基于雙樹復(fù)小波與非線性時間序列的降噪方法

第一作者胥永剛男，博士，副教授，1975年生

郵箱:xyg@bjut.edu.cn

基于雙樹復(fù)小波與非線性時間序列的降噪方法

胥永剛，趙國亮，馬朝永，張建宇

(北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院先進制造技術(shù)北京市重點試驗室，北京100124)

摘要：針對雙樹復(fù)小波變換傳統(tǒng)軟閾值降噪方法對實、虛部樹系數(shù)分別進行閾值處理時提取的強背景噪聲下軸承故障特征信號效果不理想，且實、虛部分離的閾值處理方法會引起局部相位失真問題，利用故障信號小波變換系數(shù)具有周期性與雙樹復(fù)小波系數(shù)模震蕩小等特點，提出雙樹復(fù)小波變換與非線性時間序列方法相結(jié)合的強背景噪聲下軸承故障特征提取方法。對故障信號進行雙樹復(fù)小波變換，獲得各層小波系數(shù)并求模，選擇系數(shù)模周期性較強層系數(shù)進行非線性時間序列處理，增強系數(shù)中周期性成分，抑制隨機噪聲；對增強后系數(shù)進行軟閾值處理消除直流成分對提取結(jié)果的影響；將處理后系數(shù)還原為復(fù)數(shù)形式進行雙樹復(fù)小波重構(gòu)，可成功提取弱故障特征信號。仿真、試驗信號處理結(jié)果表明，該方法能有效提取強背景噪聲下的故障特征信號。

關(guān)鍵詞：雙樹復(fù)小波變換；非線性時間序列；軟閾值；降噪

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51375020)；北京市優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助計劃(2011D005015000006)；北京市教委科研計劃項目(KM201310005013)；北京市屬高等學(xué)校青年拔尖人才培育計劃；北京工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金

收稿日期：2014-04-01修改稿收到日期：2014-07-16

中圖分類號:TH133.3；TH165文獻標(biāo)志碼：A

New denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series

XUYong-gang,ZHAOGuo-liang,MAChao-yong,ZHANGJian-yu(Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Abstract:A new denoising method based on dual-tree complex wavelet transform and nonlinear time series was proposed, considering the weakness, such as the phase distortion, of the wavelet soft-threshold denoising method, in which the real and image parts of the coefficient are processed individually. The new method process the magnitude of the complex coefficients instead, taking into account the fact that the magnitude does not oscillate in positive and negative directions which is more suitable for threshold denoising and the fact that the coefficients of the fault signal are always periodic. The nonlinear time series method can be used to strengthen the periodicity of the coefficients caused by the fault signal and to restrain the noise meanwhile. In the method proposed, the fault signal was decomposed by dual-tree complex wavelet transform to obtain the coefficients of different layers, the nonlinear time series method was used to strengthen the periodicity of the coefficient, and then the soft-threshold denoising was carried out to remove the DC component. Finally, the fault characteristic signal was obtained by coefficient reconstruction. The simulation and experimental results show the effectiveness of the method, and a new efficient denoising method was provided.

Key words:dual-tree complex wavelet transform (DT-CWT); nonlinear time series; soft threshold; denoising

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機械的關(guān)鍵組成部分最易發(fā)生故障。據(jù)統(tǒng)計，旋轉(zhuǎn)機械故障的30%均由軸承故障引起。滾動軸承故障振動信號常表現(xiàn)出非線性非平穩(wěn)特性，且現(xiàn)場存在強噪聲干擾，較難提取滾動軸承故障特征[1]。 因此，研究強背景噪聲下滾動軸承故障特征信號的提取方法具有重要意義。

傳統(tǒng)離散小波變換(DWT)對非線性非平穩(wěn)信號的處理效果良好?；谛〔ㄗ儞Q的降噪方法研究主要集中于小波系數(shù)閾值的選取，且較成熟；但由于DWT小波系數(shù)震蕩劇烈，采用閾值降噪會丟失部分細節(jié)信息。雙樹復(fù)小波變換[2]作為傳統(tǒng)離散小波變換的改進方法，采用兩樹濾波器組完成小波分解與重構(gòu)，較傳統(tǒng)方法具有良好的抗頻率混疊特性、近似平移不變性與完全重構(gòu)特性。已成功用于圖像處理[3]、語音識別[4]、電力系統(tǒng)[5]及故障診斷[6-8]等。邱愛中[9]通過研究軟閾值降噪方法，提出閾值降噪并用于水輪機軸承故障診斷。陳志新[10]對雙樹復(fù)小波的NeighBlock降噪方法進行研究；但均忽略故障特征信號周期性造成小波系數(shù)周期性對降噪的重要性。

本文提出基于雙樹復(fù)小波與非線性時間序列的降噪方法，充分利用小波系數(shù)的周期性進行強背景噪聲信號故障特征提取。仿真、試驗信號處理結(jié)果證明該方法的可行性、有效性。

1雙樹復(fù)小波變換

雙樹復(fù)小波變換(Dual-tree Complex Wavelet Transform, DT-CWT)采用兩樹平行近似互為希爾伯特變換對的濾波器進行信號分解與重構(gòu)，分別稱為實部樹、虛部樹。分解、重構(gòu)過程中兩樹濾波器采樣頻率相同，但要求虛部樹采樣位置落后實部樹采樣間隔1/2。半個采樣間隔延遲與互為希爾伯特變換對的濾波器性質(zhì)使實、虛部樹聯(lián)合能更充分利用采樣前小波變換系數(shù)信息，亦能克服傳統(tǒng)離散小波變換的平移不變性差與頻率混疊等缺陷，且具有良好的方向選擇性、完全重構(gòu)性及較高計算效率。雙樹復(fù)小波小波函數(shù)可表示為

ψ(t)=ψh(t)+iψg(t)

(1)

式中：ψh(t)，ψg(t)為兩實小波；i為復(fù)數(shù)單位。

雙樹復(fù)小波變換由兩個并行的實小波變換組成，分解、重構(gòu)過程見圖1。其中h0，h1分別為實部樹對應(yīng)的低、高通濾波器；g0，g1分別為虛部樹對應(yīng)的低、高通濾波器；h0′，h1′為重構(gòu)時實部樹濾波器組；g0′，g1′為重構(gòu)時虛部樹濾波器組。

2非線性時間序列局部投影算法原理

2.1基本原理

非線性時間序列分析方法已成功用于醫(yī)療[11]及故障診斷[12-13]等。該方法基本思想為將非線性時間序列進行相空間重構(gòu)，通過局部投影方法將背景信號、特征信號及噪聲投影到不同子空間，抑制時間序列中隨機噪聲成分，達到分離效果。

設(shè)動力系統(tǒng)非線性狀態(tài)方程為

xk+1=F(xk)

(2)

當(dāng)F未知時，xk+1可近似為狀態(tài)xk在{xk},k=1,…,N中u(n)鄰域內(nèi)的線性化估計，即

(3)

不存在噪聲時Anxn+bn-xn+1=0，系統(tǒng)處于超平面內(nèi)；受噪聲干擾時yn=xn+ηn，對信號進行相空間重構(gòu)，噪聲處于超平面外的相空間中?？蓪n投影到該超平面進行信號消噪。

對任意時間序列sn，可重構(gòu)m維相空間為

sn={sn(m1)τ,sn(m2)τ,…,snτ,sn}

(4)

式中：τ為延時時間；m為嵌入維數(shù)。

該相空間與原系統(tǒng)動力學(xué)特性相同，與原系統(tǒng)動力學(xué)行為微分同胚。通過sn最小化解對其修正。該投影降噪法稱為非線性空間局部投影算法。具體步驟如下：

(1)對時間序列S=s1,s2,…,sn，確定延時時間τ及嵌入維數(shù)m，進行m維相空間重構(gòu)，即

sn={sn-(m-1)τ,sn-(m-2)τ,…,sn}

(5)

(2)確定鄰域半徑ε，尋找滿足‖sk-sn‖∞<ε的向量及個數(shù)N。

(3)計算滿足條件的N個向量質(zhì)心，即

(6)

(4)計算協(xié)方差矩陣，即

(7)

式中：R為對角權(quán)重矩陣，可抑制相點首尾元素產(chǎn)生的畸變。R11，Rmm取較大值，其它Rii=1。

(8)

(6)返回步驟(2)，直到所有相點處理完畢。

修正完畢后將sn中標(biāo)量信號取平均值即可重構(gòu)獲得降噪后信號，投影多次效果更佳。

2.2參數(shù)確定方法

參數(shù)選擇直接影響算法的降噪效果。延遲時間τ的確定方法有自相關(guān)函數(shù)法、平均位移法、復(fù)自相關(guān)法及平均互信息法等。其中自相關(guān)函數(shù)法與復(fù)自相關(guān)法較常用。嵌入維數(shù)m的確定方法有幾何不變量法、虛假鄰點法及改進虛假鄰點法等。文獻[14]對非線性時間序列局部投影算法參數(shù)確定的幾種常用方法進行總結(jié)，并討論各自計算復(fù)雜性與使用便捷性。

本文利用局部投影算法對周期性較明顯的小波分解系數(shù)進行隨機噪聲抑制與周期性特征增強。由于處理數(shù)據(jù)周期性特征較明顯，故在確定延遲時間τ時采用自相關(guān)函數(shù)法。對嵌入維數(shù)m，采用效果更好的改進虛假鄰點法進行確定，Q一般為3～5。

3DT-CWT與非線性時間序列局部投影算法相結(jié)合的降噪方法

通常小波變換系數(shù)在信號沖擊特征明顯處幅值較大，且實小波變換系數(shù)在特征明顯處出現(xiàn)正負值劇烈交替震蕩，給局部投影算法對周期性特征提取造成較大影響，如對延遲時間十分敏感等。信號經(jīng)雙樹復(fù)小波變換所得小波系數(shù)可表示為復(fù)數(shù)形式，其模在信號沖擊特征明顯處具有幅值較大特點，且變化較平穩(wěn)(無劇烈正負值交替震蕩)，周期性更明顯，使其對延遲時間與嵌入維數(shù)的敏感性降低從而更適合非線性時間序列局部投影算法的處理要求。

對系數(shù)模進行降噪，利用保留的相位信息可將降噪后的模還原為復(fù)數(shù)形式，避免對實虛部分別進行閾值降噪再還原為復(fù)數(shù)所致相位失真現(xiàn)象(在實部樹系數(shù)較大被保留、虛部樹較小歸零下出現(xiàn))。具體實施步驟為：①對信號進行雙樹復(fù)小波變換，獲得不同層系數(shù)矩陣，計算其模保留相位信息。②選模周期性較明顯的層系數(shù)及合適的τ，m及Q值進行單次或多次非線性局部投影算法處理。當(dāng)系數(shù)模的周期性不十分明顯時，可借助系數(shù)譜選擇；當(dāng)系數(shù)模存在周期性時其系數(shù)譜必定會出現(xiàn)倍頻現(xiàn)象。③選取合適閾值對周期增強后的小波系數(shù)模進行軟閾值處理以消除直流成分對重構(gòu)信號影響，再利用保留的相位信息還原為復(fù)數(shù)形式的小波系數(shù)。④將處理后的小波系數(shù)進行單支重構(gòu)，即可獲得降噪后信號。

4仿真與試驗

4.1仿真信號處理效果

單邊沖擊序列x(t)由10段衰減正弦信號組成，x(t)定義為

(9)

式中：fn=2 000；ζ=0.1。

采樣頻率10 kHz，每段100點，總點數(shù)N=1 000。通過向x(t)添加信噪比為-5 dB高斯白噪聲獲得噪聲污染信號y(t)。x(t)與y(t)的時域波形見圖2。由圖2可見，y(t)中未發(fā)現(xiàn)明顯的周期性沖擊成分。

將y(t)進行3層雙樹復(fù)小波分解，繪制各層系數(shù)模波形，見圖3。圖中d1～d3為1～3層小波系數(shù)模，c3為第3層尺度系數(shù)模，由圖3看出，d2的周期性較明顯，故選擇對d2進行降噪。

圖2　x(t)與y(t)時域波形 Fig.2 Waveform of x(t) and y(t)

圖3　雙樹復(fù)小波分解各層系數(shù)模 Fig.3 The magnitude of the DT-CWT coefficients

采用自相關(guān)函數(shù)法獲得延遲時間間隔見圖4。圖中虛線為門限值1-1/e位置，十字線表示自相關(guān)函數(shù)隨時延τ的變化趨勢，相關(guān)值下降接近該門限值時即為合適的時延時間，本文選τ=6。據(jù)改進虛假臨近點法(Cao方法)指標(biāo)E1，E2隨嵌入維數(shù)變化曲線見圖5。由圖5看出，選兩條線變化平穩(wěn)、值較接近的點作為嵌入維數(shù)即可，故本文選m=13。鄰域半徑選擇方法較簡單，只需略大于噪聲的平均幅值水平即可，本文選鄰域半徑ε=0.5。R11，Rmm一般為103，Q=3。

圖4　自相關(guān)函數(shù)法選取延遲時間間隔 Fig.4 Choose the time delay using autocorrelation function

圖5　改進虛假鄰點法選取嵌入維數(shù) Fig.5 Choose the embedding dimension using Cao method

圖6　d 2非線性時間序列降噪結(jié)果 Fig.6 Denoising result by nonlinear time series

圖6為對d2進行兩次非線性時間序列局部投影算法降噪結(jié)果(參數(shù)相同)。由圖6發(fā)現(xiàn)，d2經(jīng)投影算法處理后波形中隨機沖擊成分已明顯減少，只保留周期性成分及直流成分(直流分量約0.3)。

為去除直流成分降低其對重構(gòu)波形干擾，對降噪后的結(jié)果進行簡單的閾值為0.3的軟閾值處理，結(jié)果見圖7。

圖7　d 2最終降噪效果 Fig.7 The final magnitude of the second layer complex coefficient after denoising

對d2進行單獨軟閾值處理，結(jié)果見圖8。其中閾值用Donoho方法[15]計算，即

(10)

圖8　Donoho軟閾值降噪 Fig.8 Denoising using Donoho soft-threshold

分別將處理后系數(shù)進行重構(gòu)，獲得降噪信號，結(jié)果見圖9。由圖9看出，時域波形方面，d2直接重構(gòu)信號雖出現(xiàn)周期性沖擊特征，但仍含較強噪聲；軟閾值降噪結(jié)果雖保留部分沖擊特征，但大部分沖擊特征與背景噪聲被一并去除，不能達到良好的降噪效果；基于非線性時間序列的降噪方法在去除強背景噪聲的同時更完整保留故障特征信號，較傳統(tǒng)軟閾值降噪方法降噪效果更好。該效果可用信噪比定量評價，即

(11)

圖9　非線性時間序列與軟閾值降噪效果對比 Fig.9 Comparison of the noise reduction effect based on nonlinear time series and soft-threshold

圖9中3種信號相對x(t)信噪比見表1，對比發(fā)現(xiàn)，本文方法所得信號信噪比更高，降噪效果更好。

表1　降噪效果對比

4.2試驗信號處理效果

試驗系統(tǒng)包括軸承試驗臺、壓電式加速度傳感器及數(shù)據(jù)采集儀。滾動軸承故障模擬試驗臺結(jié)構(gòu)見圖10。試驗臺滾動軸承型號為6307，傳感器垂直安裝于末端軸承座。通過末端軸承座內(nèi)分別安裝正常軸承及模擬故障軸承獲取試驗臺正常及軸承模擬故障下振動信號。

圖10　軸承試驗臺 Fig.10 Rolling bearing test rig

為模擬軸承外圈裂紋故障，利用線切割技術(shù)在正常軸承外圈滾道加工寬約0.5 mm，深0.5 mm凹槽。試驗時，電機轉(zhuǎn)速為1 496 r/min，采樣頻率設(shè)為15 360 Hz，采樣點數(shù)2 048。所得外圈裂紋模擬故障振動信號見圖11，可見無明顯周期性沖擊。

圖11　外圈故障模擬信號 Fig.11 Outer ring fault simulation signal

利用DT-CWT對試驗信號進行3層分解，獲得3層小波系數(shù)及第3層尺度系數(shù)，見圖12。其中，d1～d3分別為第1～3層小波系數(shù)模，c3為第3層尺度系數(shù)模。由圖12看出，各層小波系數(shù)與尺度系數(shù)模無明顯的周期性。

圖12　小波系數(shù)與尺度系數(shù)模 Fig.12 The magnitude of the detail coefficients and approximation coefficients computed using DT-CWT

求得各層系數(shù)模的系數(shù)譜見圖13。由圖13看出，d1的系數(shù)譜呈現(xiàn)倍頻特征，預(yù)示其存在周期性特征，故選d1分別進行非線性時間序列局部投影算法及單獨軟閾值處理。

圖13　小波系數(shù)與尺度系數(shù)系數(shù)譜 Fig.13 Spectrum of the detail coefficients and approximation coefficients

分別利用自相關(guān)函數(shù)法與改進虛假臨近點法確定延遲時間及嵌入維數(shù)，即τ=100，m=10。鄰域半徑ε=5，Q=3。通過分析處理結(jié)果可確定軟閾值處理過程閾值為3。經(jīng)計算單獨Donoho軟閾值處理的閾值為3。處理結(jié)果見圖14。

圖14 　d 1非線性局部投影算法與單獨軟閾值降噪效果 Fig.14 Comparison of the coefficients noise reduction effect based on nonlinear time series and soft-threshold

圖15　降噪效果對比 Fig.15 Comparison of the noise reduction effect based on nonlinear time series and soft-threshold

將處理的系數(shù)模還原為小波系數(shù)，進行雙樹復(fù)小波重構(gòu)，獲得降噪后信號見圖15。由圖15看出，直接重構(gòu)信號仍存在較強的背景噪聲，由于故障頻帶內(nèi)含較強烈背景噪聲，單獨雙樹復(fù)小波單支重構(gòu)降噪方法并不能成功提取強背景噪聲下的故障特征信號；軟閾值降噪方法降噪效果同樣不理想，難以分辨是否存在周期性沖擊；本文的基于雙樹復(fù)小波與非線性時間序列降噪方法能在去除強背景噪聲同時較完整保留弱沖擊故障特征，成功提取到強背景噪聲下故障特征信息，降噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)軟閾值降噪方法。

5結(jié)論

通過研究雙樹復(fù)小波變換與非線性時間序列局部投影方法相結(jié)合的軸承故障特征信號提取，利用故障特征信號引起的小波系數(shù)周期性實現(xiàn)強背景噪聲下故障特征提取，結(jié)論如下：

(1)雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)模能更準確反映信號中周期性沖擊成分；可利用故障頻帶所處層小波系數(shù)的周期性進行故障特征信號提取。

(2)非線性時間序列局部投影算法能提取小波系數(shù)的周期性成分，有效降低系數(shù)中隨機噪聲，進而從小波系數(shù)層面進行降噪。

(3)將雙樹復(fù)小波變換與非線性時間序列局部投影方法相結(jié)合能有效提取強背景噪聲中軸承故障特征信號，較傳統(tǒng)軟閾值降噪方法降噪效果更好，同時亦為小波系數(shù)降噪提供了新方法。

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