結(jié)構(gòu)性能概率模型的小樣本建模方法

姚繼濤，程凱凱，宋 璨

（西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

目前通過試驗建立結(jié)構(gòu)性能概率模型的過程中，一般采用經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)中的矩法推斷其中關(guān)鍵的計算模式不定性系數(shù)的概率特性，并以此為基礎(chǔ)推斷結(jié)構(gòu)性能的概率特性[1,2]．理論上講，矩法僅適用于樣本容量（試件數(shù)量）很大的場合[3]，而試驗建模中的試件數(shù)量往往有限，很難達(dá)到大樣本容量的要求，這時矩法的推斷結(jié)果會受到顯著的統(tǒng)計不定性的影響[4]，并直接影響對結(jié)構(gòu)性能概率特性的推斷，存在較大的因過高估計結(jié)構(gòu)性能而導(dǎo)致額外失效風(fēng)險的可能．歐洲規(guī)范在推斷結(jié)構(gòu)抗力設(shè)計值時建議，樣本容量不大于100時應(yīng)采用與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)方法不同的小樣本推斷方法．這可作為試驗建模中需考慮統(tǒng)計不定性影響的參考標(biāo)準(zhǔn)．但目前無論樣本容量多少，均不加區(qū)別地采用了經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的方法，可能因統(tǒng)計不定性的影響而過高估計結(jié)構(gòu)的性能，導(dǎo)致額外的失效風(fēng)險．這是目前試驗建模中涉及基本方法的一個普遍問題，對結(jié)構(gòu)的可靠度分析和設(shè)計都有著全局性的影響．

論文將針對目前試件數(shù)量普遍不足的現(xiàn)象，研究小樣本條件下建立結(jié)構(gòu)性能概率模型的方法，合理反映統(tǒng)計不定性對推斷結(jié)果的影響．

1 建模的基本步驟

結(jié)構(gòu)性能的概率模型一般可表達(dá)為[5]

式中：g(·)為結(jié)構(gòu)性能函數(shù)；X1,…,Xm為幾何參數(shù)、材料性能等影響因素；η為反映尺寸效應(yīng)、時間效應(yīng)、環(huán)境條件、工藝條件等影響的計算模式不定性系數(shù)．這里將η分解為兩部分，即

設(shè)實驗室中通過n個試件的試驗得到和Y的n組數(shù)據(jù)，這時建立結(jié)構(gòu)性能概率模型的基本步驟如下：

(1)通過對試驗數(shù)據(jù)的擬合或?qū)碚摲治鼋Y(jié)果的修正，建立結(jié)構(gòu)性能函數(shù)g(·)．它一般應(yīng)滿足或近似滿足

(5)確定結(jié)構(gòu)性能Y的概率分布形式，最終形成完整的結(jié)構(gòu)性能概率模型．一般直接假定其服從對數(shù)正態(tài)分布或正態(tài)分布[7]．

推斷計算模式不定性系數(shù)的概率特性是上述建模過程中的關(guān)鍵步驟，這里以此為重點討論結(jié)構(gòu)性能概率模型的建模方法．

2 目前建模方法

雖然目前未明確對計算模式不定性系數(shù)η按式(2)進(jìn)行分解，但其推斷過程實際上包含著類似的兩個步驟：根據(jù)試驗結(jié)果推斷實驗室條件下計算模式不定性系數(shù)的概率特性；根據(jù)經(jīng)驗對其做適當(dāng)調(diào)整，以考慮實際條件的影響．一般采用經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)中的矩法推斷的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，其結(jié)果分別為[1,2]

理論上講，矩法僅適用于樣本容量n很大的場合[3]，而試驗建模中的試件數(shù)量往往有限，很難達(dá)到大樣本容量的要求，這時矩法的推斷結(jié)果會受到統(tǒng)計不定性的影響[4]．

所謂統(tǒng)計不定性指因樣本容量不足而產(chǎn)生的推斷結(jié)果的不確定性．樣本容量n不足時，即使無試驗誤差，也不能斷定均值、標(biāo)準(zhǔn)差的推斷值為其真值若重復(fù)做同樣的多組試驗，各組的推斷結(jié)果之間也往往存在差異，且樣本容量越小，差異一般越大．這些均為推斷中統(tǒng)計不定性的表現(xiàn)，一般可以一定置信水平下推斷結(jié)果的相對誤差反映統(tǒng)計不定性的影響．

它們亦為隨機(jī)變量，且隨機(jī)性越大，推斷中的統(tǒng)計不定性越大．令它們分別為矩法推斷結(jié)果可能具有的相對誤差．可以證明

它們分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和自由度為n-1的卡方分布[8]．這時利用區(qū)間估計法[3]，可得一定置信水平下相對誤差的上、下限．

圖1所示為置信水平C=0.9、變異系數(shù)的典型情況下相對誤差的上、下限．可見：樣本容量較小時，矩法推斷結(jié)果存在著較大的相對誤差，受統(tǒng)計不定性的影響顯著，且主要存在于對標(biāo)準(zhǔn)差的推斷中．換言之，矩法的推斷結(jié)果，特別是對標(biāo)準(zhǔn)差的推斷結(jié)果，會在較大的范圍內(nèi)波動，存在較大的因過高估計結(jié)構(gòu)性能而導(dǎo)致額外失效風(fēng)險的可能．

圖1 概率特性推斷結(jié)果相對誤差的上、下限Fig.1 The upper and lower value of relative error for inference result of probability characteristic for

3 區(qū)間估計法

為考慮統(tǒng)計不定性的影響，樣本容量n較小時，宜采用較矩法保守的方法推斷的概率特性，其中較常用的方法是區(qū)間估計法[3]．這時可構(gòu)造統(tǒng)計量

它們分別服從自由度為n-1的t分布和自由度為n- 1的卡方分布[8]．分別令

區(qū)間估計法雖可給出較矩法穩(wěn)妥的結(jié)果，但推斷中必須確定置信水平C，它對推斷結(jié)果有著直接影響，且數(shù)值越高，影響越大．置信水平并不存在理論上的值，需依據(jù)經(jīng)驗選擇，受主觀因素的影響較大，這給建模方法的統(tǒng)一和建模結(jié)果的比較帶來一定的困難，不便于應(yīng)用．

4 貝葉斯法

貝葉斯法[9]同樣可在小樣本條件下給出較矩法穩(wěn)妥的結(jié)果，但可回避對置信水平C的選擇．這時需采取以下步驟：視計算模式不定性系數(shù)tη的概率分布為關(guān)于未知參數(shù)的條件概率分布它仍為正態(tài)分布；同時，視未知參數(shù)為隨機(jī)變量，并利用先驗信息確定其聯(lián)合先驗分布；利用貝葉斯公式，確定的聯(lián)合后驗分布；利用條件概率分析方法，進(jìn)一步確定的概率分布據(jù)此確定未知參數(shù)的估計值．

貝葉斯推斷中的關(guān)鍵問題是如何確定未知參數(shù)的先驗分布，它不可避免地要受到主觀因素的影響．在這一方面，Jeffreys提出的無信息先驗分布因?qū)ξ粗獏?shù)的取值無任何偏愛而能夠較大程度地降低主觀因素的影響[10]，在貝葉斯推斷中得到廣泛應(yīng)用．現(xiàn)行國際標(biāo)準(zhǔn) ISO2394:1998[7]和歐洲規(guī)范EN1990:2002[11]中均采用了基于 Jeffreys無信息先驗分布的貝葉斯法．

它適用于樣本容量n≥4的場合，一般的試驗建模中均可滿足這一要求．

這里的貝葉斯法與一般的貝葉斯法存在著差別．按一般貝葉斯法[9]，在得到的聯(lián)合后驗分布后，則分別確定的邊緣分布，并以的均值作為其估計值．根據(jù)式（21），的邊緣分布分別為

5 對比分析

5.1 統(tǒng)計不定性的反映程度

無論采用矩法、區(qū)間估計法、一般貝葉斯法還是本文貝葉斯法，樣本容量較小時推斷中的統(tǒng)計不定性都是存在的．矩法和區(qū)間估計法推斷中的統(tǒng)計不定性表現(xiàn)為統(tǒng)計量的隨機(jī)性，而貝葉斯法推斷中的則表現(xiàn)為分布參數(shù)的隨機(jī)性．

矩法是依據(jù)統(tǒng)計量的均值建立的，未充分考慮統(tǒng)計量的隨機(jī)性，因此也不能充分反映統(tǒng)計不定性對推斷結(jié)果的影響．區(qū)間估計法則是依據(jù)統(tǒng)計量的分位值建立的，置信水平較高時，其考慮統(tǒng)計量隨機(jī)性的程度亦較高，可較充分地反映統(tǒng)計不定性的影響．一般貝葉斯法是依據(jù)分布參數(shù)的后驗分布建立的，它以均值作為分布參數(shù)的推斷結(jié)果，亦不能充分反映統(tǒng)計不定性的影響．文中貝葉斯法是以分布參數(shù)的后驗分布為權(quán)函數(shù)，按式（22）對的條件概率分布加權(quán)平均后，依據(jù)的概率分布建立的，它考慮了分布參數(shù)所有可能的取值及其概率，這也意味著它可全面反映統(tǒng)計不定性對推斷結(jié)果的影響；相對而言，區(qū)間估計法是局部地反映了統(tǒng)計不定性的影響．

5.2 推斷結(jié)果的等效置信水平

矩法、貝葉斯法中雖無置信水平的概念，但隱含著等效的置信水平．令它們的推斷結(jié)果與區(qū)間估計法的相等，便可確定相應(yīng)的等效置信水平．例如，對于文中貝葉斯法，可令

通過獨立求解關(guān)于C的這兩個方程，可分別確定推斷結(jié)果的等效置信水平．

圖2所示為矩法和貝葉斯法推斷結(jié)果的等效置信水平，可見：均值推斷結(jié)果的等效置信水平均為0.5；在標(biāo)準(zhǔn)差的推斷中，矩法和一般貝葉斯法的等效置信水平相近，但均低于0.5，特別是當(dāng)樣本容量較小時；文中貝葉斯法中標(biāo)準(zhǔn)差推斷結(jié)果的等效置信水平在樣本容量為4～70時為0.58～0.85，且樣本容量越小，等效置信水平越高．統(tǒng)計不定性的影響主要存在于對標(biāo)準(zhǔn)差的推斷中，等效置信水平越高，對統(tǒng)計不定性的考慮越充分．按區(qū)間估計法的觀點，標(biāo)準(zhǔn)差推斷結(jié)果的等效置信水平應(yīng)高于 0.5，特別是在樣本容量較小時．文中貝葉斯法的等效置信水平滿足這種一般性要求，但矩法和一般貝葉斯法等效置信水平過低．

圖2 矩法和貝葉斯法推斷結(jié)果的等效置信水平Fig.2 The equivalent confidence level of inference result for the moment and the Bayesian method

圖3 各種方法中標(biāo)準(zhǔn)差的推斷結(jié)果Fig.3 The inference result of the standard deviation ofvarious methods

5.3 推斷結(jié)果

綜上所述，文中貝葉斯法不僅回避了區(qū)間估計法中因置信水平的選擇而帶來的困難，更便于應(yīng)用，而且可全面反映統(tǒng)計不定性的影響，其均值的推斷結(jié)果相對準(zhǔn)確，而標(biāo)準(zhǔn)差推斷中的等效置信水平可滿足一般性的要求，推斷結(jié)果穩(wěn)妥、適中，可作為小樣本條件下建立結(jié)構(gòu)性能概率模型的一個基本方法．

6 結(jié)論

推斷計算模式不定性系數(shù)的概率特性是建立結(jié)構(gòu)性能概率模型的關(guān)鍵．針對樣本容量普遍不足的現(xiàn)象，重點研究了實驗室條件下計算模式不定性系數(shù)概率特性的推斷方法，結(jié)論如下：

(1) 樣本容量較小時，無論采用哪種方法，推斷中的統(tǒng)計不定性都是存在的．目前采用的矩法未充分反映統(tǒng)計不定性的影響，推斷結(jié)果受統(tǒng)計不定性的影響顯著，且主要存在于對標(biāo)準(zhǔn)差的推斷中，相應(yīng)的等效置信水平過低，推斷結(jié)果偏于冒進(jìn)，存在較大的因過高估計結(jié)構(gòu)性能而導(dǎo)致額外失效風(fēng)險的可能．一般貝葉斯法存在與矩法同樣的缺陷．

(2) 區(qū)間估計法較充分地反映了統(tǒng)計不定性的影響，可給出較矩法和一般貝葉斯法穩(wěn)妥的結(jié)果，特別是在樣本容量較小時，但必須人為選擇置信水平，受主觀因素的影響較大，給建模方法的統(tǒng)一和建模結(jié)果的比較帶來一定困難，不便于應(yīng)用．

(3) 文中貝葉斯法可全面反映統(tǒng)計不定性的影響，其均值的推斷結(jié)果相對準(zhǔn)確，而標(biāo)準(zhǔn)差推斷中的等效置信水平可滿足一般性的要求，推斷結(jié)果穩(wěn)妥、適中，同時回避了區(qū)間估計法中的困難，更便于應(yīng)用，可作為小樣本條件下建立結(jié)構(gòu)性能概率模型的一個基本方法．

References

[1]中華人民共和國建設(shè)部．GB/T 50152-2012 混凝土結(jié)構(gòu)試驗方法標(biāo)準(zhǔn)[S]．北京：中國建筑工業(yè)出版社，2012.Ministry of construction of the People’s Republic of China．GB/T 50152-2012 Standard methods for testing of concrete structures [S]．Beijing：China Architecture and Building Press，2012.

[2]中華人民共和國建設(shè)部．GB 50152-92 混凝土結(jié)構(gòu)試驗方法標(biāo)準(zhǔn)[S]．北京：中國建筑工業(yè)出版社，1992.Ministry of construction of the People’s Republic of China．GB 50152-92 Standard methods for testing of concrete structures [S]．Beijing：China Architecture and Building Press，1992.

[3]茆詩松，王靜龍，濮曉龍．高等數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，施普林格出版社，1998.MAO Shisong，WANG Jinglong，PU Xiaolong．Advanced Mathematical Statistics [M]．Beijing：Higher Education Press，Springer-Verlag Press，1998.

[4]Alfredo H-S. Ang，Wilson H. Tang. Probability concepts in engineering planning and design (Ⅱ) [M]．New York:John Wiley & Son, Inc，1984.

[5]JCSS. JCSS probabilistic model code: part 1: basis ofdesign [S]. Copenhagen, Denmark: Joint Committee on Structural Safety, 2001.

[6]中國建筑科學(xué)研究院．建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)：GBJ68-84[S]．北京：中國建筑工業(yè)出版社，1984.

China Academy of Building Research．GBJ 68-84 Unified standard for design of building structures[S]．Beijing：China Architecture and Building Press，1984.

[7]International Organization for Standardization. ISO2394:

1998 International Standard: General Principles on Reliability for Structures [S]. Switzerland : International Organization for Standardization ,1998.

[8]茆詩松，王靜龍，史定華．統(tǒng)計手冊[M]．北京：科學(xué)出版社，2003.MAO Shisong，WANG Jinglong，SHI Dinghua．Statistics handbook [M]．Beijing：Science Press， 2003.

[9]茆詩松．貝葉斯統(tǒng)計[M]．北京：中國統(tǒng)計出版社，2005.MAO Shisong．Bayesian Statistics [M]．Beijing：China Statistics Press，2005.

[10]JEFFREYS H．Theory of Probability [M]．London：Oxford University Press，1961.

[11]European committee for standardization. EN1990-2002：Eurocode-basis of structural design [S]. London, UK:BSI,2002