(xué)院 信息工程學(xué)院，黑龍江 綏化 152061)

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線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程Euler方法的收斂性

王煥許， 張博洋，柴暢，王爍

(綏化學(xué)院 信息工程學(xué)院，黑龍江 綏化 152061)

摘要：研究線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程的數(shù)值解的收斂性，采用的是Euler方法，在處理線(xiàn)性項(xiàng)的矩陣時(shí)，證明的方法主要應(yīng)用了矩陣歐幾里得范數(shù)，從而達(dá)到要研究線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的收斂性的目的，這也是本文解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)延遲微分方程；Euler方法；收斂性；數(shù)值解；矩陣歐幾里得范數(shù)；

1引言與預(yù)備

考慮n維的線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程

(1)

其中B(t)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

由隨機(jī)微分的定義， 此方程等價(jià)于下面的積分方程

(2)

yn+1=yn+(Ayn+Byh([nh]))h+(Cyn+Dyh([nh]))ΔBn

(3)

其中 n=0,1,2,…,并且ΔBn=B(tn)-B(tn-1)，yn是x(tn)的近似解，而yh([nh])是x([nh])的近似解，為了計(jì)算簡(jiǎn)便易懂，令n=km+l(k=0,1,2,…,l=0,1,2,…,m-1)，因此(3)可以簡(jiǎn)化為下面的格式，

ykm+l+1=ykm+l+(Aykm+l+Bykm)h+(Cykm+l+Dykm)ΔBkm+l

(4)

其中ΔBkm+l=B(tkm+l)-B(tkm+l-1)，ykm+l是x(tkm+l)的近似解，而ykm是x([tkm+l])的近似解。把(4)進(jìn)行連續(xù)化得到下面的式子，

(5)

其中對(duì)于t∈[tkm+l,tkm+l+1),z(t)=ykm+l,z([t])=ykm.

2Euler方法的收斂性

下面給出線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的收斂性。首先給出兩個(gè)引理。

引理1存在一個(gè)正數(shù)C1使得方程(1.2) 的解和連續(xù)的歐拉方法的數(shù)值解(5)滿(mǎn)足

(6)

其中C1=C1(T,L2)是與h無(wú)關(guān)的常數(shù)。

證明 由(5)可得

由H¨older 不等式可得

對(duì)于所有0≤t≤T，得到

通過(guò)Doob's 鞅不等式, 得到

因此，有

由Gronwall不等式得到

其中C1=3E|x0|2exp{6(T|A|2+T|B|2+4|C|2+4|D|2)}.

同理可得

其中C1=3E|x0|2exp{6(T|A|2+T|B|2+4|C|2+4|D|2)}. 證畢。

引理2 存在一個(gè)正數(shù)C2使得下面的式子成立

(7)

其中C2=C2(T,L2)是與h 無(wú)關(guān)的常數(shù)。

證明 對(duì)于t∈[0,T]，則存在兩個(gè)常數(shù)k,l使得t∈[tkm+l,tkm+l+1)，那么

y(t)=ykm+l+(Aykm+l+Bykm)(t-tkm+l)+(Cykm+l+Dykm)(B(t)-B(tkm+l))

因此，

|y(t)-z(t)|2=|ykm+l+(Aykm+l+Bykm)(t-tkm+l)

+(Cykm+l+Dykm)(B(t)-B(tkm+l))-ykm+l|2

≤|(Aykm+l+Bykm)(t-tkm+l)+(Cykm+l+Dykm)(B(t)-B(tkm+l))|2

對(duì)上面的式子取期望得到

E|y(t)-z(t)|2≤4|A|2h2|ykm+l|2+4|B|2h2|ykm|2+2h|Cykm+l+Dykm|2

因而，可得

E|y(t)-z(t)|2≤4|A|2h2|ykm+l|2+4|B|2h2|ykm|2+2h|Cykm+l+Dykm|2

≤4|A|2h2|ykm+l|2+4|B|2h2|ykm|2

+4|C|2h|ykm+l|2+4|D|2h|ykm|2

≤4(|A|2h2+|C|2h)E|ykm+l|2+4(|B|2h2+|D|2h)E|ykm|2

≤4(|A|2h2+|C|2h)C1+4(|B|2h2+|D|2h)C1

因此，

其中C2=4C1(|A|2T+|C|2+|B|2T+|D|2). 證畢。

定理1方程(1)歐拉方法的數(shù)值解收斂到其精確解

(8)

證明 由(2)和 (3)得

由H¨older 不等式有

對(duì)于所有0≤t≤T，得到

通過(guò)Doob's 鞅不等式, 得到

因此，有

≤8{T(|A|2+|B|2)+2(|C|2+|D|2)}C2h

≤8{T(|A|2+|B|2)+2(|C|2+|D|2)}C2h

由Gronwall 不等式可得

這里C3={8T(|A|2+|B|2)+16(|C|2+|D|2)}C2exp8{T(|A|2+|B|2)+2(|C|2+|D|2)}

因此，

證畢。

3結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文給出了線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的收斂性，應(yīng)用的是Euler方法，方法是把離散的數(shù)值格式進(jìn)行連續(xù)化后來(lái)進(jìn)行證明，使得證明過(guò)程更加簡(jiǎn)潔明了，針對(duì)隨機(jī)延遲微分方程的Euler方法已經(jīng)有人給出，但是關(guān)于線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)延遲微分方程還沒(méi)有研究，本文就是針對(duì)這類(lèi)方程給出了其數(shù)值解的收斂性，這為以后繼續(xù)研究線(xiàn)性分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程解析解和數(shù)值解的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)并提供理論根據(jù)。

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中圖分類(lèi)號(hào)：TN911.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-0063(2015)06-0047-04

收稿日期：2015-09-01

基金項(xiàng)目：綏化學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目：一類(lèi)分段連續(xù)型隨機(jī)模型的Euler算法。

作者簡(jiǎn)介：王煥許(1965-)，男，黑龍江綏化人，教授，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

DOI10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2015.06.012