兩個(gè)包含Gamma函數(shù)的對數(shù)完全單調(diào)函數(shù)及其應(yīng)用

元志芳, 王連堂

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 陜西 西安　 710127)

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兩個(gè)包含Gamma函數(shù)的對數(shù)完全單調(diào)函數(shù)及其應(yīng)用

元志芳, 王連堂*

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710127)

摘要：通過對兩個(gè)包含Gamma函數(shù)的特殊函數(shù)的對數(shù)完全單調(diào)性的證明，給出了一個(gè)新的關(guān)于Γ(x+1)的不等式，由此給出了一個(gè)關(guān)于n!的新估計(jì)，并將該估計(jì)與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了比較.最后，基于這個(gè)新估計(jì)，提出了一個(gè)關(guān)于n!的最佳不等式的猜想.

關(guān)鍵詞：Gamma函數(shù)； 對數(shù)完全單調(diào)性； n!； Burnside 公式

0引言

一個(gè)函數(shù)f被稱作是區(qū)間I上的完全單調(diào)函數(shù).如果函數(shù)f在區(qū)間I上的各階導(dǎo)數(shù)都存在，且滿足(-1)nf(n)(x)≥0,(?x∈I,n=0,1,2,…),若此不等式嚴(yán)格大于零，則稱函數(shù)f是區(qū)間I上的嚴(yán)格完全單調(diào)函數(shù)[1,2].

一個(gè)正函數(shù)f被稱作是區(qū)間I上的對數(shù)完全單調(diào)函數(shù).如果它的對數(shù)lnf滿足(-1)n[lnf(x)](n)≥0,(?x∈I,n=1,2,3,…)，若此不等式嚴(yán)格大于

零，則稱函數(shù)f是區(qū)間I上的嚴(yán)格對數(shù)完全單調(diào)函數(shù)[3,4].

區(qū)間I上的對數(shù)完全單調(diào)函數(shù)，也是區(qū)間I上的完全單調(diào)函數(shù)[5].

著名的歐拉Gamma函數(shù)的定義為：

文獻(xiàn)[7]首先證明了對任意的正整數(shù)n,雙向不等式:

(1)

成立，后又得出不等式:

(2)

文獻(xiàn)[8]給出雙向不等式:

(3)

文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步得出雙向不等式:

(4)

文獻(xiàn)[10]在以上基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化，得到雙向不等式:

(5)

本文利用對數(shù)完全單調(diào)函數(shù)的定義，得出了關(guān)于Γ(x+1)的一個(gè)新的不等式.進(jìn)而，得到了關(guān)于n!的一個(gè)新估計(jì)：

(6)

通過計(jì)算,可得表1、表2中的近似數(shù)據(jù).其中，αni,βni(i=1,2,…,6)為前邊不等式(1)～(6)中給出的式子.

表1　αni(i=1,2,…,6)的近似值

表2　βni(i=1,2,…,6)的近似值

由表1、表2中的數(shù)據(jù)可以看出，本文所得不等式(6)比文獻(xiàn)[7]中不等式(2)更加精確.不等式(6)的左側(cè)比不等式(3)的左側(cè)更加精確，右側(cè)結(jié)論比不等式(1)更加精確.不等式(6)的結(jié)論雖然沒有文獻(xiàn)[9,10]中的不等式(4)和(5)精確，但相差很小，而且它的結(jié)構(gòu)簡單對稱，有助于我們進(jìn)一步提出猜想.如果猜想的結(jié)論正確，那么它的結(jié)論將比文獻(xiàn)[9,10]的結(jié)論更加精確.

1引理

為了證明我們的主要結(jié)論，首先給出下面的引理.

引理1[11-13]對任意的正整數(shù)n和正實(shí)數(shù)x,下列結(jié)論成立：

引理2當(dāng)x→+∞時(shí)，下列結(jié)論成立：

2主要結(jié)論及證明

證明：函數(shù)F(x)的對數(shù)函數(shù)為:

由引理1得:

其中，

通過求導(dǎo)運(yùn)算，得：

則f′(0)=0,

則f″(0)=0，

則f1″(0)=-2，

由以上各式可推得:f′(t)<0，即函數(shù)f(t)在區(qū)間(0,∞)上是單調(diào)遞減的；從而f(t)≤f(0)=0，所以[lnF(x)]′≤0.而且，對任意正整數(shù)n≥2，有

證明：函數(shù)G(x)的對數(shù)函數(shù)為:

當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí)，由引理1，以及文獻(xiàn)[13]中的積分代表

通過簡單的計(jì)算，得：

(-1)n[lnG(x)](n)=(-1)n{[lnG(x)]′}n-1=

其中，

通過求導(dǎo)運(yùn)算可得：

則g′(0)=0,

g″(t)=

則g″(0)=0，

由以上各式可推知:g′(t)>0，即函數(shù)g(t)在區(qū)間(0,∞)上是單調(diào)遞增的，從而g(t)≥g(0)=0,所以(-1)n[lnG(x)](n)≥0.由此可知，[lnG(x)]″≥0，即函數(shù)[lnG(x)]′在區(qū)間(0,∞)上單調(diào)遞增，且由文獻(xiàn)[15]中給出的不等式

可計(jì)算得:

推論1對任意的正整數(shù)n，下列雙向不等式成立：

證明：用n替換定理3不等式中的x，并將等式Γ(n+1)=n!式代入其中,即可得推論1的結(jié)論.

猜想對任意的正整數(shù)n，下列雙向不等式成立，

圖1　函數(shù)h(x)的圖像

由圖1可以看出，函數(shù)h(x)在區(qū)間(3,∞)上是單調(diào)遞減的，且由Burnside公式可計(jì)算得:

由洛必達(dá)法則可計(jì)算得:

再次利用Burnside公式可得:

由文獻(xiàn)[15]中不等式

且通過計(jì)算可得:

h(1)=0.583 658…,h(2)=0.583 970…,h(3)=0.583 939…,所以對任意的正整數(shù)n有:

由此整理即可得到猜想的結(jié)論.由此可知，要證明猜想的結(jié)論，關(guān)鍵就在于證明h(x)的單調(diào)性.

3結(jié)束語

Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)的完全單調(diào)性以及對數(shù)完全單調(diào)性等，對一些重要不等式的證明、加強(qiáng)與推廣具有十分重要的作用.近年來，國內(nèi)外許多著名的學(xué)者都在從事這方面的研究，對Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)完全單調(diào)性的研究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)知識的新增點(diǎn)之一.

參考文獻(xiàn)

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Logarithmically complete monotonicity of two specific

functions involving Gamma function and applications

YUAN Zhi-fang， WANG Lian-tang﹡

(School of Mathmatics, Northwest University, Xi′an 710127, China)

Abstract:In the article,the logarithmically complete monotonicity of two specific functions involving Gamma function was proved.Thus,a new inequality about Γ(x+1) was obtained.And then,a double inequality about factorial n was proposed and compared with the existing conclusions.Lastly,a best conjecture was made on the new estimate.

Key words:Gamma function； logarithmically complete monotonicity； factorial n； Burnside′s formula

中圖分類號：O174.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)02-0177-05

通訊作者:王連堂(1959-)，男，陜西西安人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：積分方程、聲波散射、特殊函數(shù)論,wlt800@nwu.cn

作者簡介:元志芳(1988-)，女，山西朔州人，在讀碩士研究生，研究方向：特殊函數(shù)論

基金項(xiàng)目：陜西省科技廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2010JM1017)