帶Markovian跳的隨機(jī)非自治Logistic系統(tǒng)持久性

王一女

(沈陽(yáng)化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽(yáng)　110142)

帶Markovian跳的隨機(jī)非自治Logistic系統(tǒng)持久性

王一女

(沈陽(yáng)化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽(yáng)110142)

摘要：研究一類帶Markovian跳的隨機(jī)非自治Logistic種群模型，在種群內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)制約系數(shù)受到白噪聲擾動(dòng)情況下，運(yùn)用指數(shù)鞅不等式技巧，揭示了該種群系統(tǒng)在Markovian切換狀態(tài)下弱持久生存的充分性條件.最后,通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了主要結(jié)果.

關(guān)鍵詞：Markovian跳；Logistic系統(tǒng)；Brownian運(yùn)動(dòng)；弱持久性

收稿日期：2015-04-28;修改稿收到日期:2015-08-28

E-mail:wangyinv1964@163.com

基金項(xiàng)目:遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1412085MA02)；遼寧省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(ZH2015214)

作者簡(jiǎn)介：王一女(1965—),女,遼寧沈陽(yáng)人,副教授,碩士.主要研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué).

中圖分類號(hào)：O 175.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：章編號(hào)：1001-988Ⅹ(2015)06-0010-04

Abstract:This paper considers a type of disturbance related with intraspecific interaction on non-autonomous Logistic competitive system in random environments.By using Doob’s martingale inequalities method,some sufficient conditions for weak persistence on system with Markovian switching are established.Finally,numerical simulation is carried out to support the results.

Thepermanenceonstochasticnon-autonomousLogistic

systemwithMarkovianjump

WANGYi-nü

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ShenyangUniversityofChemicalTechnology,Shenyang110142,

Liaoning,China)

Keywords:Markovianjump;Logisticmodel;Brownianmotion;weakpersistent

種群生態(tài)學(xué)的一個(gè)重要問題是研究競(jìng)爭(zhēng)種群之間持久共存的條件.數(shù)學(xué)模型刻畫種群生態(tài)學(xué)問題已經(jīng)被廣泛研究[1-2]，模型的持久性是重要問題之一.另一方面，從生物學(xué)自身特點(diǎn)出發(fā)，種群系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)環(huán)境下不可避免受到環(huán)境噪聲的干擾[3-4],因此，隨機(jī)環(huán)境中的種群系統(tǒng)正受到越來(lái)越多的關(guān)注.為了對(duì)種群系統(tǒng)進(jìn)行更精確的描述，通常假設(shè)環(huán)境噪聲主要影響種群內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)制約系數(shù)a(t)[5-7]，

即擾動(dòng)與自身規(guī)模相關(guān)的隨機(jī)Logistic系統(tǒng)

本文假設(shè)如下條件成立：

(H1) a(t)>0,σ(t)>0.

隨機(jī)Logistic種群系統(tǒng)已被很多學(xué)者所研究,其中，Luo-Mao[8]在切換狀態(tài)下研究了該隨機(jī)種群系統(tǒng)的持久性；Liu-Wang[9]精確地建立了隨機(jī)種群系統(tǒng)的靜態(tài)分布、遍歷性和滅絕性條件；Jiang等[10]揭示了種群系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和隨機(jī)持久性.本文在Markovian跳變狀態(tài)下研究種群系統(tǒng)弱持久生存的充分條件，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證主要結(jié)論.

1預(yù)備知識(shí)

本文取(Ω,F,{Ft}t∈R+,P)是一個(gè)完備的概率空間，其濾子{Ft}t∈R+滿足一般條件，即右連續(xù)且完備，F(xiàn)0包含所有的零測(cè)度集.假設(shè)b(t)，a(t)和σ(t)是[0,+∞)上的連續(xù)有界函數(shù)且infa(t)>0.通常情況下，狀態(tài)切換在某個(gè)系統(tǒng)所待的時(shí)間服從指數(shù)分布且是無(wú)記憶的，因此可以用一個(gè)具有有限狀態(tài)空間S={1,…,N}的連續(xù)時(shí)間Markovian鏈κ(t)(t≥0)來(lái)描述這些生態(tài)系統(tǒng)中的隨機(jī)因素.令κ(t)的生成元是Ψ=(ψij)N×N，即

方程(2)所描述的種群系統(tǒng)表示初始時(shí)刻Markovian鏈κ(0)∈S滿足系統(tǒng)(2)直到κ(t)跳到另外一個(gè)狀態(tài)，且切換狀態(tài)下系統(tǒng)(2)滿足κ(t)為不可約.

根據(jù)引理1，可將系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為N個(gè)隨機(jī)微分方程.對(duì)?k∈N，有

其中，bk=π*b(κ(t)),ak=π*a(κ(t)),σk=π*σ(κ(t)).

引理2[12]假設(shè)條件(H1)恒成立，則對(duì)于任意的初始值x(0)=x0>0，方程(1)存在唯一解x(t)，t≥0，且解仍然屬于R，即

P{x(t)∈R+,?t≥0}=1.

定義1系統(tǒng)(1)的解x(t)是弱持久的，如果

2主要結(jié)論

研究Markovian跳變種群系統(tǒng)在切換狀態(tài)下弱持久生存的充分性判據(jù),需要用到如下Borel-Cantelli引理：

對(duì)上式兩邊積分，得

lnx(t)=lnx(0)+

將上式代入(5)式，根據(jù)κ(t)的遍歷性，有

因此，可得

所以

對(duì)上式兩邊積分，得

etlnx(t)=lnx(0)+

其中α>1,β>1.利用引理3，對(duì)任意的ε∈Ω，存在一個(gè)隨機(jī)整數(shù)k0=k0(ε)，使得對(duì)k≥k0，有

將上述不等式代入(7)式，可得

對(duì)于任意的0≤γ≤αk，存在一個(gè)常數(shù)D使得

所以對(duì)任意的0≤t≤αk，有

etlnx(t)≤lnx(0)+D(et-1)+βeα klnk,

整理后，可得

對(duì)任意的α(k-1)≤t≤αk，當(dāng)k≥k0時(shí)，有

令k→+∞，則有

由于(6)與(8)式矛盾，因此原假設(shè)成立.】

推論1假設(shè)條件(H1)恒成立，且對(duì)于任意的初始值x(0)>0，若

則系統(tǒng)(3)所代表的種群x(t)將滅絕.

證明根據(jù)(4)式，

的二次變差為

利用引理3，對(duì)任意的ω∈Ω，存在一個(gè)隨機(jī)整數(shù)k0=k0(ω)，使得對(duì)k≥k0，有

所以

將不等式代入(4)式，可得

對(duì)于幾乎所有的0≤t≤k,k≥k0成立，則證明了對(duì)于幾乎所有的0

對(duì)(9)式兩邊同除以t，得

對(duì)上式兩端同時(shí)取上極限，可得

3數(shù)值模擬

本文討論了隨機(jī)非自治Logitic種群系統(tǒng)在Markovian跳變系統(tǒng)中的弱持久性.為了揭示定理的準(zhǔn)確性，以下僅考慮在切換的任意狀態(tài)k∈S種群系統(tǒng)的數(shù)值模擬.

例1考慮隨機(jī)Logistic系統(tǒng)

(a) 弱持久生存　　　　　(b) 滅絕

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)