空間距離

吳文堯

重點(diǎn)難點(diǎn)

在立體幾何中，空間距離主要有：點(diǎn)到平面的距離、兩異面直線間的距離、直線到平面的距離（線面平行時）、兩平行平面間的距離. 所有的距離計(jì)算問題都可以化歸為求點(diǎn)到平面的距離，所以求空間距離的重點(diǎn)就轉(zhuǎn)移到如何求點(diǎn)到平面的距離；難點(diǎn)是如何把其他形式的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，以及在涉及具體問題時求點(diǎn)到平面距離的解題對策的選擇及靈活應(yīng)用.

方法突破

一、注意把線線距離、線面距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離

（1）線面距離化歸為點(diǎn)面距離：當(dāng)直線與平面平行時，直線上的點(diǎn)到平面的距離處處相等，直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離.

（2）面面距離化歸為點(diǎn)面距離：當(dāng)平面與平面平行時，其中一個平面上的點(diǎn)到另一平面的距離處處相等，其中一個平面上的任意一點(diǎn)到另一平面的距離即為兩平行平面間的距離.

（3）異面直線間的距離化歸為點(diǎn)面距離：如圖1，a，b是異面直線，AB是它們的公垂線段（AB的長即為異面直線a，b的距離），過點(diǎn)B作a的平行線a■，則直線a■，b確定的平面α和a平行，AB即為直線a到平面α的距離，所以異面直線的距離可化歸為直線到平面的距離，最終化為點(diǎn)到平面的距離.

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圖1

二、掌握求點(diǎn)到平面的距離的幾種常用方法

（1）直接構(gòu)作法：設(shè)點(diǎn)A為平面α外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥平面α于B，則AB的長即為點(diǎn)A到平面α的距離.

（2）平行轉(zhuǎn)移法：設(shè)點(diǎn)A為平面α外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線a與平面α平行，則直線a上的任意一點(diǎn)到平面α的距離即為點(diǎn)A到平面α的距離.

（3）比例轉(zhuǎn)移法：設(shè)點(diǎn)A為平面α外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作平面α的斜線OA交α于點(diǎn)O，P為直線OA上的點(diǎn)（如圖2），設(shè)A，P到平面α的距離分別為h，h0，則h=■h0.

（4）體積法：設(shè)點(diǎn)A為平面α外一點(diǎn)，△BCD在平面α內(nèi)，設(shè)A到平面α的距離分別為h，則■S△BCD=VABCD，即h=■.

（5）空間向量法：設(shè)點(diǎn)A為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，n是平面α的一個法向量，則A到平面α的距離h=■.

（6）公式法：設(shè)P（x0，y0，z0）為空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，平面α的方程為Ax+By+Cz+D=0，則點(diǎn)P到平面α的距離為d=■.

典例精講

■ 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=2，AB=1，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn). 求點(diǎn)D1到平面BDE的距離.

思索一 由點(diǎn)到平面的距離的定義可知，過該點(diǎn)作出已知平面的垂線，則這條垂線段的長即為所求.而解決本題的關(guān)鍵是如何過點(diǎn)D1作出平面BDE的垂線段，注意到點(diǎn)E為線段CC1的中點(diǎn)，若把直角梯形BB1C1E補(bǔ)成△BB1G，則C1E恰為△BB1G的中位線，由此不難得到平面BDG⊥平面DD1G且交線為DG，然后再作垂線段.

破解一 延長BE和B1C1交于點(diǎn)G，連結(jié)GD，GD1，如圖3. 因?yàn)镃1E∥BB1且C1E=■BB1，所以可得GE=EB=ED，故∠BDG=90°，即BD⊥DG.

又因?yàn)锽D⊥DD1，所以BD⊥平面DD1G. 從而平面BDG⊥平面DD1G且交線為DG.

作D1K⊥DG于K，則D1K⊥平面BDG，即D1K⊥平面BDE. 所以D1K即為點(diǎn)D1到平面BDE的距離.

在Rt△D1DG中，D1D=2，D1G=■，故DG=■，D1K=■=■，故點(diǎn)D1到平面BDE的距離為■.

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圖3

思索二 如果注意到D1B1∥平面DBE及圖形的對稱性，那么便可考慮把點(diǎn)D1轉(zhuǎn)移到D1B1的中點(diǎn)O1，再過點(diǎn)O1作平面BDE的垂線段，即用平行轉(zhuǎn)移法解決.

破解二 如圖4，設(shè)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1兩底面的中心分別為O，O1，則O，O1分別為BD，B1D1的中點(diǎn). 因?yàn)镈1B1∥DB，所以D1B1∥平面DBE. 所以點(diǎn)O1到平面BDE的距離等于點(diǎn)D1到平面BDE的距離.？搖？搖？搖？搖

連結(jié)OO1，OE，O1E，則DB⊥OO1，DB⊥OE，所以DB⊥平面OO1E，所以平面BDE⊥平面OO1E，且交線為OE.作O1H⊥OE于H，則O1H⊥平面DBE. 所以O(shè)1H即為點(diǎn)O1到平面BDE的距離，即為點(diǎn)D1到平面BDE的距離.

在△OO1E中，EO=EO1=■，OO1=2. 設(shè)△OO1E的面積為S，則S=■OO1·O1C1=■，S=■OE·O1H=■O1H. 由此可得O1H=■.故點(diǎn)D1到平面BDE的距離為■.

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圖4 圖5

思索三 易見點(diǎn)D1在平面BDE的射影不在△BDE的內(nèi)部，但平面BDE的斜線段D1B的中點(diǎn)Q的射影恰在等腰三角形DBE的底邊的高線上，故把問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)Q到平面BDE的距離較合適，即也可用比例轉(zhuǎn)移法解決.

破解三 設(shè)正四棱柱的底面ABCD的中心為O，線段BD■的中點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q到平面BDE的距離為h，則點(diǎn)D■到平面BDE的距離為2h.

連結(jié)QO，QE，OE，易證明（同破解二）平面BDE⊥平面OQE，且交線為OE.作QP⊥OE于P，則QP⊥平面BDE，故點(diǎn)D■到平面BDE的距離為2QP.

在Rt△OQE中，因?yàn)镺Q=1，QE=■，所以O(shè)E=■，QP=■=■. 故點(diǎn)D1到平面BDE的距離為■.

思索四 上述給出的三種解法在作平面的垂線段時，不約而同地運(yùn)用了“先作面面垂直，再作交線垂線，從而得到平面垂線段”的作圖程序. 故“先作面面垂直，再作線面垂直”是我們值得重視的構(gòu)作平面垂線段的方法. 事實(shí)上，在求點(diǎn)面距離時，不一定要作出垂線段. 在本題中，△BDE是邊長為■ 的正三角形，即△BDE的面積容易求得，且四面體D1BDE“生長在”底面邊長和高均已知的正四棱柱中，四面體D1BDE的其中一個面DD1E恰在正四棱柱的表面上，故很容易求得四面體D1BDE的體積，因此也可運(yùn)用體積法解決.endprint

破解四 設(shè)點(diǎn)D1到平面BDE的距離為d，因?yàn)镾△DBE=■BD·OE=■·■·■=■，所以得V■=■·d·S△DBE=■d. 又因?yàn)閂■=V■=■·BC·S■=■·1·■·2·1=■. 從而可得■·d=■，即d=■. 故點(diǎn)D1到平面BDE的距離為■.

思索五 由于DA，DC，DD1兩兩垂直，且點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，因此，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)都容易得到，故也可考慮用空間向量法解決.

破解五 如圖6，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz（以D為原點(diǎn)），則D（0，0，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），E（0，1，1），所以■=（1，1，0），■=（0，1，1）. 設(shè)平面BDE的一個法向量為n=（x，y，z），則■·n=x+y=0，■·n=y+z=0.

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圖6

故可取n=（1，-1，1），而■=（0，0，2），故點(diǎn)D1到平面BDE的距離d=■=■.

思索六 在本題的解答中，若熟悉空間坐標(biāo)系中點(diǎn)到平面的距離公式，求解便可一蹴而就.

破解六 同破解五，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz（以D為原點(diǎn)），則由已知條件可得D（0，0，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），E（0，1，1），平面BDE的方程為x-y+z=0，所以易得D1（0，0，2）到平面BDE：x-y+z=0的距離為d=■=■.

變式練習(xí)

1. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，CC1=2■，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為（ ）

A. 2 B. ■ C. ■ D. 1

2. 如圖7，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為________.

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圖7

3. 已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為■的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心O到截面ABC的距離為______.

4. 如圖8，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

5. 如圖9，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2. 以AC的中點(diǎn)Q為球心，AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N.

（1）證明：M為PD的中點(diǎn)；

（2）設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為θ，求sinθ的值；

（3）求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

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圖9

參考答案

1. D 2. ■ 3. ■

4. 由題意可知∠ABD=30°，所以AD=■AB=■. 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz（以點(diǎn)A為原點(diǎn)），則A（0，0，0），B（2，0，0），D0，■，0，F(xiàn)（1，0，1）. 設(shè)n=（a，b，1）是平面BDF的一個法向量，則■⊥n且■⊥n，可得a=1，b=■，即n=（1，■，1）. 所以h=■=■.

5. （1）依題意知，AC是所作球面的直徑，所以AM⊥MC. 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，故AM⊥PD.又因?yàn)锳P=AD，？搖所以M為PD的中點(diǎn).

（2）由（1）可知，在Rt△AMC中，AM=2■，AC=2■，所以CM=2■. 所以S△AMC=■AM·MC=2■，V■=■CD·S△AMD=■. 設(shè)點(diǎn)D到平面AMC的距離為h，由V■=V■可得h=■，sinθ=■=■.

（3）PC=6，由AN⊥PC可得AC2=CN·CP，所以CN=■，故CN ∶ CP=5 ∶ 9. 所以點(diǎn)N到平面ACM的距離等于點(diǎn)P到平面ACM的距離的■. 又注意到M為PD的中點(diǎn)，所以P，D兩點(diǎn)到平面ACM的距離相等，所以點(diǎn)N到平面ACM的距離為■h=■. ■endprint