布魯氏菌病人—畜動力學(xué)建模及穩(wěn)定性分析

郝博　張瑞明

摘要：根據(jù)布魯氏菌病傳播的特點，建立了具有病菌傳染項的人畜動力學(xué)模型。在該模型中，動物種群分為易感項、潛伏期項和感染項，人類則被分為高危人群和低危人群；感染個體主要是由染病的動物或者環(huán)境中的病菌傳染。從理論上求出了系統(tǒng)的基本再生數(shù)，分析了各平衡點局部穩(wěn)定性并且通過極限系統(tǒng)和構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù)，證明了無病平衡點和惟一的正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

關(guān)鍵詞：布魯氏菌??；傳染病模型；基本再生數(shù)；局部穩(wěn)定性；全局穩(wěn)定性

中圖分類號：O157 文獻標識碼：A 文章編號：0439-8114（2015）24-6324-04

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2015.24.059

Abstract： According to the characteristics of Brucellosis，a dynamic model with Brucella in environment was established. In this model，the animal population was divided into susceptible，latent，infected. Human was divided into high-risk group and low-risk group；Susceptible individuals can contract the disease in two ways： infected animals and Brucella in environment. The basic reproductive number was calculated theoretically， the local stability of each equilibrium point was analyzed， then through the limit system and constructing appropriate Lyapunov functions to prove that the disease-free equilibrium and the unique positive equilibrium was globally asymptotically stable.

Key words：Brucellosis；epidemiological model；basic reproduction number；local stability；global stability

布魯氏菌病，是由布魯氏菌（Brucella）以及相同菌屬所引起的人畜共患傳染病，其主要侵害生殖系統(tǒng)而引起流產(chǎn)、不孕、睪丸炎等[1]。布魯氏菌病通常是由牛布魯氏流產(chǎn)桿菌、小型反芻動物布魯氏菌病波狀熱、綿羊布魯氏菌、豬布氏桿菌以及犬種布魯氏菌所引起的[2]。布魯氏菌病不僅會造成嚴重的經(jīng)濟損失，而且還會感染人體對人造成的傷害。2012年中國31個省市報道有布魯氏菌病患者，全國共有患者39 515人，無論人數(shù)還是發(fā)病范圍都達到近些年的高峰，其中內(nèi)蒙古、黑龍江、山西、河北等我國最主要的牧區(qū)患病人數(shù)最多，但目前尚未見人與人水平傳染的報道[3]。

傳染病數(shù)學(xué)模型的理論研究涉及常微分方程組、時滯微分方程組、偏微分方程組、一隨機微分方程等方面[4]。A？觙nseba等[5]建立了具有易感者、染病者、環(huán)境中布魯氏菌（SIC）的羊群布魯氏菌病動力學(xué)模型，模型考慮了直接接觸傳染和環(huán)境中布魯氏菌的間接傳染。聶靜等[6，7]根據(jù)奶牛布魯氏菌病的傳播特征及其規(guī)律建立了具有潛伏期和間接傳染的SEIV模型，從理論上求出了系統(tǒng)的基本再生數(shù)，分析了各平衡點的穩(wěn)定性。李明濤等[8]根據(jù)布魯氏菌病具有年齡特征，建立了具有階段結(jié)構(gòu)的羊群布魯氏菌病動力學(xué)模型，證明了平衡點的全局漸近穩(wěn)定性。

1 模型的建立

羊、牛、豬是中國最主要的家畜，需求量龐大，這3種家畜的主要養(yǎng)殖地又是中國布魯氏菌病的主要疫區(qū)，存在大量的相互調(diào)入。布魯氏菌病的傳播速率很快，而人和家畜對其都易感，因此對于患病動物必須及時撲殺。布魯氏菌對外界的理化因素具有一定的抵抗力，可以生存較長的時間。此外，布魯氏菌可侵入呼吸、消化、生殖系統(tǒng)黏膜以及損傷甚至未損傷完整皮膚等[1，9]。人患病與職業(yè)有十分密切的關(guān)系，并且農(nóng)村發(fā)病率遠遠高于城市，所以將人群分為高危人群和低危人群。不同動物以及不同規(guī)模農(nóng)場存在差異，動物之間和動物與人之間的接觸存在差異，因此它們之間的接觸與總的群體數(shù)量形成一定的比例關(guān)系。

3 小結(jié)與討論

本研究主要根據(jù)布魯氏菌病本身的特點及其傳播特性，建立了具有外界輸入，潛伏期和環(huán)境中病菌傳染項的人畜動力學(xué)模型，通過基本再生數(shù)R0的表達形式可以看出，動物和病菌是布魯氏菌病的傳染源貢獻度，定理1證明了R0<1時無病平衡點是全局穩(wěn)定的，隨著時間的推移，所以種群的患病者都趨于0，也就是疾病最終消亡。定理3證明了R0>1時正平衡點是全局穩(wěn)定的，患病者數(shù)量最終趨于穩(wěn)定的正值，也就是形成地方病。系統(tǒng)的無病平衡點和正平衡點都是全局漸近穩(wěn)定的，環(huán)境中的布魯氏菌也是布魯氏菌病傳播的一個重要因素，在實際中應(yīng)該采取控制引入量，及時有效地殺菌和患病動物捕殺相結(jié)合的方式才能使疾病得到有效控制。

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