非慣性系中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律

孫爾林

人們把參考系進(jìn)行了分類，凡是牛頓第二定律能夠適用的參考系稱為慣性參考系，反之，牛頓第二定律不適用的參考系稱為非慣性參考系.牛頓第二定律所謂是否適用，我們考慮的因素實(shí)際上是力的產(chǎn)生條件，如果具備力的產(chǎn)生條件，則必然符合牛頓第二定律.通過總結(jié)，人們發(fā)現(xiàn)，凡是相對(duì)地面靜止或者做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系都是慣性參考系，而相對(duì)于地面做變速運(yùn)動(dòng)的參考系是非慣性參考系；在眾多的慣性參考系中，相對(duì)地面靜止的慣性參考系具有特殊的優(yōu)點(diǎn)，把它叫做絕對(duì)慣性參考系.

牛頓的力學(xué)規(guī)律只適用于慣性參考系，那么非慣性系中牛頓運(yùn)動(dòng)定律就不適用，為了建立形式與牛頓第二運(yùn)定律一致的動(dòng)力學(xué)方程，就需要引入慣性力的概念.下面從非慣性系的力學(xué)規(guī)律和規(guī)律的應(yīng)用兩個(gè)方面分析討論.

一、非慣性系中的力學(xué)規(guī)律

設(shè)非慣性系參考系的加速度為a'，物體相對(duì)于非慣性系的加速度為a，物體的實(shí)際加速度為a+a'.

根據(jù)牛頓第二定律

F合=m（a+'）

F合-ma'=ma

令F慣=-ma'，方向與a'的方向相反.很明顯，“慣性力”大小取決于物體的加速度大小，而物體的加速度大小實(shí)際又取決于非慣性參考系相對(duì)于慣性參考系的加速度.慣性力是虛構(gòu)的力，不是真實(shí)力，慣性力不是自然界中物體間的相互作用力，因此不屬于牛頓第三定律涉及的范圍之內(nèi)，它沒有施力物體，不存在與之對(duì)應(yīng)的反作用力.

在非慣性系中，考慮到慣性力后的動(dòng)力學(xué)方程為

F合+F慣=ma

二、非慣性系中的力學(xué)規(guī)律的應(yīng)用

例1 如圖1所示，小車的支架上通過細(xì)繩懸掛有質(zhì)量為m的小球，當(dāng)小車從靜止開始以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球?qū)⒃鯓舆\(yùn)動(dòng)？

解析 以小車作為參考系，小車做變速運(yùn)動(dòng)，小車從靜止開始以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)（此時(shí)設(shè)向右為正），小球除了受到真實(shí)的力——重力G和繩子的拉力F外，還受到方向向左的慣性力F，因此小球向左偏離，當(dāng)偏離豎直方向?yàn)槟骋唤嵌圈葧r(shí)，F(xiàn)和G的合力與慣性力大小相等、方向相反，小球相對(duì)于車廂靜止.

例2 一個(gè)質(zhì)量為m的光滑小球，置于升降機(jī)內(nèi)傾角為θ的斜面上，如圖2所示.另一個(gè)垂直于斜面的擋板同小球接觸，擋板和斜面對(duì)小球的彈力分別為N1和N2.起初，升降機(jī)靜止，后來，升降機(jī)以a向上加速運(yùn)動(dòng).

試求擋板和斜面對(duì)小球的彈力分別為多少？

解析本題中如果以升降機(jī)為參考系（非慣性參考系），則小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，即處于平衡狀態(tài).小球的受力情況如圖3所示，則（其中，f為慣性力的大?。?/p>

N1sinθ+N2cosθ=mg+f

N1cosθ=N2sinθ

f=ma

解得

N1=m（g+a）sinθ

N2=m（g+a）cosθ

例3 一質(zhì)量為m。，傾角為θ的斜面體放在水平面上，在斜面體上有一質(zhì)量為m的物體.為使m不與斜面發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)用一水平力F作用在mo上，如圖4所示.

（1）若所有接觸面均光滑，F(xiàn)應(yīng)多大？

（2）若m與mo之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，而mo與水平面間無摩擦，求F的范圍.

解析在m不與斜面發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以地面為參考系，對(duì)m與mo整體應(yīng)用牛頓第二定律有：

F=（m+mn）a

以mo為參考系（加速直線運(yùn)動(dòng)的非慣性系），沿斜面向下和垂直斜面向上為x、y的正方向，以m為研究對(duì)象，加上水平向左的慣性力ma后，對(duì)m應(yīng)用牛頓第二定律：

x方向：mgsinθ+f-macosθ=0

y方向：N-mgcosθ-masinθ=0

m與mo不發(fā)生滑動(dòng)的極值條件為：

f=±Nμ

聯(lián)立可得：

所有接觸面均光滑時(shí)，μ=0，此時(shí)，F(xiàn)=（mo+m）gtanθ.

例4 在一體積為V，質(zhì)量為mo的鐵盒內(nèi)置有一阿特伍德機(jī)，已知兩物體的質(zhì)量分別為m1和m2.現(xiàn)將此鐵盒放入密度為p的液體中，如圖5所示，試求鐵盒在下沉過程中的加速度.忽略液體對(duì)鐵盒的阻力作用.

解析 如圖5所示，以液體為參考系（慣性系），向下為正方向，設(shè)m1、m2之間的繩中張力為T

以mo為研究對(duì)象有：

mog+2T-pVg=moa

以鐵盒為參考系（加速直線運(yùn)動(dòng)的非慣性系），設(shè)向下為正方向，分別以ml、m2為研究對(duì)象，分別加上-mla，-m2a的慣性力，m1、m2相對(duì)于鐵盒具有等值的加速度a相應(yīng)用牛頓第二定律：

對(duì)m1：m1g-T-m1a=m1a相

對(duì)m2：m2g-T-m2a=m2（-a相）

聯(lián)立解得：

在非慣性系中分析問題，有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可以簡(jiǎn)化分析問題的思路，優(yōu)化解題步驟，但必須要正確處理慣性力，要抓住研究對(duì)象相對(duì)非慣性系的運(yùn)動(dòng)情況，在引入慣性力之后，正確列出動(dòng)力學(xué)方程是關(guān)鍵.