連帶Legendre微分方程邊值問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)

連帶Legendre微分方程邊值問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)*

羅梅， 李順初

(西華大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,成都 610039)

摘要：利用連帶Legendre微分方程在x=1附近的兩個(gè)基本解，通過(guò)構(gòu)造相似核函數(shù)，得到解的相似結(jié)構(gòu)，由此得出解決這類邊值問(wèn)題的一種簡(jiǎn)潔方法——相似構(gòu)造法；該方法大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算步驟，并且能更直觀地觀察出解的內(nèi)在規(guī)律.

關(guān)鍵詞：邊值問(wèn)題；連帶Legendre方程；相似結(jié)構(gòu)；相似核函數(shù)

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.008

收稿日期：2015-07-06；修回日期：2015-08-16.

基金項(xiàng)目：*四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(12ZA164).

作者簡(jiǎn)介：羅梅(1990-)，女，四川樂(lè)至人，碩士研究生，從事微分方程及其應(yīng)用研究.

中圖分類號(hào)：O175文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

眾所周知，二階常系數(shù)線性微分方程的求解問(wèn)題已在數(shù)學(xué)分析中討論過(guò)，并且較容易得出其解.2004年以來(lái)，文獻(xiàn)[1]提出了微分方程解的相似構(gòu)造理論，進(jìn)而一些微分方程邊值問(wèn)題的解[2-10]可以利用相似結(jié)構(gòu)理論求解出來(lái).文獻(xiàn)[11]為求解變系數(shù)微分方程提供了另外一種方法，即通過(guò)線性變換把二階變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)變成連帶Legendre方程來(lái)求解，通過(guò)求解連帶Legendre方程，可很容易得出變系數(shù)微分方程的解，對(duì)于研究連帶Legendre微分方程的解具有重要的意義.基于此，研究如下連帶Legendre方程的邊值問(wèn)題：

(1)

(2)

(3)

其中ν,a,b,α,β,c均為已知的實(shí)常數(shù)，m=0,1,2,…,0<α<β,c≠0.利用微分方程(1)在x=1附近的兩個(gè)基本解，討論邊值問(wèn)題(1)-(3)的解的相似結(jié)構(gòu).

1預(yù)備知識(shí)

方程(1)在x=1附近的兩個(gè)基本解[12]可用超幾何函數(shù)表示為

(4)

(5)

定義引解函數(shù)如下：

則它的通解為

(6)

其中C1,C2為待定常數(shù)，可由式(2)(3)確定.

為了得到式(1)-(3)解的相似結(jié)構(gòu)，首先給出超幾何微分方程的相關(guān)性質(zhì).超幾何函數(shù)有如下的微分性質(zhì)[3]：

即有引理1.

但(x)l+1=x(x+1)…(x+l)=x(x+1)l,則

引理1證畢.

根據(jù)引理1，很容易得到

(7)

(8)

在式(4)-(8)中，令x=α，有

(9)

(10)

同樣，在式(4)-(8)中，令x=β，有

(13)

(14)

2解的相似結(jié)構(gòu)

由式(2)知

(17)

由式(3)知

(18)

聯(lián)立式(17)和式(18)，求解后得

(19)

(20)

將式(19)、(20)代入式(6)，得到邊值問(wèn)題(1)-(3)的解為

(21)

3結(jié)論

相似核函數(shù)只與定解方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解和右邊界條件的系數(shù)有關(guān)，與左邊界條件的系數(shù)無(wú)關(guān).若右邊界條件改變，只需對(duì)核函數(shù)做相應(yīng)的修改，再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，便可得其解.該方法可以使程序變得簡(jiǎn)單明了，易于操作，為編制相應(yīng)的軟件提供方便.

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Similar Structure of the Solution to Boundary Value Problem ofAssociated Legendre Differential Equation

LUO Mei， LI Shun-chu

(Institute of Applied Mathematics， Xihua University， Sichuan Chengdu 610039， China)

Abstract：Based on two basic solutions of associated Legendre differential equation at the neighborhood of x=1， by constructing similar kernel function， the similar structure of the solution is obtained， as a result， a simple method for solving the class of boundary value problem， similar constructive method， is presented.This method largely simplifies the operation steps and can better intuitively find the inherent law of the solution.

Key words： boundary value problem； associated Legendre equation； similar structure； similar kernel function