矩陣?yán)碚撛跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用

張昕 張莉莉

摘 要：本文給出了秩為r的矩陣A秩分解的初等變換法求因子矩陣及在解線性方程組

的應(yīng)用.并介紹矩陣的分塊在矩陣?yán)碚撟C明和矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：矩陣秩分解;初等變換;分塊矩陣;

1求矩陣秩分解的初等變換法及其應(yīng)用

眾所周知，設(shè)A是m[×]n矩陣P，n[×]n矩陣Q，使PAQ = [Ir000]，此式稱為矩陣A 的

解[1].對(duì)上式一般的教科書中從未給出 P 、Q 的具體求法，本文給出求 P 、Q 的初等變換法如下：

由P 、Q 可逆，可設(shè) P = P[s] P[s-1]…[]P[1]， Q ?= ?Q[1] Q[2]… ?Q[t] ，P[i]， Q[j]均為初等矩陣，1[≤][i] [≤]s， 1[≤]j[≤]t，所以P[s] P[s-1]…P[1]AQ[1]Q[2]…Q[t] = ?[Ir000]，

且 P[s] P[s-1]…P[1]I[m] = P， I[n]Q[1] Q[2]…Q[t] = Q

這表明，當(dāng)經(jīng)過一系列初等行、列變換把 A 變成 [Ir000] 時(shí)，相同的行變換就將I[m][]變成了P ，而相同有列變換將I[n][]變成了Q ，由此得

[A…Im………Im…0] [對(duì)A作初等變換對(duì)Im僅作與A相同的行變換，對(duì)In僅作與A相同的列變換]>[Ir0…P00……………Q…0]

從而得

PAQ ?= ?[Ir000] （1）

下面利用上述 P、Q 討論線性方程組的問題.

設(shè)有齊次線性方程組

AX = 0 ?（2）

式中，A 同（1）式.

設(shè)Q = （[α][1]，[α][2]，…， [α][n]），則由（1）得，A[α][r+1][]= ?0，[α][r+1]， …，[α][n]是（2）的解向量，又秩 A = r， Q可逆，得 [αr+1]，[αr+2] ，…，[αn]是齊次線性方程組（2）的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

現(xiàn)考慮一般線性方程組

AX = b （3）

其中b = （b[1]，b[2]，…，b[m]）[T]， X =（ ?[x][1]，[x][2]， ?… ，[x][n][]）[T][][]， A 如上

由PAQ = [Ir000] ， A = P[-1] [Ir000] ?Q[-1]代入（3）得

P[-1] ?[Ir000] Q[-1]X = b，[Ir000] Q[-1]X = P b ?（4）

于是方程（3）有解當(dāng)且僅當(dāng)（4）有解.

設(shè) Q[-1]X = Y = （[y1]，[y2]，… ，[yn]）[T]， ?P b ?= （b[1]，b[2]，…，b[m]）[T]，（4）變成

[][][y1y2?y30?0ζm-r] =[b1b2?brbr+1?bm] ?（5）

（4）與（5）同解，顯然（5）可解當(dāng)且僅當(dāng) [br+1]= … = b[m] = 0 ，于是得

定理 1方程組（3）有解充要條件是 P b 的后 m-r 個(gè)分量全為 0.

現(xiàn)設(shè)方程組（3）有解，由（5）取[y1] = [b1]，…， [yr] = [br]，[yr+1] = … = [yn] = 0，又設(shè) Q = （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，[αr+1]，… ，[α][n]），則（3）的一個(gè)特解

[η0] = QY = （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，[αr+1]，… ，[α][n]）[b1?br0?0ζm-r][]

[]= （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，0 ，… ，0）[b1?br0?0ζm-r]

= （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，[0，…，0︷n-r] ）P b

由此可得

2分塊矩陣?yán)碚摰姆椒☉?yīng)用

利用矩陣的分塊進(jìn)行矩陣運(yùn)算是討論階數(shù)較高矩陣時(shí)一種常用技巧，她可以使問題簡(jiǎn)化。

2.1可解決矩陣秩的問題

設(shè)A是m [×] n 階矩陣，秩A = r，證明：存在m [×] r 階矩陣B 和r [×] n 階矩陣C ，

秩 B = 秩 C = r 使得 A = BC

證明：因?yàn)橹華 = r， 所以存在m階可逆矩陣P 和 n 階可逆矩陣 Q，

使得 PAQ = ?[Ir000] .所以，A = P[-1] [Ir000] ?Q[-1]

將P[-1]，Q[-1] 分塊：P[-1] = （B[m×r]，P[1]）， Q[-1] = [Cr×nQ1]，其中：P[1]為m[×]（m-r）階矩陣，Q[1]為（n-r）[×]n 階矩陣

那么：秩 B = 秩 C = r ，且A = （B， P[1]）[Ir000][CQ1] ?= BC

推論： 一個(gè)n 階矩陣 A 的秩 [≤] 1必要且只要 A 可以表為一個(gè) n [×] 1 矩陣和一個(gè)

1 [×] n 矩陣的乘積.

證明：必要性：

（1）若秩A = 0 ， 顯然有 A = [00?0] [00…0]. 命題成立.

（2）若秩A = 1，則由上題可知，A = BC 。其中B 為 n [×] 1 矩陣，C 為 1 [×]

n 矩陣，且秩 B = 秩 C = 1

充分性：設(shè)

A = [α1α2?αn] [b1b2…bn] = [a1b1a1b2…a1bna2b1a2b2…a2banb1anb2…anbn]

由A知，它的任何二階子式 [aibjaibkasbjasbk] = [aias][bjbkbjbk] = 0

所以， 秩 A [≤] 1

2.2可解決求逆矩陣問題

已知 A[i]（I = 1，2，…，s）都是可逆矩陣，

則有（[i]）[A1OA2O?As]=[A-11OA-12O?A-1s]

（[i][i]）[0A1A20-1]= ）[0A-12A-110]

證明略：[]

例：A = [0a10…0000a2…00000…0an-1an00…00] ，求：A[-1]

解：令 A = [0Dan0]，其中 D = [a10…00a2…000…an-1]

所以，A[-1] = ?[0a-1nD-10] ?= ?[000…0a-1na-1100…000a-120…00000…a-1n-10]

2.3可解決矩陣的特征根問題

設(shè) V 是數(shù)域 F上 n維向量空間，W[1]，W[2]都是 V 的不變子空間，若V = W[1][⊕] W[2]，[σ][∈]（V），則[σ]關(guān)于V的基的矩陣為[A100A2]形式

證明： 令dim W[1] = r， 則dim W[2]= n-r，且若[a1]，[a2]，…，[ar]是W[1]的基，[ar+1]，…，[an]是W[2]的基，則[a1]，[a2]，…，[ar]，[ar+1]，…，[an]是 V 的基，則有[σ]（[a1]），[σ]（[a2]） ，…，[σ]（[ar]）[∈] W[1] ，[σ]（[ar+1]），…，[σ]（[an]）[∈] W[2]

若令：[σ]（[a1]） ?= a[11][a1] + a[21][a2] + …+ a[r1][ar]

[σ]（[a2]） = a[12][a1] + a[22][a2] + …+ a[r2][ar]

… ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?…

[σ]（[ar]） = a[a1][a1] + a[a2][a2] + …+ a[rr][ar]

[σ]（[ar+1]）= a[r+1，r+1][ar+1] + …+ a[n，r+1][an]

… ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?…

[σ]（[an]） = a[r+1，n][ar+1] + …+ a[nn][an]

所以，[σ]關(guān)于[a1]，[a2]，…，[an]的矩陣為[A100A2]

其中 ?A[1] = [a11…ar1a1r…arr] ?A[2] = [ar+1，r+1，…an，r+1ar+1，n…ann][]

參考文獻(xiàn)：

[1] 張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2] 張禾瑞， 郝炳新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.215-334.

[3] 王向東，等.高等代數(shù)常用方法[M].北京：科學(xué)出版社，1989.220-242.