從錯(cuò)誤題解談二重積分極坐標(biāo)變換的積分限安排

從錯(cuò)誤題解談二重積分極坐標(biāo)變換的積分限安排

陳鳳德1陳柳娟2呂書龍1

(1.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350116；2.福建教育學(xué)院理科研修部，福建福州350025)

摘要：以學(xué)生的錯(cuò)誤解答為切入點(diǎn)，給出二重積分極坐標(biāo)變換下積分限安排的一點(diǎn)心得體會。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；二重積分；極坐標(biāo)

作者簡介：陳鳳德(1974-)，男，福建屏南人，福州大學(xué)教授。

中圖分類號：O175.14文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

重積分的計(jì)算在數(shù)學(xué)分析課程中多變量積分學(xué)部分占有特別重要的地位，其掌握與否直接涉及到后續(xù)的曲線積分，曲面積分以及三大公式的學(xué)習(xí)，在二重積分的計(jì)算中，極坐標(biāo)變換和廣義極坐標(biāo)變換是一個(gè)重要內(nèi)容,而這部分內(nèi)容并不容易掌握，文獻(xiàn)[1-3]對極坐標(biāo)系下積分限的安排進(jìn)行了探討，其中文[2-3]側(cè)重從教師教學(xué)研究的角度進(jìn)行了深入的理論探討，文[1]則根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的解題情況進(jìn)行了探討，回答了學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的跟標(biāo)準(zhǔn)答案不一致的情況。筆者在教學(xué)中發(fā)覺哪怕限制角度變換范圍到[0，2π]，由于受直角坐標(biāo)系的影響，學(xué)生照樣會出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文受論文[1]啟發(fā)，也從學(xué)生的常見錯(cuò)解出發(fā)，來進(jìn)一步談?wù)剬W(xué)生該如何學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系下重積分積分限的安排。

由復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系歐陽光中、朱學(xué)炎、金福臨和陳傳璋等老師[4]編寫的《數(shù)學(xué)分析》(第三版)是國內(nèi)很多高校數(shù)學(xué)系采用的教材,其下冊第297頁第7題的(3)(4)兩小題：

總體來說，教師在教學(xué)中要有意識的強(qiáng)調(diào)：(1)在直角坐標(biāo)系下畫出草圖；(2)借助x=rcosθ,y=rsinθ確定邊界方程r=r1(θ),r=r2(θ)；(3)強(qiáng)調(diào)的積分限安排要以固定的θ來確定，是從極角θ出發(fā)的射線跟r=r1(θ),r=r2(θ)的交點(diǎn)。經(jīng)過這樣的強(qiáng)調(diào)后學(xué)生在做作業(yè)時(shí)就可能會較少出現(xiàn)上述錯(cuò)誤，或者在出現(xiàn)上述錯(cuò)誤后，經(jīng)過教師講評也能較快理解自己的錯(cuò)誤之處并進(jìn)一步掌握正確的積分限安排手法。

參考文獻(xiàn)：

[1]任麗平.用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)初探[J].呂梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2009(1).

[2]高玉芬.重積分在極坐標(biāo)變換下確定積分限的方法探究[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012(1).

[3]袁榮.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分的方法與技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012(1).

[4]歐陽光中,朱學(xué)炎,金福臨，等.數(shù)學(xué)分析(下)(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2010.