金屬梁結(jié)構(gòu)表面微損傷的譜有限元分析

金屬梁結(jié)構(gòu)表面微損傷的譜有限元分析

許伯強(qiáng),張景秀,徐桂東,許晨光

(江蘇大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江212013)

摘要針對(duì)智能壓電晶片梁結(jié)構(gòu),采用譜有限元方法,基于力電理論建立壓電晶片/結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的機(jī)電阻抗損傷評(píng)價(jià)的譜元數(shù)值模型。模型中假設(shè)采用Timoshenko梁理論,壓電晶片采用Euler-Bernoulli梁理論和一維壓電雙向耦合理論。利用哈密頓原理得到時(shí)域中控制方程和邊界條件,經(jīng)FFT變換建立譜元模型,進(jìn)而利用譜有限元法分析了導(dǎo)波的頻率響應(yīng)特性、導(dǎo)納特性以及損傷對(duì)導(dǎo)納響應(yīng)的影響,數(shù)值結(jié)果與有限元結(jié)果取得較好的一致。譜有限元力電耦合模型為深入理解實(shí)際檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行損傷檢測(cè)和評(píng)估提供了分析依據(jù)。

關(guān)鍵詞譜有限元法;損傷檢測(cè);機(jī)電導(dǎo)納

收稿日期:2015-04-07

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172114);江蘇省六大人才高峰基金資助項(xiàng)目(2012-ZBZZ-027)

作者簡(jiǎn)介:許伯強(qiáng)(1963—),男,教授,博士生導(dǎo)師。研究方向:超聲無損檢測(cè)與評(píng)價(jià),先進(jìn)傳感器設(shè)計(jì)。E-mail:bqxu@ ujs.edu.cn。張景秀(1988—),女,碩士研究生。研究方向:壓電超聲無損檢測(cè)。

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2015.12.002

中圖分類號(hào)TN04;O422文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Spectral Finite Element Analysis of Surface Damage on Metal Beam Structure

XU Baiqiang,ZHANG Jingxiu,XU Guidong,XU Chenguang

(School of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

AbstractThe spectral finite element method (SFEM) is developed to model the surface-bonded piezoelectric wafer and beam structure.The Timoshenko beam theory,the Euler-Bernoulli beam theory and linear piezoelectricity are used to model the base beam and electric-mechanical behavior of the piezoelectric wafer respectively.The governing equations are obtained in the time domain by using Hamilton’s principle,and then the Spectral finite element model are formulated via the fast Fourier transform.The SFEM is used to analyze the frequency response function,admittance characteristics and the influence of damage.The high accuracy of the present SFEM is verified by a comparison with the finite element method (FEM) results.The numerical model and its calculation results provide analysis basis for damage detection and assessment of the practical detection signal.

Keywordsspectral finite element method (SFEM);damage detection;electric-mechanical admittance

結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)/監(jiān)測(cè)集力學(xué)、材料科學(xué)、先進(jìn)傳感技術(shù)與信息技術(shù)等于一體,通過實(shí)時(shí)檢測(cè)/監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),對(duì)結(jié)構(gòu)性能及其損傷進(jìn)行評(píng)估,在提高工程結(jié)構(gòu)的安全性同時(shí)降低工程結(jié)構(gòu)的維護(hù)成本。壓電晶片換能器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于小型化且價(jià)格低廉,已廣泛應(yīng)用于基于超聲導(dǎo)波技術(shù)的梁、板及復(fù)合層狀材料的損傷檢測(cè)[1-2]。壓電晶片激勵(lì)頻率可高達(dá)幾百kHz,適合微小損傷的檢測(cè)。因此,建立壓電晶片與結(jié)構(gòu)耦合的高頻動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的數(shù)值模型,構(gòu)建快速、高效的損傷算法,有助于壓電晶片在結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)中的應(yīng)用。

有限元法(FEM)是解決復(fù)雜多樣的工程問題,分析導(dǎo)波特性的一種數(shù)值方法。Naidu等人將機(jī)電阻抗方法與有限元模型結(jié)合來評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的損傷程度[3]。Rischmuller基于區(qū)域分解法研究了預(yù)處理框架內(nèi)的邊界元與有限元的并行耦合問題[4]。Annamdas等研究了載荷對(duì)壓電陶瓷換能器的機(jī)電導(dǎo)納的影響[5]。Kim使用有限元模型研究了壓電驅(qū)動(dòng)/傳感粘貼在平板的導(dǎo)納和頻率響應(yīng)特性[6]。為了精確模擬結(jié)構(gòu)的機(jī)電阻抗特性,有限元網(wǎng)格尺寸必須比最高頻率下的有效模態(tài)的波長(zhǎng)小10~20倍,因此研究頻率越高,網(wǎng)格劃分越精細(xì),這將大幅增加計(jì)算的時(shí)間和成本。對(duì)此,Padovan開發(fā)了一種半解析有限元程序,可分析穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)溫度場(chǎng)中的各向異性軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)[7]。Cárdenas D.引入了一種基于位移的新穎的半解析有限元建模方法(Poly-SAFE模型),這種方法可通過嵌套多項(xiàng)式得到模型的擬合數(shù)據(jù)來減少單元個(gè)數(shù)[8]。Man等人提出了一種用于精確分析壓電板的建立在比例邊界有限元方法基礎(chǔ)上的半解析法[9]。Kargarnovin基于Timoshenko梁理論,分析了橫向切變、慣性效應(yīng)及泊松比對(duì)自由振動(dòng)的影響,采用半解析有限元得到了復(fù)合梁的本征振動(dòng)頻率和模態(tài)形狀[10]。

Doyle(1988)首次提出譜有限元法(SFEM)研究結(jié)構(gòu)中超聲導(dǎo)波的傳播[11]。后來譜有限元方法被進(jìn)一步發(fā)展并分析層狀梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng),例如:彈性-彈性雙層梁,彈性-粘彈性雙層梁,彈性-粘彈性-彈性三層梁,彈性-壓電雙層梁,以及彈性-粘彈性-壓電三層梁。譜有限元法結(jié)合了有限元法靈活性和譜分析快速的優(yōu)勢(shì),采用離散傅里葉變換(DFT),將時(shí)域控制方程變換到頻域進(jìn)而獲得頻率相關(guān)的精確形函數(shù)表達(dá)式,以取代有限元方法采用的多項(xiàng)式插值函數(shù),因而僅用少量單元就能快速得到高精度解,且譜有限元法使得在結(jié)構(gòu)損傷評(píng)價(jià)的逆向算法成為可能。

本文采用譜有限元方法建立了結(jié)構(gòu)表面粘貼壓電晶片的耦合智能梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值模型,與有限元結(jié)果進(jìn)行比較,兩者結(jié)果取得較好的一致性,進(jìn)而對(duì)存在損傷時(shí)的頻率響應(yīng)和機(jī)電導(dǎo)納進(jìn)行分析。

1動(dòng)力學(xué)控制方程

圖1所示為結(jié)構(gòu)表面粘貼壓電晶片(PWAS)的耦合智能梁?；翰捎肨imoshenko梁理論,而粘貼在基梁表面的PWAS相對(duì)較薄,采用Euler-Bernoulli梁理論,且其力電雙向耦合作用可用一維壓電方程近似。

圖1　壓電耦合梁?jiǎn)卧皺M截面圖

1.1智能梁結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

圖1中基梁在時(shí)域內(nèi)的位移u(x,z,t)和v(x,z,t)遵循Timoshenko梁理論,PZT晶片的位移場(chǎng)遵循Euler-Bernoulli梁理論,可表示為

(1)

假設(shè)PWAS與基梁理想接觸,界面位移滿足連續(xù)性條件,如下

(2)

PWAS遵循一維壓電方程

(3)

基梁選用各向同性材料,應(yīng)變-位移關(guān)系如下

(4)

式中,σxx和τxz分別為正應(yīng)力和剪應(yīng)力;εxx和γxz分別為正應(yīng)變和剪應(yīng)變;E和G分別為楊氏模量和剪切模量;k是Timoshenko梁中的剪切修正系數(shù)。

1.2控制方程和邊界條件

首先通過運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可得到耦合梁系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能,然后利用哈密頓原理得到控制方程和邊界條件。

由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可求得壓電梁耦合單元的應(yīng)變勢(shì)能[9]

(5)

式中,Eb、Ib、μ和Ab分別為基梁的楊氏模量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、拉梅常量和橫截面積;Ap和Ip分別為壓電晶片的橫截面積和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

壓電耦合梁的應(yīng)變動(dòng)能為

(6)

假設(shè)壓電耦合梁系統(tǒng)中沒有分布力做功,則外力做功便可表示為

(7)

應(yīng)用哈密頓原理

(8)

就能得到智能結(jié)構(gòu)梁的動(dòng)力學(xué)控制方程

(1)控制方程

(9)

(2)邊界條件

(10)

2譜有限元方法

應(yīng)用傅里葉變換式(11)將控制方程(9)從時(shí)域變換到頻域

(11)

且

(12)

式中,kn表示與ωn(角頻率)相對(duì)應(yīng)的波數(shù);u0,v0,f0表示傅里葉系數(shù)在空間中的振幅。

將式(11)和式(12)代入控制方程(9)中,可得到色散方程

{C}{u}=0

(13)

其中,{u}={u0v0f0}T,{C}為色散矩陣。方程(13)有非零解,則系數(shù)行列式必須等于零,即可得到超聲導(dǎo)波的特征(色散)方程。

構(gòu)造形函數(shù)矩陣H(ω),建立形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)矢量d之間的關(guān)系

d=H(ω)A

(14)

其中,H(ω)0{Φa(0)Φv(0)Φf(0)Φu(L)Φv(L)Φf(L)}T,d為節(jié)點(diǎn)位移向量。

未知系數(shù)向量A由邊界條件確定。將式(14)代入邊界條件式(10)中,在梁的兩端應(yīng)用邊界條件就能得到節(jié)點(diǎn)力與未知系數(shù)之間的關(guān)系

G(ω)A=F

(15)

F和G(ω)分別為節(jié)點(diǎn)力向量和力矩矩陣,采用矩陣縮減方法,得到智能結(jié)構(gòu)梁的譜有限元方程

S(ω)d=f

(16)

其中,S(ω)=G(ω)H(ω)-1為壓電耦合梁?jiǎn)卧膭?dòng)態(tài)剛度矩陣,f是單元的節(jié)點(diǎn)力。

3數(shù)值模擬與結(jié)果分析

3.1完整懸臂梁的頻響和導(dǎo)納分析

圖2　部分粘貼壓電片的懸臂梁模型

將幅值為±1V的諧波電壓輸入到基梁頂部的PWAS晶片中,在梁的自由端接收到的由諧波激勵(lì)產(chǎn)生的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)如圖3所示。三維有限元法(3-DFEM)可通過細(xì)化網(wǎng)格得到較精確的參考結(jié)果,所以該圖中還將SFEM的計(jì)算結(jié)果與3-DFEM進(jìn)行了對(duì)比。圖中軸向和橫向的FRF曲線與3-DFEM結(jié)果在低頻范圍內(nèi)基本可重合,由此可判定譜有限元法的準(zhǔn)確性,但SFEM卻大幅節(jié)約了計(jì)算時(shí)間成本。另一方面,高頻范圍內(nèi)的SFEM方法與傳統(tǒng)3-DFEM存在明顯差異,這是因SFEM采用了基礎(chǔ)的梁理論和桿理論來模擬梁和PWAS晶片的位移場(chǎng),理論本身存在一定的近似,且在建模時(shí)沒有考慮橫向收縮等物理量的影響。

圖3　基梁自由端接收的頻域位移響應(yīng)

如圖4所示,圖中給出了圖2模型中單壓電晶片輸入±1V的諧波電壓時(shí)PWAS晶片的機(jī)電導(dǎo)納曲線。這種情況下,晶片底部接收到的電流就是機(jī)電導(dǎo)納。在圖中,機(jī)電導(dǎo)納曲線的峰值表示懸臂梁與PWAS晶片的共振頻率。SFEM計(jì)算得到的機(jī)電導(dǎo)納曲線與3-DFEM方法得出的結(jié)果在低頻率范圍幾乎重合。

圖4　PWAS晶片耦合系統(tǒng)的機(jī)電導(dǎo)納曲線

3.2凹槽損傷懸臂梁的頻響和導(dǎo)納分析

圖5為有凹槽的懸臂梁的檢測(cè)模型,假設(shè)凹槽位于第三單元中間位置處(xd=132mm),凹槽寬度ld=1mm,深度hd=h/2,其他的幾何參數(shù)都已標(biāo)注在模型圖中。從懸臂梁自由端接收到的0~30kHz范圍內(nèi)的FRF曲線如圖6所示,該圖還進(jìn)行了懸臂梁上凹槽存在前后的FRF對(duì)比,揭示了小尺寸凹槽在頻域內(nèi)產(chǎn)生的微小影響,特別是共振頻率的偏移。圖7為SFEM計(jì)算得到的懸臂梁損傷前后的導(dǎo)納對(duì)比圖。圖中基梁與PWAS晶片的部分共振頻率的偏移是由凹槽引起的:凹槽降低了基梁的局部密度,從而使共振頻率降低,因此圖中機(jī)電導(dǎo)納曲線的共振頻率出現(xiàn)部分左移的現(xiàn)象,如圖中用虛線圈出的較為明顯的兩處。通過共振頻率的偏移量還可估測(cè)基梁的損傷程度。

圖5　有凹槽的單壓電片懸臂梁模型

圖6　懸臂梁自由端的頻域位移響應(yīng)

圖7　圖5模型中PWAS晶片的機(jī)電導(dǎo)納曲線

從圖7中兩線對(duì)比可知,有損傷時(shí)并非所有的共振頻率均發(fā)生偏移,如圖中實(shí)線圈出的部分,這是因?yàn)閾p傷可能恰好位于某些模態(tài)的共振節(jié)點(diǎn)位置,這種情況下?lián)p傷并不導(dǎo)致共振頻率的偏移。圖8(a)中為損傷深度分別為基梁的30%、40%、50%和60%時(shí)的機(jī)電導(dǎo)納曲線。為清晰地顯示出各曲線間的差異,將圖8(a)中虛線圈出的部分放大為圖8(b)。如圖中所示,共振頻率的偏移量并隨損傷程度的增加而增加。因此可用頻率偏移量作為損傷程度評(píng)價(jià)的依據(jù)。在圖8(b)中,缺陷顯然沒有位于共振節(jié)點(diǎn)位置,因此出現(xiàn)一致向左偏移的情況。

圖8　不同損傷深度的機(jī)電導(dǎo)納曲線

4結(jié)束語

基于譜有限元法,建立智能壓電梁力電耦合的動(dòng)力學(xué)控制方程。譜有限元法中形函數(shù)采用精確解,提高計(jì)算速度的同時(shí)保證了結(jié)果的精確性。與有限元數(shù)值結(jié)果相比較表明低頻時(shí)頻率響應(yīng)和機(jī)電導(dǎo)納具有較好的一致性,隨著激發(fā)頻率增加,存在一定的差異,為提高精度在譜有限元方法中需要考慮橫向收縮效應(yīng)等的影響。數(shù)值結(jié)果表明損傷的存在使共振峰頻率向左偏移,根據(jù)共振頻率偏移大小可估計(jì)損傷的程度。本文所得結(jié)果將為實(shí)驗(yàn)研究超聲導(dǎo)波進(jìn)行損傷檢測(cè)提供有效的理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1]RaghavanA,CesnikCES.Reviewofguidedwavestructuralhealthmonitoring[J].ShockVibDigital,2007(39):91-114.

[2]ParkG,SohnH,FarrarCR,etal.Overviewofpiezoelectricimpedancebasedhealthmonitoringandpathforward[J].ShockVibDigital,2003(35):451-63.

[3]NaiduASK,SohCK.Damageseverityandpropagationcharacterizationwithadmittancesignaturesofpiezotransducers[J].SmartMaterStruct,2004(13):393-403.

[4]RischmüllerV,HaasM,KurzS,etal.3DtransientanalysisofelectromechanicaldevicesusingparallelBEMcoupledtoFEM[J].IEEETransactionsonMagnetics,2000,36(4):1360-1363.

[5]AnnamdasVG,YangYW,SohCK.Influenceofloadingontheelectro-mechanicaladmittanceofpiezoceramictransducers[J].SmartMaterStruct,2007(16):1888-1897.

[6]KimJ,VaradanVV,VaradanVK,etal.Finiteelementmodelingofasmartcantileverplateandcomparisonwithexperiments[J].SmartMaterStruct,1996(5):165-170.

[7]PadovanJ.Semi-analyticalfiniteelementprocedureforconductioninanisotropicaxisymmetricsolids[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,1974(8):295-310.

[8]CárdenasD,ElizaldeH.ThePoly-SAFEmethod:asemi-analyticalrepresentationoffiniteelementmodelsvianestedpolynomialreductionofmodaldata[J].CompositeStructures,2014(3):301-316.

[9]ManH,SongC,GaoW,etal.Semi-analyticalanalysisforpiezoelectricplateusingthescaledboundaryfiniteelementmethod[J].ComputersandStructures,2014(5):47-62.

[10]KargarnovinMH,AhmadianMT.Semi-analyticalsolutionforthefreevibrationanalysisofgenerallylaminatedcompositeTimoshenkobeamswithsingledelamination[J].Composites:PartB,2013(45):587-600.

[11]DoyleJF.Wavepropagationinstructures:spectralanalysisusingfastdiscretefouriertransforms[M].2nded.NewYork:Spring-VerlagPress,1997.