多聯(lián)連續(xù)梁橋快速 MPA 方法

第一作者曹颯颯男，博士生,1982年生

通信作者袁萬城男，博士,研究員,博士生導師,1962年生

多聯(lián)連續(xù)梁橋快速MPA方法

曹颯颯1,2， 鐘劍1， 袁萬城1

(1.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海200092； 2.廣州大學土木工程學院，廣州510006)

摘要：提出針對多聯(lián)連續(xù)梁橋的快速MPA方法。通過等位移準則計算控制點目標位移，結合MPA方法進行多聯(lián)連續(xù)梁橋快速多模態(tài)推倒分析，能極大簡化多模態(tài)推倒分析步驟。以某3聯(lián)連續(xù)梁橋為例，將等位移準則計算的控制點位移近似作為多模態(tài)推倒分析目標位移，用快速MPA方法對其抗震性能進行評估。與非線性動力時程分析結果對比表明，快速MPA方法可有效評估多聯(lián)連續(xù)梁橋抗震性能。

關鍵詞：等位移準則；多聯(lián)連續(xù)梁橋；多模態(tài)推倒分析；目標位移

基金項目：國家自然科學基金(51478339，51278376);土木工程防災國家重點實驗室基金(SLDRCE14-B-14)

收稿日期：2014-05-14修改稿收到日期：2014-08-14

中圖分類號:U442.5+5文獻標志碼：A

Rapid MPA method for multiple multi-span continuous bridges

CAOSa-sa1,2,ZHONGJian1,YUANWan-cheng1(1. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China；2. College of Civil Engineering, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Abstract:Rapid MPA method was proposed for multiple multi-span continuous bridges. In the rapid MPA, target displacements at control points were computed according to the rule of equal displacement, so the rapid MPA method can greatly simplify the procedure of MPA. For multiple multi-span continuous bridges, the control points’ displacements computed in accordance with the equal displacement rule were used as the approximation of modal pushover target displacements. The rapid MPA proposed has been carried out for seismic performance evaluation of the bridges. Compared with the time-history analysis, it turns out that the rapid MPA is capable of providing reasonable seismic responses of multiple multi-span continuous bridges.

Key words:equal displacement rule; multiple multi-span continuous bridges; rapid modal pushover analysis rapid (MPA); target displacement

橋梁結構初步設計階段，由靜力計算及抗震構造措施擬定的結構體系并非最佳抗震方案。此階段對計算結果精度要求不高，但方案修改頻繁，設計周期緊迫，因此對橋梁結構抗震性能評估的簡化計算方法進行研究具有重要意義。非線性動力時程分析方法計算結果精確，但需耗費較多計算時間。推倒分析方法雖計算精度稍差，但計算速度快，可較好滿足初步設計階段要求。

眾多推倒分析方法中多模態(tài)推倒分析(MPA)法優(yōu)勢突出：考慮高階振型影響，且計算過程無需計算各階模態(tài)實時動力特性，用SAP2000、MIDAS等即可實施[1]，較適合橋梁結構抗震性能評估。Kappos等[2-4]將MPA方法引入橋梁結構的抗震性能評估，研究應用所需修改及適用性、精度；且對MPA方法進行改進，以結構發(fā)生塑形變形后形狀代替彈性模態(tài)形狀進行推倒分析，計算效果更好，且計算方法對控制點選取依賴性更小。魏標等[5-6]以4跨帶橋臺的連續(xù)梁橋為背景，研究MPA方法評估非規(guī)則梁橋地震位移需求的具體細節(jié)。陳星燁等[7]提出修改的MPA方法用于對連續(xù)剛構橋抗震性能分析。

美國Caltrans規(guī)范[8]對橋梁抗震設計時通常對基本周期在0.7～3 s間橋梁結構用等位移準則。郭磊[9]通過研究國內外等位移準則的適用周期，結合我國四類場地特征周期，建議以0.7 s作為等位移準則在橋梁結構中應用的周期限值。

文獻[10]通過討論等位移準則在連續(xù)梁橋中的適用范圍，將其用于評估多自由度連續(xù)梁橋橫橋向位移需求；并將等位移準則從單自由度體系延伸到多自由度連續(xù)梁橋，認為當連續(xù)梁橋主要振型周期均大于單自由度等位移準則的周期下限、且主要振型質量參與系數(shù)之和超過90% 時，可以彈性反應譜分析位移近似作為連續(xù)梁橋彈塑性位移需求。延性設計的連續(xù)梁橋中，主要振型周期一般均大于0.7 s，等位移準則適用范圍較廣；但對連續(xù)梁橋抗震性能評估而言，梁體彈塑性位移僅為需評估的響應之一，其它如橋墩塑性鉸區(qū)域剪力、橋墩塑性鉸轉角、承臺底彎矩(用于評估樁基內力)、系梁內力及變形等仍需計算。而MPA方法可計算該響應量。

本文選取等位移準則適用的多聯(lián)連續(xù)梁橋為研究對象(即主要振型周期均大于0.7 s的連續(xù)梁橋)，簡要介紹基于等位移準則的快速MPA方法，結合某3聯(lián)連續(xù)梁橋研究快速MPA方法的有效性及適用性。

1基于等位移準則的快速MPA方法

多聯(lián)連續(xù)梁橋多模態(tài)推倒分析中，一般選各階模態(tài)形狀中位移最大節(jié)點為控制點，每階模態(tài)對應不同控制點，每個控制點總位移響應主要由與該控制點相應階模態(tài)控制。反之，可近似將控制點總位移響應作為與控制點相應階模態(tài)的貢獻即目標位移，即可將各控制點彈塑性位移響應作為目標位移。

對可用等位移準則的多聯(lián)連續(xù)梁橋而言，連續(xù)梁橋各控制點彈塑性位移需求可由反應譜分析計算獲得。取反應譜方法計算的各控制點位移作為目標位移可省去多模態(tài)推倒分析的諸多步驟(推倒分析曲線雙折線化、單自由度體系目標位移計算及將單自由度體系目標位移轉化為多自由度體系目標位移等)，使MPA方法得到很大程度簡化。

MPA方法大部分計算量均為計算各階模態(tài)目標位移?；诘任灰茰蕜t的快速MPA方法以5%阻尼比反應譜分析計算各控制點位移，取代多模態(tài)推倒分析中①～⑥，使MPA方法計算過程大大簡化，故稱為快速MPA方法。

2工程背景

所選某3聯(lián)連續(xù)梁橋每邊跨向外延伸一聯(lián)作為邊界聯(lián)。5聯(lián)主線橋跨徑布置為3×31+(31+31.7+31)+(41+68+41)+3×31+(30.5+33+30.5) m，每3跨為一聯(lián)，見圖1。主梁采用預應力混凝土現(xiàn)澆箱梁，箱梁頂寬25.5 m，第3聯(lián)主梁變高度、梁底變寬設計(墩頂3.8 m，跨中2 m)，其它聯(lián)主梁高度不變(2 m)。梁體采用沿截面重心的單根框架單元模擬，據(jù)梁截面形狀計算截面特性。梁體單元用彈性單元模擬，不計其非線性。橋墩為上部外伸的雙柱式，墩高均約20 m。大跨度處(P54、P55)墩底截面2 m×1.8 m，墩軸間距5.2 m；其它墩底截面1.7 m×1.6 m，墩軸間距5.4 m。該連續(xù)梁支座布置見圖2，每個墩與主梁在橫橋向固定，縱橋向每聯(lián)有一個固結墩。、、及○分別代表雙向、縱向、橫向活動及固定支座。

圖1　某3聯(lián)連續(xù)梁橋(m) Fig.1 A multi-span continuous bridge

圖2　梁底支座布置圖 Fig.2 Bearing arrangement

樁基礎采用六彈簧單元進行模擬。在每個橋墩底、橫系梁兩端用纖維鉸模擬墩非線性行為，纖維網(wǎng)格尺寸近似取0.1 m。纖維鉸長度據(jù)經(jīng)驗公式[11]計算。將承臺簡化為質量塊，置于承臺中心。

據(jù)《城市橋梁抗震設計規(guī)范》[12]確定該橋E2(50年超越概率2%)抗震設防水準反應譜，其特征周期為0.4 s。采用SIMQKE隨機生成與E2設計反應譜對應的3條人工地震波。3條地震波反應譜與設計反應譜對比見圖3。由圖3可見，人工地震波與設計反應譜擬合得較好，能有效反應場地在預定超越概率下的地震動水平。

圖3　設計反應譜及人工地震波反應譜 Fig.3 Design spectrum and spectra of artificial accelerograms

既有關于橋梁結構的MPA方法，橋梁兩端延伸至橋臺[4,13]，據(jù)橋臺實際情況對梁端進行約束。橋梁總長不大、聯(lián)數(shù)不多時可采用該做法；但橋梁聯(lián)數(shù)較多、總長較大，而所選進行抗震性能評估的聯(lián)數(shù)較少時，以上做法明顯耗時費力。本文采取與非線性時程分析類似方法，將進行抗震性能評估的幾聯(lián)橋梁向外延伸一聯(lián)作為邊界聯(lián)，邊界聯(lián)以外結構不考慮。用SAP2000軟件建立有限元模型，見圖4。

圖4　3聯(lián)主線橋SAP2000模型 Fig.4 SAP2000 model of the multi-span continuous bridge

3計算過程及結果分析

由于采用的5聯(lián)連續(xù)梁橋軸線基本呈直線，墩高變化不大，為等位移準則使用提供了前提。此處，①給出該多聯(lián)連續(xù)梁橋橫橋向振型及周期；②驗證與控制點相應的模態(tài)位移貢獻近似等于控制點總位移響應規(guī)律；③據(jù)所選設計反應譜及3條地震波采用MPA方法、快速MPA方法及非線性動力時程分析方法評估所選連續(xù)梁橋抗震性能，并對比分析各種方法計算結果。

3.1橫橋向振型及周期

該橋橫橋向前6階振型、周期及位移最大節(jié)點見圖5。圖中，uimax為橫橋向第i階模態(tài)位移最大節(jié)點。由圖5看出，各階模態(tài)位移最大點均在某一聯(lián)梁梁端。多模態(tài)推倒分析中均選各梁端節(jié)點為控制點。由于各階模態(tài)周期均大于0.7 s，故等位移準則適用該多聯(lián)連續(xù)梁橋。

圖5　前6階橫橋向振型形狀 Fig.5 First six transverse modal shapes of the bridge

3.2各階模態(tài)對控制點位移的貢獻

由圖5知，橫橋向各階模態(tài)位移最大點基本均在各聯(lián)梁梁端，多模態(tài)推倒分析時分別選其作為控制點，與各階模態(tài)對應，分別將其稱為u1max(第2聯(lián)右端點)、u2max(第1聯(lián)右端點)、u3max(第3聯(lián)右端點)、u4max(第4聯(lián)右端點)、u5max(第1聯(lián)左端點)及u6max(第5聯(lián)右端點)；再增加第二個腳注，uij代表第j階模態(tài)對第i個控制點位移響應的貢獻。據(jù)MPA方法計算出各階模態(tài)的目標位移，進一步計算出各階模態(tài)對各控制點總位移的貢獻(各階模態(tài)位移貢獻與SRSS組合后百分比)見表1。由表1看出，控制點位移響應主要由與其對應階模態(tài)控制，模態(tài)貢獻與總位移響應比值一般均在93%以上(除模態(tài)2外，最小時為88.3%)。說明可近似認為控制點位移響應主要來自與其對應階的模態(tài)貢獻。反之，即可近似將控制點彈塑性位移響應作為與該控制點相應階模態(tài)的位移貢獻，即該階模態(tài)的目標位移。

該現(xiàn)象支持了本文第2部分觀點，即可近似將控制點位移總響應作為與各控制點對應階的模態(tài)貢獻。即可將5%阻尼比反應譜分析的各控制點位移作為MPA分析中相應模態(tài)的目標位移。

3.33種計算方法結果對比分析

以設計E2反應譜作為地震動輸入，對該多聯(lián)連續(xù)梁進行反應譜分析獲得各控制點目標位移，進行快速MPA分析。以3條人工地震波作為地震動輸入，對該多聯(lián)連續(xù)梁橋進行MPA及時程分析，并取3條人工地震波輸入下響應最大值。

表1　各階模態(tài)對控制點位移貢獻

3.3.1墩頂處梁節(jié)點位移

3種方法計算所得各墩頂處梁側向位移見圖6。

圖6　各墩頂處梁側向位移 Fig.6 Lateral displacements of girder at top of piers

用快速MPA方法計算的梁體位移接近或大于MPA方法，一般大于非線性動力時程分析的梁體位移(P49、P50號墩處快速MPA分析結果略小)。

與非線性動力時程分析結果相比，MPA方法對墩頂位移預測的最大誤差為29.7%(P49墩頂)，快速MPA方法對墩頂位移預測最大誤差為48.4%(P52墩頂)。因推倒分析時采用固定的側向力分布模式，不能考慮塑性發(fā)展過程中結構剛度矩陣變化，一定程度上夸大過渡墩位移所致。若提高計算精度，考慮推倒分析過程中橋梁結構動力特性變化，則需采用自適應的MPA方法[14]。對整體效果而言，MPA方法可對梁體位移作出較好預測?？焖費PA方法誤差稍大，較MPA方法計算梁側移結果保守，可用于梁體側移快速評估。

3.3.2墩底、系梁端部塑性鉸轉角

用MPA、快速MPA方法及非線性時程分析方法計算獲得各墩底、系梁端部最大塑性鉸轉角據(jù)各纖維截面屈服曲率及各塑性鉸相應于屈服曲率的屈服轉角見圖7、圖8。塑性鉸轉角超過屈服轉角橫線時表示該處產(chǎn)生塑性鉸。

由圖7知，與對梁側移評估精度相比，MPA方法對P49、P50、P52墩底塑性鉸轉角評估精度較差，均超過30%，而對其它墩底塑性鉸轉角評估誤差則在30%以內。說明MPA方法對結構局部變形評估精度低于對整體變形?？焖費PA方法計算的塑性鉸轉角較MPA結果及誤差偏大，P52墩塑性鉸轉角誤差最大為90.4%。雖快速MPA方法誤差稍大，但與MPA方法相比結果保守，可用于梁體側移快速評估。

圖7　各墩墩底塑性鉸轉角 Fig.7 Plastic hinge rotations at bottom of piers

由圖8知，快速MPA方法對P52、P53墩處橫系梁塑性鉸轉角計算值偏大。兩種多模態(tài)推倒分析方法(MPA及快速MPA方法)對P49、P50處橫系梁塑性鉸轉角計算值偏小?？傮w而言，兩種推倒分析方法對橫系梁塑性鉸轉角評估結果較好。

圖8　各墩系梁最大塑性鉸轉角 Fig.8 Plastic hinge rotations at ends of strainingbeams

由圖7、圖8看出，MPA方法未能捕捉到P49、P50墩底塑性鉸；快速MPA方法成功捕捉到連續(xù)梁橋產(chǎn)生的所有塑性鉸。

3.3.3墩底塑性鉸區(qū)剪力

用MPA、快速MPA方法及非線性時程分析方法計算所得各墩底塑性鉸區(qū)最大剪力見圖9。由圖9看出，MPA、快速MPA方法計算所得墩底塑性鉸區(qū)剪力與非線性動力時程分析結果非常接近，誤差在22%以內。MPA方法可有效評估橋梁塑性鉸區(qū)剪力。減小計算量情況下，快速MPA法對塑性鉸區(qū)剪力的評估結果與MPA方法計算結果基本一致。

圖9　各墩墩底塑性鉸區(qū)剪力 Fig.9 Shear forces of plastic hinges at bottom of piers

3.3.4各墩承臺底彎矩

由于采用六彈簧模型模擬群樁基礎，承臺底總彎矩大小可代表墩底最不利樁基的地震動響應。用MPA方法、快速MPA方法及非線性時程分析方法計算所得各承臺底彎矩見圖10。由圖10看出，減小計算量情況下基于等位移準則的快速MPA法對承臺底彎矩評估結果與MPA方法計算結果基本一致，僅對P54墩承臺誤差為15.9%，其它墩誤差均在15%以內，為有效評估樁基的抗震性能提供有力保證。說明基于等位移準則的MPA可對樁基的抗震性能作出快速有效評估。

圖10　各墩承臺底彎矩 Fig.10 Moments at bottom of caps

3.3.5不同墩高參數(shù)分析

靜力彈塑性方法為近似方法，無嚴密的理論基礎。為驗證快速MPA方法的適用性，本文在原墩高基礎上選整體高度降低5 m、增加5 m、增加10 m的3種新模型進行參數(shù)分析。各種墩高下橋梁梁體側移見圖11。由圖11看出，隨墩高增加P52號墩頂處梁側移誤差有增大趨勢(4種情況分別為50%、48%、98%、84%)。此為墩高增加橋墩延性變形增大所致，即大誤差因固定側向力分布模式局限性引起；但對其它墩頂處梁體側移計算誤差均在30%以內。整體而言，快速MPA方法可有效預測不同延性的多聯(lián)連續(xù)梁橋抗震性能。

圖11　各墩墩頂處梁側向位移 Fig.11 Lateral displacements of girder at top of piers

對參數(shù)分析引入的3種新模型而言，快速MPA方法對其塑性鉸轉角、塑性鉸區(qū)剪力及承臺底彎矩評估效果與原模型基本一致，此處不再贅述。

4結論

提出以等位移準則計算多聯(lián)連續(xù)梁橋目標位移，并與MPA方法結合形成快速MPA方法。通過對某3聯(lián)連續(xù)梁橋分析、計算，結論如下：

(1)對等位移準則適用的多聯(lián)連續(xù)梁橋進行多模態(tài)推倒分析時，若對各階模態(tài)分別選取位移最大點為控制點，則該點模態(tài)位移貢獻占控制點彈塑性位移的90%以上，可近似將5%阻尼反應譜分析的控制點位移作為多模態(tài)推倒分析的目標位移。

(2)快速MPA分析結果較MPA分析及時程分析結果稍大，但計算結果較保守，可作為初步設計階段抗震依據(jù)，且適用不同墩高橋梁。

(3)快速MPA方法大大簡化多聯(lián)連續(xù)梁橋多模態(tài)推倒分析步驟，用SAP2000即可實施，易于掌握，可作為初設階段多聯(lián)連續(xù)梁橋抗震性能評估工具。

參考文獻

[1]Chopra A K,Goel R K. A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2002, 31(3): 561-582.

[2]Kappos A J,Paraskeva T S,extos A G. Seismic assessment of a major bridge using modal pushover analysis and dynamic time-history analysis[J]. Keynote lecture, ICCES, 2004, 4: 673-680.

[3]Paraskeva T S,Kappos A J,extos A G. Extension of modal pushover analysis to seismic assessment of bridges[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2006,35(10): 1269-1293.

[4]Paraskeva T S,Kappos A J. Further development of a multimodal pushover analysis procedure for seismic assessment of bridges[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2010, 39(2): 211-222.

[5]魏標,李建中. 非規(guī)則梁橋的模態(tài)推倒分析[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(2): 110-114.

WEI Biao, LI Jian-zhong.Modal pushover analysis of an irregular continuous bridge[J]. Journal of Vibration and Shock,2011, 30 (2): 110-114.

[6]魏標,李建中. 基于位移的非規(guī)則梁橋抗震設計[J]. 土木工程學報, 2011, 44(8): 95-101.

WEI Biao, LI Jian-zhong. Displacement-based seismic design of irregular continuous bridges[J]. China Civil Engineering Journal. 2011, 44 (8): 95-101.

[7]陳星燁,唐雪松,趙冰. 修改的 MPA 法用于連續(xù)剛構橋的抗震性能分析[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(12): 93-96.

CHEN Xing-hua,TANG Xue-song, ZHAO Bing. Modified MPA for seismic performance evaluation of continuous rigid frame bridges[J]. Journal of Vibration and Shock,2010,29(12): 93-96.

[8]Caltrans S D C. Caltrans seismic design criteria version 1.3[S]. California Department of Transportation, Sacramento, California, 2004.

[9]郭磊. 橋梁結構基于位移的抗震設計方法研究[D]. 上海: 同濟大學, 2006.

[10]魏標,李建中. 連續(xù)梁橋橫橋向等位移準則[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(11): 100-104.

WEI Biao, LI Jian-zhong. Equal displacement rule in transverse direction of multi-span continuous bridge[J]. Journal of Vibration and Shock,2009, 28 (11):100-104.

[11]Priestley M J N. Seismic design and retrofit of bridges[M].John Wiley & Sons, 1996.

[12]CJJ 166-2011,城市橋梁抗震設計規(guī)范[S].

[13]Pinho R, Monteiro R, Casarotti C, et al. Assessment of continuous span bridges through nonlinear static procedures [J]. Earthquake Spectra, 2009, 25(1): 143-159.

[14]Shakeri K, Tarbali K，Mohebbi M. Modified adaptive modal combination procedure for nonlinear static analysis of bridges[J]. Journal of Earthquake Engineering, 2013, 17(6): 918-935.