裂紋尖端附近應(yīng)力場和位移場精確解分析

薛建陽，董金爽，尚 鵬

（西安建筑科技大學土木工程學院， 陜西 西安 710055）

斷裂力學中將裂紋分為I型、II型和III型三類，又稱為張開型(拉伸型)、滑開型(剪切型)和撕開型．當裂紋尖端的極坐標系中極半徑r趨于零應(yīng)力場、應(yīng)變場和位移場都稱為近場，即裂紋尖端附近[1]．裂紋尖端附近存在應(yīng)力集中，通常根據(jù)Saint-Venant原理采用局部解對裂紋問題進行分析，即用近似解代替精確解，這種情況下得到的近似解存在一定的局限性．目前，在確定裂紋尖端附近相關(guān)物理量時，如應(yīng)力強度因子，?；贗rwin理論進行計算．董國興[2]分析了 Irwin公式成立條件，得出僅當r≤a(a為裂紋長度)時，用近似解代替精確解才能滿足精度要求．但實際情況是對離裂紋尖端具有一定距離的點進行測量或試驗時，一般較難滿足r≤a，若用所得結(jié)果確定裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，或只有在滿足r≤a才能得到準確值的物理量時，則會引起較大誤差，甚至產(chǎn)生錯誤的結(jié)果[3]．因此確定近似解的工程適用范圍及裂紋尖端應(yīng)力場和位移場的精確解是十分必要．

胡衛(wèi)華[4]根據(jù) Muskhelishvili應(yīng)力函數(shù)法推導出了I型裂紋尖端附近應(yīng)力場的精確解，并與近似解進行了誤差分析．王燮山[5]利用正交曲線坐標和ΓοЛοсοв復勢函數(shù)推導出了無限大平板I型、II型裂紋尖端應(yīng)力場及位移場的精確解，提出了適用于求解場內(nèi)任意點位移和應(yīng)力的公式．楊槐堂[3]采用Westergaard函數(shù)法推導出了沿著θ=0°及θ=π/2方向上無限大平板在裂紋尖端附近應(yīng)力場和位移場的特殊解，同時克服了r≤a限制條件．

通過分析發(fā)現(xiàn)，有關(guān)裂紋尖端應(yīng)力場和位移場精確解分析的研究還較缺乏．因此，本文采用Westergaard函數(shù)法基本原理對裂紋尖端應(yīng)力場和位移場精確解進行研究，推導出其在任意角度方向上的數(shù)學表達式，該方法即能克服r≤a限制條件擴大其適用范圍的同時還能提高計算精度，最后取θ=π/6作為算例加以說明．

1 基本理論

斷裂力學中，Irwin應(yīng)用Westergaard函數(shù)的方法分析了裂紋問題，從而將含裂紋的線彈性體的線彈性力學歸結(jié)為彈性力學平面問題進行分析，實際上是尋找一個滿足邊界條件及雙調(diào)和方程的應(yīng)力函數(shù)，該應(yīng)力函數(shù)實際上是復變應(yīng)力函數(shù)．具有穿透裂紋作用有無限遠處的均勻應(yīng)力的無限大平板，其復變應(yīng)力函數(shù)Z的具體表達形式如式(1)示[6]：

線彈性斷裂力學中平面裂紋，當受到 I型、II型和 III型任一種或兩種以上荷載作用，裂紋尖端附近應(yīng)力場和位移場表達式如式(2)、式(3)所示[6]：

圖1 裂紋的對應(yīng)坐標及變換Fig.1 Coordinates and transformation of the crack

其中：z=x+iy，如圖1所示．

式中：E′，μ′分別為材料的彈性模量和泊松比．

裂紋尖端應(yīng)力場和位移場數(shù)學表達式分別為 I型裂紋應(yīng)力場與位移場：

II型裂紋應(yīng)力場與位移場：

III型裂紋應(yīng)力場與位移場：

式中：E′，μ′分別為材料的彈性模量和泊松比．

2 裂紋尖端應(yīng)力場位移場精確解推導

根據(jù)斷裂力學，三種類型裂紋的應(yīng)力場和位移場僅與復變應(yīng)力函數(shù) Z本身及其導數(shù)和積分有關(guān)．將坐標原點由裂紋中心平移至裂紋右尖端處，采用新坐標系xo′y′，新坐標ξ，如圖1所示．

由式(1)知，三種類型裂紋復變應(yīng)力函數(shù)Z具有相同表述形式，僅應(yīng)力σ，τ，τ′的差異，因此以 I型裂紋為例計算Z的導數(shù)和積分表達式．

對復變應(yīng)力函數(shù)Z求導和求積分可得：

將式(11)進行變換可得：

將式(13)代入到式(1)可得：

根據(jù)歐拉公式對式(11)變換得

將式(15)代入式(14)，經(jīng)計算得：

將式(16)-(18)分別代入式(5)-(10)便可得 3種類型裂紋尖端附近應(yīng)力場和位移場的精確解表達式．

本文所推導公式適用于裂紋尖端附近應(yīng)力場與位移場沿任意角度方向精確解．文中將以θ=π/6為例，對I型、II型、III型三種不同形式裂紋尖端附近應(yīng)力場與位移場精確解進行計算分析．對于裂紋尖端附近應(yīng)力場和位移場沿θ=0°與θ=90°方向的精確解按照本文中所推導公式計算，可得出與文獻[3]一致的結(jié)果，限于篇幅，在此不再贅述．

3 裂紋尖端應(yīng)力場精確解算例分析(θ=π/6)

將θ=π/6代入到式(16)-(18)，分別得數(shù)學表達式．

將θ=π/6代入式(2)得裂紋尖端附近應(yīng)力場近似解．對含有中心裂紋無限大平板的應(yīng)力強度因子表達式為將式(19)-(21)分別代入式(5)、式(7)、式(9)得 I型、II型、III型裂紋尖端應(yīng)力場的精確解．

當θ=π/6 時，y=rsinθ=r/2．

3.1 I型裂紋

定義修正系數(shù)為裂紋尖端附近應(yīng)力場(位移場)精確解與近似解的比值．

I型裂紋尖端附近應(yīng)力場修正系數(shù)，如式(22)．

對式(22)取不同η值，其數(shù)值結(jié)果如圖2所示．

圖2 I型裂紋應(yīng)力場修正系數(shù)Fig.2 Revision factors of the stress field for I-type crack

當η=r/a≤0.8時，系數(shù)擬合公式如式(23)所示：

3.2 II型裂紋

II型裂紋尖端附近應(yīng)力場修正系數(shù)，如式(24)．

對式(24)取不同η值，其數(shù)值結(jié)果如圖3所示．

圖3 II型裂紋應(yīng)力場修正系數(shù)Fig.3 Revision factors of the stress field for II-type crack

當η=r/a≤0.8時，系數(shù)擬合公式如式(25)所示：

3.3 III型裂紋

III型裂紋尖端附近應(yīng)力場修正系數(shù)，如式(26)．

對式(26)取不同η值，其數(shù)值結(jié)果如圖4所示．

從圖2、圖3、圖4可知：

（1）隨著離裂紋尖端距離的不斷增加，裂紋尖

圖4 III型裂紋應(yīng)力場修正系數(shù)Fig.4 Revision factors of the stress field for III-type crack

當η=r/a≤0.8時，系數(shù)擬合公式如式(27)所示：

端應(yīng)力近似解不斷遠離精確解，尤其是當η=r/a≤0.6時，兩者最大可相差2.22倍．因此用距裂紋一定距離的應(yīng)力近似解去確定材料的應(yīng)力強度因子及其他相關(guān)物理量，則會引起較大的誤差；

（2）當η=r/a≤1.0時，裂紋尖端附近的近似解與精確解相差較小，此時可以用近似解代替精確解，才不會引起較大誤差；

（3）可以通過計算近似解與對近似解的修正系數(shù)δ，從而不需要繁瑣的計算就可以確定距離裂紋尖端一定距離處的精確應(yīng)力場．

4 裂紋尖端位移場算例分析(θ=π/6)

將θ=π/6代入式(3)，得到裂紋尖端位移場的近似解．將式(16)-(18)分別代入式(6)、式(8)、式(10)得到I型、II型、III型裂紋尖端位移場的精確值．

當θ=π/6 時，y=rsinθ=r/2．

4.1 I型裂紋

I型裂紋尖端附近位移場修正系數(shù)，如式(28)．

將式(4)代入式(28)得平面應(yīng)變狀態(tài)修正系數(shù)．

當η=r/a≤0.8時，系數(shù)擬合公式具體表達式如式(29)示：

4.2 II型裂紋

II型裂紋尖端附近位移場修正系數(shù)，如式(31)．

將式(4)代入式(31)可得平面應(yīng)變狀態(tài)下的修正系數(shù)．

當η=r/a≤0.8時，在平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩種狀態(tài)下曲線幾乎重合，因此擬合公式可以采用相同的表達形式，如式(32)所示．

4.3 III型裂紋

III型裂紋尖端附近位移場修正系數(shù)，如式(33)．

當η=r/a≤0.8時，可用式(34)擬合．

三種類型裂紋位移場近似解修正系數(shù)見表1．

表1 θ=π/6時三種不同裂紋尖端附近位移場修正系數(shù)Tab.1 Revision factors of tip displacement field for three different cracks as θ=π/6

從表1可知：

（1）裂紋尖端附近位移場的近似解與精確解隨著遠離裂紋尖端的距離而不斷遠離，尤其是η=r/a≤0.5時，兩者最大相差1.42倍．因此用距裂紋一定距離的位移近似解去確定相關(guān)物理量，會引起較大誤差；

（2）由表1知，裂紋尖端位移場精確解可用近似解代替的條件是η=r/a≤0.2時；裂紋尖端附近的位移解與精確解相差較小，此時可以用近似解代替精確解，才不會引起較大誤差．

5 結(jié)論

(1)文中基于 Westergaard函數(shù)法基本原理，推導出了裂紋尖端附近應(yīng)力場與位移場在任意角度上的精確解的表達式，該表達式不受限于r≤a；

(2)裂紋尖端應(yīng)力場近似解與精確解只有在r≤0.1a時，二者才能認為是等價的，否則會引起較大的誤差．可以通過文中所給裂紋應(yīng)力場修正系數(shù)的逼近公式對裂紋尖端附近應(yīng)力場近似解進行修正，從而避免了繁瑣的計算，便可以得到滿足精度要求的精確解；

(3)應(yīng)用修正公式，克服了只有在r≤0.2a時裂紋尖端位移場近似解才可以代替精確解的缺陷．采用文中所給的對位移場修正逼近公式，將會使確定相關(guān)物理量時可靠度和精確度得到較大的提高．

References

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