關(guān)于不完全Beta函數(shù)的注記

蔣亞萍， 孫中鋒， 秦惠增

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

關(guān)于不完全Beta函數(shù)的注記

蔣亞萍， 孫中鋒， 秦惠增

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049)

摘要：?z?ag E等運(yùn)用Neurix極限將不完全Beta函數(shù)Bx(a,b)中a,b的取值范圍擴(kuò)展到了整個(gè)實(shí)數(shù)域，并給出了a,b為負(fù)整數(shù)時(shí)不完全Beta函數(shù)的顯示表達(dá)式，其結(jié)果發(fā)表于Journal of Mathematical Analysis and Applications. 但是，我們認(rèn)為其推導(dǎo)過程中存在錯(cuò)誤，在此指出錯(cuò)誤之處，并給出相應(yīng)的更正結(jié)果.

關(guān)鍵詞：特殊函數(shù)； 不完全Beta函數(shù)； Neurix極限； 實(shí)數(shù)域

收稿日期：2015-04-22

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61379009;11226315)

通信作者：

作者簡介：蔣亞萍，女，jiangyapingg@163;秦惠增，男，qinhz000@163.com

文章編號(hào)：1672-6197(2016)01-0018-03

中圖分類號(hào)：O172.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract:?z?ag E et al. extended the incomplete beta function Bx(a,b) to all real values of a,b by using the neutrix limit, which was published in “ Journal of Mathematical Analysis and Applications”. Specially, the authors achieved the explicit expression of Bx(a,b) for negative integer values of a or b. In this paper, we point out that there are some errors in their deduction progress and study the corresponding correction.

A note about the incomplete Beta function

JIANG Ya-ping， SUN Zhong-feng， QIN Hui-zeng

(School of Science, Shangdong University of Technology, Zibo 255049, China)

Key words: the special function; the incomplete Beta function; Neutrix limit； real values

通常，不完全Beta函數(shù)被定義為[1]

a,b>0,0

(1)

不完全Beta函數(shù)被廣泛用于統(tǒng)計(jì)學(xué)、精算學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融、生存分析、通信等學(xué)科上,因此,?z?ag E等在文獻(xiàn)[2]中使用Neutrix calculus[3-5]擴(kuò)展a,b的取值范圍，使不完全Beta函數(shù)具有更廣的適用范圍是非常有意義的.然而,我們發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[2]中的部分結(jié)果是錯(cuò)誤的.本文指出文獻(xiàn)[2]中的錯(cuò)誤,并給出相應(yīng)的更正結(jié)果.

1問題

在文獻(xiàn)[2]中，?z?ag E等利用下面的Neutrix極限

0

(2)

將不完全Beta函數(shù)中的a,b的取值范圍擴(kuò)展到了整個(gè)實(shí)數(shù)域上.進(jìn)一步地,利用Neutrix極限

lnmtlnn(1-t)dt,0

(3)

1)當(dāng)n=1,2,…時(shí),

(4)

見文獻(xiàn)[2]中的式(10).

2)當(dāng)n=1,2,…時(shí)，

(5)

見文獻(xiàn)[2]中的式(13).

3)當(dāng)m=n+1,n+2,…,n=1,2,…時(shí)，

Bx(-n,m)=

(6)

4)當(dāng)m,n=1,2,…時(shí)，

Bx(-n,-m)=

(7)

下面我們指出出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果1)～4)的原因，并給出正確的結(jié)果.

2主要結(jié)果

定理 1

Bx(0,n)=

(8)

證明根據(jù)式(2)及Neutrix極限,可以得到

(9)

定理 2

n=1,2,…

(10)

證明按照定理1的證明方法, 有

(11)

結(jié)合式(11)和下面的等式

k=1,2,…,n,

(12)

可知式(10)成立.

導(dǎo)致文獻(xiàn)[2]中式(13)錯(cuò)誤的原因是使用了下面這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果

[(k-1)!]2

(13)

應(yīng)被更正為式(12).

定理 3

Bx(-n,-m)=

φ(m+n)]

(14)

式中m,n=1,2,….

證明對(duì)不完全Beta函數(shù)的定義即式(2)分部積分,可得

Bx(-n,-m)=

(15)

利用

以及Neutrix極限,就有

(16)

反復(fù)利用遞推公式(16),得到

Bx(-n,-m)=

(17)

結(jié)合式(10)和式(17)得式(14).

比較式(14)和式(7)可知，式(7)是不正確的, 其原因也是在證明過程中使用了錯(cuò)誤的結(jié)果式(13).

定理 4

Bx(-n,m)=

(18)

其中

In,m(x)=

(19)

n=1,2,….

證明按照定理3的證明方法,可得

(20)

反復(fù)利用遞推公式(20),得到

Bx(-n,m)=

(21)

結(jié)合式(20)和式(21)可知式(18)成立.

比較式(6)和式(18)可知, 式(6)是不正確的.式(18)可以寫成下面更簡單的形式.

定理5當(dāng)m=n+1,n+2,…,n=1,2,…時(shí)，下面的恒等式是成立的.

(22)

證明由二項(xiàng)式定理可知,

由此可得式 (22).

參考文獻(xiàn)

[1] Gradshteyn I S,Ryzhik I M. Tables of integrals,series,and products[M]. 6th ed. San Diego:Academic Press,2000.

[3] Fisher B,Kuribayashi Y. Neutrices and the Beta function[J]. Rostock Math Kolloq,1987,32:56-66.

[4] van der Corput J G. Introduction to the Neutrix calculus[J]. J Anal Math,1959, 7(1):281-398.

[5] Jack Ng Y,van Dam H. Neutrix calculus and finite quantum field theory[J]. J Phys A,2005,38:317-323.

(編輯：郝秀清)