基于樣本變異系數(shù)的Gamma分布參數(shù)估計(jì)

陳　超,孟昭為

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049)

基于樣本變異系數(shù)的Gamma分布參數(shù)估計(jì)

陳超,孟昭為

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院, 山東 淄博 255049)

摘要：Gamma分布的參數(shù)估計(jì)問題在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位.借助矩估計(jì)通過樣本變異系數(shù)獨(dú)立性構(gòu)造了Gamma分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)新的估計(jì)量,并通過比較偏差作為評(píng)價(jià)樣本對(duì)估計(jì)參數(shù)下的分布效果.

關(guān)鍵詞：伽馬分布; 樣本變異系數(shù); 矩估計(jì)量

收稿日期：2015-01-12

基金項(xiàng)目：山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013FM012)

作者簡(jiǎn)介:陳超,男,chenchao881014@126.com

文章編號(hào)：1672-6197(2016)01-0033-04

中圖分類號(hào)：O213

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract:The problem of parameter estimation with Gamma distribution occupied a very important position in the mathematic. In this paper, by means of moment estimation through the independence of sample coefficient of variation, we constructed the new estimators of shape parameter and scale parameter of Gamma distribution and estimated distribution parameters by comparing the deviation.

EstimatingparametersofGammadistribution

basedonsamplecoefficientofvariation

CHENChao,MENGZhao-wei

(SchoolofScience,ShandongUniversityofTechnology,Zibo255049,China)

Keywords:Gammadistribution;samplecoefficientofvariation;momentestimator

參數(shù)估計(jì)作為Gamma分布研究的核心問題,是長期以來制約它們實(shí)際應(yīng)用的主要技術(shù)瓶頸,倍受各國學(xué)者關(guān)注.Frery等人在提出Gamma分布的同時(shí)也指出該分布的參數(shù)估計(jì)存在困難[1].為了尋找一種較好的參數(shù)估計(jì)方法,多年來國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的探索和研究.早在1924年美國學(xué)者福斯特采用傳統(tǒng)的矩法估計(jì)參數(shù)，但此后他認(rèn)識(shí)到矩法估計(jì)誤差太大.1946年,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家克里茨基、閔凱里采用最小模比公式進(jìn)行了參數(shù)估計(jì).由于總體最小模比系數(shù)無法確定,導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)了嚴(yán)重偏差. 1960年,前蘇聯(lián)學(xué)者阿列克謝夫推薦用三點(diǎn)法估計(jì)Gamma分布參數(shù),三點(diǎn)法同樣受到個(gè)別觀測(cè)誤差的巨大影響,缺乏平差功能.Hwang和Hu通過Gamma分布的隨機(jī)樣本證明了樣本變異系數(shù)的獨(dú)立性[2].本文將利用這一特性推導(dǎo)出樣本變異系數(shù)平方的期望和方差,進(jìn)而提出Gamma分布形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的新的矩估計(jì)量.

1參數(shù)估計(jì)的基本原理

Gamma分布參數(shù)的新的矩估計(jì)量,需要Hu和Hwang的如下定理[3].

下面的結(jié)論以及定理1有助于求出Vn2的期望和方差.

定理2設(shè)X1,…,Xn為Gamma分布密度函數(shù)的隨機(jī)變量,其Gamma密度為

則

證明 很容易得到

(1)

由樣本變異系數(shù)的定義[4]可知

且其k階距為

(2)

由(1)和(2)得

定理2證畢.

2Gamma分布參數(shù)的新的矩估計(jì)量

定理3 設(shè)X1,…,Xn為Gamma分布密度函數(shù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為

(x>0,α>0,β>0)

證明 由定理1,可以得到

由定理2,根據(jù)上述等式得

定理3證畢.

注意到:當(dāng)n→時(shí),.由于是樣本變異系數(shù)的平方,因此是樣本變異系數(shù)平方的漸近無偏估計(jì)量.

(3)

(4)

由Gamma分布的性質(zhì)得:

則:

由上述等式得:

(5)

由定理2和等式(5)得:

即

由此可得

(6)

這樣可以認(rèn)為當(dāng)樣本足夠大時(shí),樣本變異系數(shù)可以看做常數(shù).它可以用作檢驗(yàn)結(jié)果以及估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差.

3偏差

由偏差的定義[8]可知:

1)給定α和n得到Γ(α,n).

2)取100 000個(gè)獨(dú)立的蒙特卡羅樣本,每組樣本容量為n.

nα=0.1α=1.0α=4.0α=1550.1271.1216.6430.4100.1211.0855.9827.5200.1151.0785.0123.11000.1131.0314.2315.72000.1091.0134.1115.2

4估計(jì)量的比較

再次用蒙特卡羅法來比較在有限樣本下Gamma分布的各種形狀參數(shù)估計(jì)量的偏差,從而更好地認(rèn)識(shí)各種參數(shù)估計(jì)量的優(yōu)劣.不失一般性,把Gamma分布尺度參數(shù)β設(shè)為1.0.

表2Gamma分布不同參數(shù)估計(jì)量的偏差

nα^MOMα^MLEα^M50.0630.0310.027100.0510.0220.021200.0350.0090.0151000.0130.0020.0135000.0040.0010.009α=0.1β=1.0

5結(jié)束語

本文利用樣本變異系數(shù)的獨(dú)立性提出了求解Gamma分布參數(shù)估計(jì)的新方法.首先通過樣本矩估計(jì)總體矩得到了形狀參數(shù)α和尺度參數(shù)β的估計(jì)量,然后利用樣本變異系數(shù)的特性構(gòu)造了該分布參數(shù)的新的估計(jì)量.并進(jìn)行了一定的數(shù)據(jù)分析,利用這種方法可以將此類問題簡(jiǎn)單化.

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(編輯：劉寶江)