附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)鞅方法定價(jià)

附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)鞅方法定價(jià)*

朱丹

(湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院 基礎(chǔ)課部,長(zhǎng)沙 410205)

摘要：在假定汽車車身事故損失服從正態(tài)分布模型下，利用Martingale Pricing方法推導(dǎo)出附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)的定價(jià)公式．

關(guān)鍵詞：免賠額特約條款；障礙期權(quán)；鞅測(cè)度；風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)；Girsanov定理

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.016

收稿日期：2015-05-06；修回日期：2015-06-20.

基金項(xiàng)目：*湖南省科技廳軟科學(xué)基金(2011ZK3101)；湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院院級(jí)課題(K201101).

作者簡(jiǎn)介：朱丹(1973-),女，湖南衡陽(yáng)人,副教授,碩士,從事數(shù)理金融研究.

中圖分類號(hào)：F830.9;O211.63文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

免賠額是指在保險(xiǎn)合同中規(guī)定的損失在一定限度內(nèi)保險(xiǎn)人不負(fù)賠償責(zé)任的額度，國(guó)內(nèi)多數(shù)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)公司的車損險(xiǎn)條款中均有關(guān)于免賠額的具體規(guī)定．一般而言，投保人可根據(jù)自己的駕駛技能、經(jīng)濟(jì)實(shí)力、汽車狀況，自由選擇免賠額，高免賠額低繳保費(fèi),低免賠額高繳保費(fèi)，從而實(shí)現(xiàn)權(quán)利和義務(wù)的對(duì)等．對(duì)保險(xiǎn)公司而言，免賠額條款的設(shè)定顯然可以減少小額索賠的費(fèi)用支出.因此，車損險(xiǎn)實(shí)行免賠額條款實(shí)現(xiàn)了客戶與保險(xiǎn)公司的雙贏，已逐漸為市場(chǎng)和客戶接受．對(duì)免賠額汽車車身險(xiǎn)保費(fèi)定價(jià)的研究，國(guó)內(nèi)多采用保險(xiǎn)精算定價(jià)方法[1,2]．事實(shí)上，保險(xiǎn)與期權(quán)有著相似性，二者都是回避風(fēng)險(xiǎn)的金融工具．投保人購(gòu)買保險(xiǎn)相當(dāng)于購(gòu)買了一個(gè)以保險(xiǎn)標(biāo)的為基礎(chǔ)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的賣權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為約定賠償金額，保險(xiǎn)費(fèi)就是該賣權(quán)的價(jià)格．在保險(xiǎn)有效期內(nèi)，若保險(xiǎn)事故發(fā)生并造成標(biāo)的損失，被保險(xiǎn)人就能執(zhí)行賣權(quán)，減少損失額．此處應(yīng)用期權(quán)理論，采用鞅方法定價(jià)(即風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià))，給出了附有免賠額特約條款的的汽車車身險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)價(jià)格公式．

1模型的基本假設(shè)及預(yù)備知識(shí)

1.1基本假設(shè)

(1)

1.2預(yù)備知識(shí)

參考文獻(xiàn)為了得到附有免賠率特約條款的汽車車身險(xiǎn)在0時(shí)刻的價(jià)值表達(dá)式，先引入兩個(gè)引理,其證明參見[6]．

(2)

(3)

(4)

2附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)到期時(shí)刻(T)的價(jià)值特征

附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)在設(shè)置了執(zhí)行價(jià)格K(履賠起付價(jià)格)的同時(shí)，另外又設(shè)置了障礙價(jià)格B(常數(shù))，如在保險(xiǎn)合約有效期內(nèi)，車身事故損失未曾突破B，則保險(xiǎn)合約到期失效；如果突破了B，則附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)到期收益與一般保險(xiǎn)合約到期收益相同．因此，附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)到期時(shí)刻T的現(xiàn)金流量為

(5)

一旦附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)到期現(xiàn)金流量確定后，其評(píng)價(jià)模型可根據(jù)Martingale Pricing的方法求解,在風(fēng)險(xiǎn)中立下，其價(jià)值是到期現(xiàn)金流量期望值的現(xiàn)值，并以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)．

3附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)現(xiàn)在時(shí)刻(0)的價(jià)格推導(dǎo)

根據(jù)附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)到期現(xiàn)金流量CT的定義，它在現(xiàn)在時(shí)刻(0)的價(jià)值C為

(6)

令式(6)中的第1，2部分為V1，V2，則

(7)

又有

(8)

利用引理1，引理2，類似計(jì)算可得

(9)

(10)

將式(8)(9)(10)分別代入式(7)，得到

(11)

(12)

將式(11)(12)分別代入式(6)，最后得到定理1.

定理1附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)在現(xiàn)在(0時(shí)刻)的價(jià)值為

(13)

4結(jié)語(yǔ)

2009年我國(guó)已成為全球機(jī)動(dòng)車第一大市場(chǎng)，隨著國(guó)內(nèi)汽車市場(chǎng)的逐漸擴(kuò)大，由此帶來(lái)的車險(xiǎn)定價(jià)問(wèn)題無(wú)疑是急待理論界與實(shí)務(wù)界探討的重要課題. 此處在常數(shù)利率下，將無(wú)套利定價(jià)原理與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的鞅論、隨機(jī)微分方程理論結(jié)合起來(lái)，得到了附有免賠額特約條款的汽車車身險(xiǎn)的定價(jià)公式，這是數(shù)學(xué)方法在保費(fèi)計(jì)算問(wèn)題中的有益嘗試．

參考文獻(xiàn)：

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[5] 朱丹.附有回售條款的可轉(zhuǎn)換債券的鞅定價(jià)[J].湖南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005,28(4):23-26

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[8] 陳松男.金融工程學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2002

The Martingale Pricing of the Auto Insurance with Deductible Special Provisions

ZHU Dan

(Department of Basic Course,Hunan University of Finance and Economics,Changsha 410205,China)

Abstract：Under the hypothesis that the loss of car accidents is normal distributed,the pricing formula of the auto insurance with deductible special provisions by Martingale approach is deduced.

Key words： deductible special provisions; barrier option; martingale measure; risk-neutral valuation; Girsanov’s theory