面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)鍵合圖模型及方程

宋野++于廣濱++戴冰++高德軍++葛江華

摘要：為了較好研究面齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)，本文以正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于Bondgragh理論建立了綜合時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差、齒面摩擦力、嚙合阻尼等因素的耦合非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型.運(yùn)用Bond gragh理論將面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的激勵(lì)和響應(yīng)轉(zhuǎn)化為鍵合圖元，分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特性分別建立了面齒輪彈性變形鍵合圖模型、傳動(dòng)誤差鍵合圖模型和齒面摩擦鍵合圖模型，并分析因果關(guān)系和鍵合圖中的功率流得到面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)耦合方程.

關(guān)鍵詞：面齒輪；動(dòng)力學(xué)；鍵合圖；非線(xiàn)性

DOI： 10.15938/j.jhust.2015.05.010

中圖分類(lèi)號(hào)：TH113

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-2683（2015）05-0051-05

0 引言面齒輪除了具有大重合度、強(qiáng)軸間位置適應(yīng)性、大變速比外，面齒輪傳動(dòng)還具有大傳遞功率、良好的分流效果、優(yōu)良的工作平穩(wěn)性、簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)、低噪聲、輕單位質(zhì)量、小空間占用等優(yōu)點(diǎn)，其應(yīng)用領(lǐng)域廣泛覆蓋.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的理論研究和技術(shù)實(shí)踐，在國(guó)內(nèi)外的眾多研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者的努力下，對(duì)面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究也更加深入和細(xì)化，重點(diǎn)研究領(lǐng)域主要有：面齒輪的齒面成形原理及嚙合動(dòng)態(tài)特性，基于有限元法的面齒輪結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、溫度場(chǎng)分布，面齒輪的實(shí)際生產(chǎn)加工及制造裝備，動(dòng)力學(xué)分析與實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法的研究.

Bond graph理論是由美國(guó)麻省理工學(xué)院的H.M.Paynter教授在1959年提出的，其理論基礎(chǔ)是熱力學(xué)第一定律，即熱量可以從一個(gè)物體傳遞到另一個(gè)物體，也可以與機(jī)械能或其他能量互相轉(zhuǎn)換.具體形式是分析機(jī)械系統(tǒng)中的多種能量范疇耦合合成的基本物理過(guò)程，用四中形式的廣義變量：勢(shì)、流、廣義動(dòng)量和廣義位移描述系統(tǒng)功率的傳輸、轉(zhuǎn)化、貯存、耗散，并按照相互鏈接關(guān)系、能量傳輸情況、變量間因果關(guān)系、系統(tǒng)階次等系統(tǒng)信息將與能量單元相關(guān)的理想元件用鍵連接，因此鍵合圖可以更加形象具體的表現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)尤其是面齒輪系統(tǒng)的非線(xiàn)性傳動(dòng)特性，所用的狀態(tài)變量即為系統(tǒng)的物理變量，在機(jī)械系統(tǒng)中各機(jī)械元件相互作用綜合，是系統(tǒng)的輸入與輸出保持某種因果關(guān)系，其因果關(guān)系具體表現(xiàn)為各元件之間的功率傳遞，這也是Bond graph理論的根本依據(jù).根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的工作原理，按照各元件的因果關(guān)系，即可建立起系統(tǒng)的鍵和圖模型，分析其隱含著的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能狀態(tài)方程，增廣后可列寫(xiě)出相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程.

1 面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖建模

1.1 彈性變形模型

面齒輪輪齒在嚙合過(guò)程中，在齒面載荷的作用下會(huì)發(fā)生形變.在輪齒任意位置的彈性變形δ與相應(yīng)受到的載荷W具有如下關(guān)系

W=k_hf（δ）.

（1）式中：k_h即輪齒的綜合嚙合剛度.根據(jù)Bond graph理論，載荷W定義為勢(shì)變量e（t），彈性變形δ定義為廣義位移F（t），那么面齒輪輪齒的彈性變形可用基本的一端口元件容性元C來(lái)表示，參數(shù)為k_h.

由于齒輪在加工、制造與安裝、運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生誤差，從而導(dǎo)致嚙合齒廓偏離其理論位置，進(jìn)而在輪齒嚙合過(guò)程中產(chǎn)生位移型激勵(lì)，即為誤差激勵(lì).因此可用流源Sf表示面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中誤差激勵(lì)e_n（t）的導(dǎo)數(shù)，面齒輪傳動(dòng)誤差激勵(lì)的鍵合圖模型如圖1所示，容性元件C表示彈性變形，阻性元件R表示嚙合阻尼，并且流源S，可以定義為

1.2 齒面摩擦模型

圖2所示為一對(duì)相互嚙合傳動(dòng)的面齒輪傳動(dòng)副，根據(jù)牛頓第三定律可知圓柱齒輪和面齒輪所受的摩擦力大小相等、方向相反.滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生于主動(dòng)輪和被動(dòng)輪的齒面在輪齒嚙合的過(guò)程中發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中，因此與嚙合線(xiàn)相垂直的方向是摩擦力的方向，

基于庫(kù)倫摩擦定律（Coulomb定律），摩擦力F_f可以定義為式中：μ為摩擦系數(shù)；sign表示符號(hào)函數(shù)，F(xiàn)_N為正壓力，

根據(jù)Bond graph理論，齒面摩擦力為耗能元件，且不斷變化，因此可以應(yīng)用一端口元件阻性元MR表示.根據(jù)公式可知由于摩擦力臂Z的變化導(dǎo)致齒廓接觸點(diǎn)間的相對(duì)速度V_h發(fā)生變化，進(jìn)而影響摩擦力F_f改變，因此可以應(yīng)用二端口元件變換器MTF來(lái)表示圓柱齒輪和面齒輪的摩擦力臂l變化，可得出面齒輪齒面摩擦的鍵合圖模型如圖3所示.

1.3 包含齒側(cè)間隙的時(shí)變剛度模型

齒輪嚙合傳動(dòng)時(shí)，為了在嚙合齒廓之間形成潤(rùn)滑油膜，避免因輪齒摩檫發(fā)熱膨脹而卡死，齒廓之間必須留有間隙，此間隙稱(chēng)為齒側(cè)間隙.一般情況下齒側(cè)間隙很小，但由于其誤差的存在，會(huì)使得齒輪在嚙合時(shí)產(chǎn)生嚙合沖擊，對(duì)于齒輪的平穩(wěn)性和嚙合的動(dòng)態(tài)特性造成很大的影響，甚至降低齒輪系統(tǒng)壽命，影響整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn).上文公式提到面齒輪系統(tǒng)剛度k_h的定義，其中f（*）即為齒輪嚙合時(shí)考慮齒側(cè)間隙的函數(shù)，考慮該函數(shù)對(duì)面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型具有非線(xiàn)性的影響，傳統(tǒng)的基本鍵合圖元件無(wú)法詳細(xì)表述，可采用一種非線(xiàn)性元件功率結(jié)型結(jié)構(gòu)來(lái)形容.

如圖4所示，齒側(cè)間隙模型可由兩個(gè)質(zhì)量元件m₁和m₂、一個(gè)間隙非線(xiàn)性彈性元件kf（*）和一個(gè)能量耗散元件C所組成.當(dāng)齒輪系統(tǒng)中間隙大小為2b時(shí)，可以定義f（*）為非線(xiàn)性分段函數(shù)，表示為

根據(jù)Bond graph理論，由于間隙函數(shù)f（*）是聯(lián)系勢(shì)變量e（t）（即載荷W）和廣義位移q（t）（即彈性變形δ的函數(shù)，可以用一端口容性元件C定義，容度參數(shù)即為l/k_h.由于間隙函數(shù)f（*）具有分段性特征，在建立鍵合圖模型時(shí)需要引入布爾變量u來(lái)表述函數(shù)的時(shí)變性.相對(duì)于齒側(cè)間隙的3個(gè)狀態(tài)，分別用u_i（i=1，2，3）.定義：u₁：w=k_h（δ-b），δ>b；u₂：w=0，-b≤δ≤b；u₃：w=k_h（δ+b），δ<-b.并且當(dāng)3個(gè)布爾變量中一個(gè)為1，其他兩個(gè)即為0，這樣可以用布爾變量u來(lái)控制功率結(jié)中的功率通口.

圖5考慮齒側(cè)間隙的時(shí)變剛度鍵合圖模型

圖5所示即為根據(jù)齒輪沖擊副模型建立的考慮齒側(cè)間隙的時(shí)變剛度鍵合圖模型，定義狀態(tài)變量δ_i（i=1，2，3），可得到該鍵合圖模型的狀態(tài)方程

1.4 齒輪彈性支撐的鍵合圖模型

基于嚙合原理和面齒輪傳動(dòng)的實(shí)際特點(diǎn)可知，主動(dòng)輪為圓柱齒輪，在其軸向沒(méi)有力的作用存在，從動(dòng)輪為面齒輪，在其徑向沒(méi)有力的作用存在，因此面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中圓柱齒輪和面齒輪軸承彈性支撐的動(dòng)力學(xué)模型可分別用兩個(gè)彈簧和阻尼器模擬，模型如圖7所示.

模型中m₁，m₁分別為圓柱齒輪和斷齒輪的集中質(zhì)量；根據(jù)Bond graph理論，齒問(wèn)的載荷力的分量和齒間摩擦力的分量可用一端口勢(shì)源元件Se表示，支撐剛度k_x1，k_z1，k_x2，kk_z2，可用一端口容性元件C表示，阻尼C_x1，C_z1，C_x2，C_z2由于造成功率損耗可用一端口阻性元C表示，齒輪集中質(zhì)量m₁，m₂可用一端口慣性件，表示.

齒輪瞬時(shí)傳動(dòng)比會(huì)因?yàn)辇X輪加工誤差和安裝誤差等誤差因素的存在發(fā)生變化，產(chǎn)生輪齒間碰撞沖擊現(xiàn)象，誤差在鍵合圖中可以用一端口勢(shì)源Se表述.根據(jù)Bond graph理論，結(jié)合如圖6所示的面齒輪非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型，可以得到面齒輪非線(xiàn)性嚙合的鍵合圖模型如圖7所示.

2 鍵合圖模型方程推導(dǎo)

上文分析面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中圓柱齒輪和面齒輪只在x軸和z軸存在彈性支撐，因此存在四個(gè)彈性支撐的鍵合圖模型，根據(jù)嚙合理論彈性支撐的存在是由于輪齒嚙合時(shí)齒輪副間碰撞沖擊，產(chǎn)生動(dòng)載荷和摩擦.齒輪彈性支撐鍵合圖模型中的容性元C、慣性元，和阻性元R的線(xiàn)性形式因果關(guān)系分別是

其中k為齒輪的支撐剛度；m為齒輪的質(zhì)量；c為阻尼，利用1結(jié)約束條件和按照已指定的因果關(guān)系，就可得到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

由于彈性支撐方向與動(dòng)載荷方向相關(guān)，分析可知圓柱齒輪和面齒輪受到的彈性支撐沿各自軸向且方向不同，當(dāng)通過(guò)彈性支撐鍵合圖模型推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，應(yīng)該考慮輸入變量勢(shì)源Se的不同，即F_k+F_n不同.齒嚙合時(shí)齒輪副受到的法向動(dòng)載荷F_n及其沿x，z坐標(biāo)軸上的分量為

圓柱齒輪在沿x軸的橫向振動(dòng)是受到嚙合齒面的法向載荷F_n沿x軸正方向的分力和摩擦力f_x的共同作用即變量勢(shì)源Se分別表示為

面齒輪同理，因此根據(jù)圖6所建立的面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中彈性支撐的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程為式中λ為摩擦力方向函數(shù)；l_p為時(shí)變摩擦力臂.已知齒輪副重合度ε，小齒輪基圓半徑r_b1，小齒輪齒頂圓半徑r_a1，小齒輪基圓齒距P_b1，小齒輪轉(zhuǎn)速n₁，則摩擦力臂l_p及摩擦力方向函數(shù) 可表示為：

根據(jù)Bond graph理論，面齒輪嚙合鍵合圖列寫(xiě)動(dòng)力學(xué)方程需確定系統(tǒng)的輸入變量和狀態(tài)變量，分別選定，元的廣義動(dòng)量P₂，p₉和C元的廣義位移δ為狀態(tài)變量，勢(shì)源SeT₁，T₂為輸入變量，鍵合圖模型中的容性元C、慣性元I和阻性元R的線(xiàn)性形式因果關(guān)系分別是

其中：k_h為兩齒輪的嚙合剛度；I₁，I₂為兩齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c_h為兩齒輪的嚙合阻尼.利用1結(jié)約束條件和按照已指定的因果關(guān)系，就可得到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

對(duì)鍵合圖中功率傳輸方向進(jìn)行分析，可得出系統(tǒng)中勢(shì)變量和流變量如下

3 結(jié)論

本文應(yīng)用Bond graph理論建立了正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并推導(dǎo)了面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，與傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究方法相比具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）基于Bond graph理論建立的面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，綜合考慮了系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度、嚙合誤差、嚙合阻尼、齒間摩擦等非線(xiàn)性因素，對(duì)于齒輪系統(tǒng)變化狀態(tài)的描述具有較好的準(zhǔn)確性.

2）基于Bond graph理論建立的面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，由于只用四種形式的廣義變量皆可以把面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中物理過(guò)程表述出來(lái)，對(duì)于系統(tǒng)中各個(gè)物理量的關(guān)系和能量變化情況比較直觀，并且靈活性和拓展性較高，可根據(jù)實(shí)際情況在模型中添加或是減少影響系統(tǒng)的激勵(lì)因素.

3）根據(jù)已建立的鍵合圖模型推導(dǎo)面齒輪動(dòng)力學(xué)方程，不但符合齒輪嚙合的實(shí)際情況，而且由于其清晰的因果關(guān)系，對(duì)于方程的推導(dǎo)效率和準(zhǔn)確程度也較滿(mǎn)意.