雨滴下落“紫外災難”的消除——對雨滴下落加速度問題的辨析

陳顯盈　仇煥敏

(溫州中學　 浙江 溫州　325000)

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雨滴下落“紫外災難”的消除
——對雨滴下落加速度問題的辨析

陳顯盈仇煥敏

(溫州中學 浙江 溫州325000)

摘 要：對于雨滴在下落過程中，當采用空氣阻力f=k1v時，其a-t圖像變化率一直減小，只適用于速度較小情況；而當采用阻力f=k2v2時，其a-t圖像變化率先增大后減小，只適用于速度較大情況．只有當采用阻力f=k1v+k2v2時，其a-t圖像變化率一直減小，同時適用于速度較小和較大情況，比前兩種理想化模型更加符合實際情況．

關鍵詞：雨滴下落a-t圖像修正

1提出問題

人教版教材高中物理·必修1中第三章第3節(jié)摩擦力中的“科學漫步”專門介紹了流體的阻力，指出雨滴在空氣中下落，速度越來越大，所受空氣阻力也越大．因此，許多輔導書會出現(xiàn)以下兩道有關雨滴下落的試題．

【例1】雨滴在空中下落，受到的空氣阻力與速度大小有關．假設空氣阻力大小與速度大小成正比，則下列圖像能大致反映雨滴下降過程中加速度大小a與時間t及速度v關系的有

圖1

【例2】若已知雨滴在空中運動時所受空氣阻力f=kr2v2，其中k為比例系數(shù)，r為雨滴半徑，v為運動速率．t=0時，雨滴由靜止開始下落，加速度用a表示．落地前雨滴已做勻速運動，速率為v0．下列圖像中正確的是

圖2

思考問題：兩道試題的參考答案分別為AD和ABC，許多文章[1，2]對例題2中選項A提出質疑，通過理論推導可知其加速度變化率并不是一直變小，而是先增大再減小的[見圖4(b)]，該說法是否合理呢？另外，兩道題目情景都是雨滴下落，但其阻力公式并不相同，其實這分別是速度較小與速度較大兩種實際情況抽象出來的理想化模型，那么能否存在一個同時符合速度較小與較大兩種情況的模型或圖像呢？下面，筆者通過理論推導公式并繪制圖像，從而分析雨滴下落加速度隨時間變化的規(guī)律．

2分析問題

2.1兩種情況分析

其實，在空氣中下落的過程中，當速度v較小時，雨滴受到空氣阻力與下落的速度成正比，即

f=kv

當速度較大時，雨滴受到空氣阻力與下落的速度的二次方成正比，即

f=kv2

(1)當速度v較小時

f=kv

mg-kv=ma

得

可推導得

圖3

(2)當速度v較大時

f=kv2

mg-kv2=ma

得

可推導得

圖4

2.2深入思考

從嚴格意義上講，其實圖3和圖4(b)中的曲線并不非常標準．對于圖3，因為曲線只適用于速度較小的情況，后來速度已較大，后半段可能會出現(xiàn)偏差，應該用虛線表示．同理，對于圖4(b)，因為該曲線只適用于速度較大的情況，而剛開始速度為零，也會出現(xiàn)明顯偏差，也應該用虛線表示．可見，兩種情況分別用圖5(a)和圖5(b)表示更加標準．

圖5

那么，對于雨滴下落問題能否繪制出一個同時符合速度較小和較大的兩種情況的圖像呢？其大致圖像可以將兩條曲線相結合，即用圖5(a)前段部分加上圖5(b)后段部分．但是，該方法可能會出現(xiàn)以下兩種情況：第一種情況，變化率一直變??；第二種情況，變化率先變小，再變大后又變?。旅娼⒛Ｐ屯茖Ч讲⒚枥L其大致曲線，從而判斷哪種情況正確．

3 解決問題

3.1構建模型

其實，雨滴在下落過程中主要受兩部分阻力：黏性阻力和壓差阻力．當速度較小時，黏性阻力起主導阻力，滿足f=k1v；當速度較大時，壓差阻力起主導阻力，滿足f=k2v2．因此，可假設雨滴下落過程中所受的阻力f=k1v+k2v2，當v較小時，滿足k1v?k2v2，f≈k1v，k1v作為主導阻力；當v很大時，滿足k1v?k2v2，f≈k2v2，k2v2作為主導阻力．因此，不管v多大，都可以假設f=k1v+k2v2．

3.2繪制圖像

此時

mg-k1v-k2v2=ma

得

可推導得

令

可得

圖6

4總結

總之，對于雨滴下落過程中，當我們采用空氣阻力f=k1v時，其a-t圖像變化率一直減小，只適用于速度較小情況，在速度較大時與實際情況存在偏差；而當采用阻力f=k2v2時，其a-t圖像變化率先增大后減小，只適用于速度較大情況，在速度較小時與實際情況存在明顯偏差．只有當采用阻力f=k1v+

k2v2時，其a-t圖像變化率一直減小，同時適用于速度較小和較大情況，比前兩種理想化模型更加符合實際情況．

另外，我們不難聯(lián)想到科學發(fā)展史中的大家熟知的“紫外災難”．當時，對于黑體輻射能量按波長分布的維恩公式或圖像在短波波段與實驗符合得很好，但在長波波段與實驗有明顯的偏離．而另一個瑞利-金斯公式或圖像在長波或高溫情況下，同實驗結果相符，但在短波范圍，能量密度則迅速地單調上升，與實驗結果矛盾，這個科學謬誤就是黑體輻射的“紫外災難”．后來，在進一步探索更好的輻射公式的過程中，普朗克建立了與所有的實驗都符合的輻射量子理論．可見，本文對雨滴下落加速度隨時間變化圖像的研究與修正過程，可類比為對雨滴下落的“紫外災難”的研究與修正．

參 考 文 獻

1顧俊琪.雨滴下落過程中的圖像究竟如何.物理通報，2014(7)：110

2柏露枝，等.雨滴下落加速度圖像研究.物理教師，2015(4)：90

收稿日期：(2015-09-17)