分段函數(shù)常見題型及求解策

潘麗明

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）01-311-02

若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)。分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)。它不僅形式獨特，而且應用廣泛，是高考的常見題型。下面結(jié)合近年高考題對分段函數(shù)的常見題型以及解題方法進行歸納總結(jié)。

題型一、求函數(shù)值

解題策略：先弄清自變量所在區(qū)間，將所求函數(shù)的自變量引導到已給定分段函數(shù)的定義域上代入對應的解析式求值。

例1：設

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【解析】：f（f（2））=f（1）=2，選C

題型二、求分段函數(shù)的解析式

解題策略：已知一個分段函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出在另一區(qū)間上的解析式。

例2：已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當 時， 若 ，則實數(shù) =_____________.

【解析】：先求 的解析式，再求 的值。

當時 時， ， 。

又 為奇函數(shù)， ，從而 。

所以 。 時， ， 。 ，解得 或 （舍） 。

題型三、求方程的解

解題策略：常采用代入法，求出各區(qū)間上的解，然后綜合其解即得原方程的解

例3：（2009北京文）已知函數(shù) 若 ，則

【解析】由 或 無解，故應填 .

【解析】畫圖由圖像易知交點共有3個。

題型四、分段函數(shù)的單調(diào)性問題

解題策略：借助分段函數(shù)圖像的直觀性，可直接求出數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷出函數(shù)的單調(diào)性

例4：求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間。

【解析】：畫出分段函數(shù)的圖像，易得單調(diào)遞增區(qū)間為 。

題型五、求分段函數(shù)的最值

解題策略：求分段函數(shù)的最值常用兩種方法。一種是先求出函數(shù)在各段上的最值，通過比較取其中的最大值；另一種是數(shù)形結(jié)合作出函數(shù)的圖像，觀察圖像即可得到。

例5：（2006浙江卷）對a，b R，記max|a，b|= 函數(shù)f（x）=max||x+1|，|x-2||（x R）的最小值是 .

【解析】：由 ，故 ，其圖象如圖，則 。

題型六：求不等式的解集

解題策略：此類題常用分類的方法，把所求不等式化為分段的幾個不等式，取各不等式解集的交集即可

例6：（2009北京理）若函數(shù) 則不等式 的解集為____________.

【解析】本題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法. 屬于基礎知識、基本運算的考查.

（1）由 .

（2）由 .

∴不等式 的解集為 ，∴應填 .

題型七：判斷函數(shù)的奇偶性

例7：判斷函數(shù) 的奇偶性

【解析】當 時， ；

當 時， ；

時， ，也有 。所以，對任意

都有 ，故 為奇函數(shù)。

題型八、分段函數(shù)的連續(xù)性

例8：（2009四川卷理）已知函數(shù)【解析】由 ， ，由函數(shù)的連續(xù)性在一點處的連續(xù)性的定義知 ，可得 .故選B