樹干液流速率的ARIMA模型研究

謝恒星　張振華　蔡煥杰　王雨點

摘要：應用ARIMA模型擬合了晴天的液流速率，與傳統(tǒng)的時間序列模型進行了精度比較，并隨機選取另外兩個時段的液流速率進行了模型普適性分析。結果表明，應用ARIMA（1，2，1）模型液流速率擬合值與觀測值回歸方程的決定系數(shù)達到0.994，二者相關性極顯著；與傳統(tǒng)的二次滑動平均和二次指數(shù)平滑模型相比，液流速率相對誤差處于±10%和±5%范圍內的分別為90.909%和65.152%，擬合精度明顯提高；分別應用ARIMA（1，2，2）和ARIMA（1，1，2）模型擬合9、10月的液流速率，擬合值與觀測值的相關性均達到極顯著水平。ARIMA模型可以明顯提高樹干液流速率的擬合精度。

關鍵詞：ARIMA模型；液流速率；擬合精度

中圖分類號：S792.26 文獻標識碼：A 文章編號：0439-8114（2015）24-6383-03

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2015.24.075

Abstract： ARIMA model was applied to fit sap flow velocity in sunny day， fitting precision comparison to traditional time series model was conducted， and ARIMA models wide use was analyzed by choosing another two periods sap flow velocity data. Results showed that the determining coefficient of the regressive equation between fitted values and measured values of sap flow velocity in ARIMA（1，2，1） model was 0.994 with extreme significance. Compared with two-step moving average model and two-step ex-smooth model， the sap flow relative error between ±10% and ±5% were 90.909% and 65.152%， respectively. The relativity between fitted values and the measured values of sap flow velocity in Sep. and Oct. fitted by ARIMA（1，2，2） model and ARIMA（1，1，2） model were extreme significance， too. In conclusion， ARIMA model could improve trunk sap flow fitting precision significantly.

Key words：ARIMA model；sap flow velocity； fitting precision

樹干液流是樹木蒸騰的反應[1]。由于樹木蒸騰作用受樹種、環(huán)境、時間、空間等多種因素影響，因此樹干液流也是多變的，應用傳統(tǒng)時間序列模型預測樹干液流存在一定的困難。ARIMA模型（差分自回歸移動平均模型）是Box等[2]于20世紀70年代提出的一種基于隨機變量理論的時間序列分析模型，與傳統(tǒng)的時間序列分析（指數(shù)平滑法、滑動平均法、趨勢預測法、趨勢季節(jié)模型預測法、時間序列的分解等）相比，ARIMA法不需要對時間序列的發(fā)展模式作先驗的假設，同時可以通過反復識別進行修改，因此適用范圍更為廣泛[3]。本研究應用ARIMA模型擬合液流速率并進行預測，與傳統(tǒng)的時間序列模型進行比較，以期為精確擬合樹干液流尋找合適的方法。

1 試驗區(qū)概況

試驗于2005年8～10月在魯東大學校園內進行，地理位置 37°14′N， 121°27′E，海拔63 m；屬暖溫帶大陸性季風氣候，年均氣溫11.8 ℃，年均風速4～6 m/s，年均降雨量651.9 mm，年均相對濕度68%，年均日照時數(shù)2 698.4 h，無霜期210 d；土壤屬棕壤土，土層厚度3 m左右，根系活動層土壤pH為6.2～6.7，有機質含量14.23 mg/kg，全N 1.09 mg/kg，速效P 11.42 mg/kg，土壤容重1.34 g/cm3左右，地下水位2～3 m。

2 材料與方法

選擇長勢良好、樹干通直、冠幅適中、樹皮光滑、無病蟲害的一株龍爪槐作為被測樣木，龍爪槐樹齡為3年，胸徑5.5 cm，樹高2.7 m，樹冠2.5 m×2.3 m。在所選樣木的胸高（1.3 m）處安裝美國DYNAMAX公司生產的DYNAGAGE包裹式莖流系統(tǒng)的SGB35包裹式探頭，以避免近地處冷液流的影響[4]。

在光滑的莖段上用小刀將樹干外的死樹皮刮去，在刮樹皮時要小心，不要損傷樹干的韌皮部，再用細砂紙將其打磨光滑，涂上一層很薄的硅膠樹脂（G4型），防止水分順樹干進入測定部分或水氣的液化，保護探頭不受損傷和阻止其與樹干粘連[5]，然后用O形環(huán)將探頭的上、下兩頭密封嚴實。為了防止太陽輻射對探頭的影響，在安裝好探頭后再在探頭外層包裹3層鋁箔。探頭通過SF2-135數(shù)據(jù)轉換器與數(shù)據(jù)采集器連接，利用12 V鉛蓄電池給數(shù)據(jù)采集器供電。由于是在充分供水的條件下測定龍爪槐樹干液流，因此土壤水分不是樹木莖流的制約條件而不予考慮。自動氣象站和莖流計數(shù)據(jù)采樣間隔均為15 s，每10 min計算平均值并記錄下來。由于晴天的液流數(shù)據(jù)更具代表性[4，6]，因此分析所用數(shù)據(jù)均為晴天的液流數(shù)據(jù)。

3 ARIMA模型建模

ARIMA模型要求原始時間序列數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性、正態(tài)性和零均值性的性質，其建模思想為[7，8]：

1）根據(jù)時間序列的散點圖、自相關圖和偏相關圖以及ADF單位根檢驗，觀察其方差、趨勢及其季節(jié)性變化規(guī)律，識別該序列的平穩(wěn)性。

2）數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化處理。如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，則需對數(shù)據(jù)進行差分處理，對于隨時間而呈周期性變化的數(shù)據(jù)序列，除可以用季節(jié)差分消除周期性的變化外，還可以用組合模型方式即先提取數(shù)據(jù)序列的線性（或指數(shù)）趨勢，再提取數(shù)據(jù)序列的周期趨勢來消除周期性變化。

3）根據(jù)時間序列模型的識別規(guī)律，建立相應的模型。a.若平穩(wěn)時間序列的偏相關函數(shù)是截尾的，而自相關函數(shù)是拖尾的，則可斷定此序列適合AR模型；b.若平穩(wěn)時間序列的偏相關函數(shù)是拖尾的，而自相關函數(shù)是截尾的，則可斷定此序列適合MA模型；c.若平穩(wěn)時間序列的偏相關函數(shù)和自相關函數(shù)均是拖尾的，則此序列適合ARIMA模型。

4）進行參數(shù)估計。由于模型的結構不同，統(tǒng)計特性不同，估計的方法也不同。一般分為初估計和精估計，前者為精估計準備參數(shù)（如矩估計法、逆函數(shù)法）；后者在前者的基礎之上通過某種方法（如最小二乘估計、最小平方和古跡、極大似然估計）迭代求出參數(shù)的精估計值。

5）進行假設檢驗，診斷模型的殘差是否為白噪聲，并檢驗模型的估計效果。

6）進行預測。ARIMA模型的預測方程[9]為：

？椎P（B）（1-B）dZt=？茲0+？茲q（B）at

式中，at是白噪聲序列，B為后移算子，即BZt=Zt-1，？椎P為自回歸算子，？椎P（B）=（1-？椎1B-…-？椎pBp），p為模型的自回歸階數(shù)；？茲q為移動平均算子，？茲q（B）=（1-？茲1B-…-？茲qBq），q為模型的移動平均階數(shù)；？茲為參數(shù)，？茲0=μ（1-？椎1-？椎2-…-？椎p），μ為平均值。

4 結果與分析

液流速率是植物蒸騰強弱的表現(xiàn)，蒸騰速率的大小又受外界環(huán)境條件如輻射、溫度、風速等因素的影響，外界條件的改變會引起蒸騰速率的瞬時改變，液流速率也會隨之發(fā)生變化。2005年8月20日龍爪槐樹干液流速率的日進程如圖1所示。由圖1可知，8：50～20：00液流速率較大且出現(xiàn)3個峰值，均值為3 053 g/h，10：20以后液流速率開始下降且出現(xiàn)小的波動，19：30降至190 g/h。由龍爪槐樹干液流速率的日進程可以看出，液流速率時間序列不符合平穩(wěn)性的建模要求，需要對原始時間序列數(shù)據(jù)進行轉換。在DPS5.02數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)軟件的“時間序列”、“數(shù)據(jù)序列檢驗”菜單操作中，對原始時間序列數(shù)據(jù)進行1階差分和平方根轉換后，時間序列符合平穩(wěn)性和正態(tài)性的要求，可以進行ARIMA建模。之后在“ARIMA模型”菜單中經(jīng)過反復調試，最終確定該模型為ARIMA（1，2，1）。

利用ARIMA（1，2，1）模型擬合液流速率，液流速率觀測值與擬合值的關系如圖2所示。由圖2可知，液流速率觀測值與擬合值的回歸方程的決定系數(shù)達到0.994，二者相關性極顯著；回歸圖像中數(shù)據(jù)點均靠近回歸直線，說明模型的擬合效果極好。

分別利用傳統(tǒng)的二次滑動平均和二次指數(shù)平滑模型擬合液流速率得到液流速率的擬合值，擬合值與觀測值的相對誤差與ARIMA（1，2，1）模型的相對誤差的比較如圖3所示。

由圖3可知，二次滑動平均和二次指數(shù)平滑模型的液流速率擬合值與觀測值的相對誤差波動范圍分別為-41.68%～58.826%和-28.964%～53.073%，而ARIMA（1，2，1）模型的液流速率相對誤差波動范圍為-12.207%～9.223%；二次滑動平均、二次指數(shù)平滑和ARIMA（1，2，1）模型的液流速率相對誤差中，處于±10%范圍內的分別為43.077%、39.706%和90.909%；處于±5%范圍內的分別為27.692%、20.588%和65.152%。從液流速率相對誤差的對比中可以看出，ARIMA（1，2，1）模型的擬合精度最高，優(yōu)于傳統(tǒng)的時間序列分析模型。

為了驗證ARIMA模型在樹干液流速率擬合上的普適性，隨機選取2005年9月23日和10月11日（均為晴天）的液流速率數(shù)據(jù)建立ARIMA模型，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理和自回歸、滑動平均階次調整，確定二者的模型類型分別為ARIMA（1，2，2）和ARIMA（1，1，2）模型，分別利用以上模型擬合液流速率，預測值（y）與觀測值（x）建立回歸方程，結果如表1所示。

5 結論

利用ARIMA（1，2，1）模型擬合龍爪槐樹干液流速率，擬合值與觀測值回歸方程的決定系數(shù)達到0.994，二者相關性極顯著；與傳統(tǒng)的二次滑動平均和二次指數(shù)平滑模型相比，液流速率相對誤差處于±10%和±5%范圍內的分別為90.909%和65.152%，擬合精度明顯要高；分別隨機選取9、10月晴天的液流速率數(shù)據(jù)利用ARIMA模型進行擬合，兩個時期液流速率擬合值與觀測值回歸方程的決定系數(shù)分別為0.976 5和0.633 3，相關性均達到極顯著水平。結果表明，ARIMA模型可以明顯提高液流速率的擬合精度，是一種較好的液流速率擬合方法。

參考文獻：

[1] KRAMER P J. Water Relations of Plants[M]. San Diego： Academic Press， 1983.

[2] BOX G P E， JENKIS G M. Time Series Analysis： Forecasting and Control[M]. San Francisco： San Francisco Press，1978.

[3] 石美娟.ARIMA模型在上海市全社會固定資產投資預測中的應用[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2005，24（1）：69-74.

[4] 曹文強，韓海榮，馬欽彥，等.山西太岳山遼東櫟夏季樹干液流通量研究[J].林業(yè)科學，2004，40（2）：174-177.

[5] 嚴昌榮，ALEC D，韓興國，等.北京山區(qū)落葉闊葉林中核桃楸在生長中期的樹干液流研究[J].生態(tài)學報，1999，19（6）：793-797.

[6] 孟 平，張勁松，王鶴松，等.蘋果樹蒸騰規(guī)律及其與冠層微氣象要素的關系[J].生態(tài)學報，2005，25（5）：1075-1081.

[7] 唐啟義，馮明光.實用統(tǒng)計分析及其DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)[M].北京：科學出版社，2002.280-285.

[8] 王新華.ARIMA模型在武漢市全社會固定資產投資預測中的應用[J].統(tǒng)計與決策，2006（4）：84-85.

[9] 李佳萌， 曾 濤.ARIMA模型在天津港交通預測的應用[J].數(shù)理醫(yī)藥學雜志，2004，17（5）：337-338.