從一例看“消參數(shù)”技巧的把握

引入、設(shè)立參數(shù)，并利用參數(shù)解題是我們常用的解決數(shù)學(xué)問題方法，特別是在解析幾何問題中，此方法被經(jīng)常提及，這種方法使得數(shù)學(xué)中一些動(dòng)態(tài)幾何問題的解決變得簡(jiǎn)單、容易了. 而參數(shù)的設(shè)立、引入往往不是難點(diǎn)，參數(shù)的退卻、消去才是解題的難點(diǎn).

根據(jù)筆者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)解題過程中，參數(shù)消去主要是在兩個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)上；其一，是在解題過程的中途，此時(shí)若在一個(gè)關(guān)系式中，參數(shù)t比較容易與x、y分離出來，即可以用變量x、y表示出來，得到t=h（x，y）形式，然后把它代入另一個(gè)含有x、y、t的關(guān)系式中的t，經(jīng)過同解變形化簡(jiǎn)，就達(dá)到了消去參數(shù)t的目的；其二，是在解題的后半部，在上一參數(shù)與變量分離的方法很難實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，只得把x、y表示成規(guī)范的參數(shù)方程形式，即x=f■（t），y=f■（t），此時(shí)，按照一般的消元方法（如加減消元法、代入消元法、公式消元法等）處理.

兩者選誰，孰好孰差？很難定論，關(guān)鍵看題目?jī)?nèi)容、解題過程；不過，大多數(shù)的試題，它的消元方法是單一的，只能選取一種方法（大多是后一方法），選取另一個(gè)方法，就會(huì)走不通.

不管怎么樣，參數(shù)進(jìn)入與退卻，都要注意參數(shù)以及變量的取值范圍是不能變的.

為此，筆者以對(duì)下面的試題解答過程中如何消去參數(shù)為例，把這種深刻體會(huì)寫出來供讀者閱讀、思考，來獲得一個(gè)正確的解題認(rèn)知.

■ （2013年安徽理18）設(shè)橢圓E：■+■=1的焦點(diǎn)在x軸上.

（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某條定直線上.

■

圖1

分析 （1）橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是■x2+■y2=1.

（2）設(shè)P（x0，y0），由題意可以給出F1（-■，0），F(xiàn)2（■，0），則PF2的直線方程為y=■（x-■），得Q0，■. 由F1P⊥F1Q得■·■=-1，即y■■=x■■-（2a2-1）.

當(dāng)a■

方法一：化為規(guī)范的參數(shù)方程形式. 直接將y■■=x■■-（2a2-1）代入方程■+■=1得x0=a2，y■=1-a2，消去a2得點(diǎn)P在x0+y0=1的定直線上，其實(shí)，就在不包括端點(diǎn)的線段x0+y0=1x0∈■，1上.

方法二：不化為規(guī)范的參數(shù)方程形式，而是直接去消參數(shù)a2，即直接由y■■=x■■-（2a2-1）得a2=■代入方程■+■=1中的a2，化簡(jiǎn)得x■■-2x■■y■■+y■■-2（x■■+y■■）+1=0；

這是一個(gè)一般的老師、學(xué)生很難進(jìn)行因式分解的式子，解題就會(huì)進(jìn)入一個(gè)去向不明、岔口多甚至是死的胡同. 考試花了時(shí)間，也難能有結(jié)果.

其實(shí)，上式可以湊項(xiàng)為（x■■-y■■）2-2（x■■-y■■）+1=4y■■，再分解為（x0+y0-1）·（x0+y0+1）（x0-y0-1）（x0-y0+1）=0. 結(jié)合題意條件，有x0、y0∈（0，1），上式只能推出x0+y0-1=0，即得點(diǎn)P在x0+y0=1的定直線上，準(zhǔn)確地說就在不包括端點(diǎn)的線段x0+y0=1x0∈■，1上.

解后反思 上面兩種消參數(shù)方法，顯然方法二從消去參數(shù)角度來說相對(duì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)；客觀上，這種方法在平時(shí)也經(jīng)常用，主觀上來說，該試題確實(shí)存在一個(gè)誘惑人這樣做的地方：在由y■■=x■■-（2a2-1）容易得a2=■，能很快速進(jìn)入消元的狀態(tài).當(dāng)然，消去參數(shù)后，對(duì)方程（x■■-y■■）2-2（x■■-y■■）+1=4y■■進(jìn)行同解變形化簡(jiǎn)卻是個(gè)難點(diǎn)，也是一般采用方法二所要碰到的問題.

由此題的兩個(gè)解題過程的深刻體驗(yàn)，消去參數(shù)的過程應(yīng)該根據(jù)題設(shè)條件、解題過程、含參形式等靈活把握，準(zhǔn)確選擇，一路不通，就走另一路. ■