方框圖化簡中相加點(diǎn)和分支點(diǎn)互換方法探討

方框圖化簡中相加點(diǎn)和分支點(diǎn)互換方法探討

王瑜1，閆沫2

(1.西安航空學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710077;2.西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055)

摘要：簡化控制系統(tǒng)方框圖常用的方法有方框圖等效變換法和Mason公式法。對于復(fù)雜系統(tǒng)的方框圖，用Mason公式法求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這個(gè)過程較為繁瑣，易于出錯(cuò)?；诖耍接懥讼嗉狱c(diǎn)和分支點(diǎn)互換的移動方法以及使用步驟，并通過實(shí)例論證其簡單可行，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：相加點(diǎn)；分支點(diǎn)；互換；等效變換

收稿日期：2014-12-04

作者簡介：王瑜(1981-)，女，江蘇徐州人，講師，從事機(jī)電一體化、模式識別與目標(biāo)檢測方向的研究。

中圖分類號：TP13文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

目前，在科研和教學(xué)中采用的控制系統(tǒng)方框圖簡化的方法共有兩種：方框圖等效變換法和Mason公式法。在對復(fù)雜的多回路系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，都采用著名的Mason公式。但這一方法仍存在著許多麻煩之處，要找出所有回路，以及各前向通道的余子式是很繁瑣的事情，對Mason公式本身的理解和應(yīng)用比較困難[1-2]。本文探討了交換相鄰相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動方法，以及使用步驟，該方法容易理解，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

1方框圖等效變換方法和基本原則

控制系統(tǒng)的方框圖是由微分方程組得到的，我們可以將方框圖的簡化看成是微分方程組消去中間變量的過程，得到關(guān)于輸入、輸出變量的控制系統(tǒng)方框圖。方框圖等效變換的基本原則是：在等效變換前后，輸入、輸出之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式保持不變。

方框圖等效變換的方法有以下幾種：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接；相加點(diǎn)的前移、后移；分支點(diǎn)的前移、后移；相鄰兩相加點(diǎn)的互換、相鄰兩分支點(diǎn)的互換；相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的互換[3]。對于復(fù)雜系統(tǒng)，多數(shù)情況會用到相鄰相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的互換移動的方法來簡化控制系統(tǒng)的方框圖。但是相鄰相加點(diǎn)與分支點(diǎn)互換后，仍要遵循方框圖等效變換的基本原則，需要對相應(yīng)的支路進(jìn)行修正，如圖1所示[4]。

圖1　相加點(diǎn)和分支點(diǎn)互換原則

對于圖1所示的方框圖單元來說，等效變換前、后的輸入、輸出關(guān)系表達(dá)式為：C(s)= R1(s)· G(s)- R2(s)，圖1的分支點(diǎn)①從相加點(diǎn)的后面移動到了相加點(diǎn)的前面，為了保證移動前后是等效變換，輸入、輸出關(guān)系表達(dá)式不變。移動前，分支點(diǎn)①的信號是C(s)= R1(s)· G(s)- R2(s)，移動后，由于分支點(diǎn)①移動到了相加點(diǎn)的前面，就會使分支點(diǎn)①所連接的這一路信號是R1(s)· G(s)，和移動前的表達(dá)式相比，少減了一個(gè)R2(s)，因此，移動后，需要在隨著分支點(diǎn)移動的支路上添加一個(gè)相加點(diǎn)，再減掉一個(gè)R2(s)[5]。

2方框圖等效變換的方法求控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的步驟

(1)在對方框圖進(jìn)行等效變換時(shí)，首先，分析方框圖的結(jié)構(gòu)，找出串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的方框圖單元，并把這些方框圖單元根據(jù)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的原則簡化；

(2)通過相加點(diǎn)的前移、后移和分支點(diǎn)的前移、后移，或通過相鄰兩相加點(diǎn)的互換(合并)、相鄰兩分支點(diǎn)的互換(合并)，讓互相交錯(cuò)的回路變成各個(gè)獨(dú)立回路，從中找出串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的方框圖單元，并把這些方框圖單元根據(jù)串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的原則簡化；

(3)找不到步驟(1)和(2)中的方框圖單元的連接方式，或者經(jīng)過步驟(1)和(2)后，控制系統(tǒng)的方框圖，不但沒有簡化，而且各個(gè)回路之間的連接更加錯(cuò)綜復(fù)雜，必須用相鄰相加點(diǎn)和分支點(diǎn)互換移動的方法；

(4)移動相鄰相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的方法簡化控制系統(tǒng)的方框圖，必須遵循方框圖等效變換的基本原則，“少減了要減”，“少加了要加”，“多加了要減”，“多減了要加”；

使用方框圖等效變換的方法化簡控制系統(tǒng)的方框圖，求傳遞函數(shù)的一個(gè)原則：通過方框圖的等效變換，使各個(gè)相互交錯(cuò)的回路變成各個(gè)獨(dú)立回路，能夠產(chǎn)生串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的方框圖單元，從而方便的求出控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)[6]。

3應(yīng)用舉例

例：化簡如圖2所示控制系統(tǒng)的方框圖，求出傳遞函數(shù)。

解：分析圖2所示的控制系統(tǒng)的方框圖，按照方框圖等效變換求傳遞函數(shù)的步驟(1)，沒有找到方框圖單元典型的連接形式：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接；接下來通過步驟(2)，移動相加點(diǎn)和分支點(diǎn)，也不能使回路變成各個(gè)獨(dú)立回路，比如合并相加點(diǎn)②和相加點(diǎn)③，并不能產(chǎn)生獨(dú)立回路，或者將相加點(diǎn)⑦前移，移動到G2的前面，也不能產(chǎn)生獨(dú)立回路。經(jīng)過分析，該控制系統(tǒng)的方框圖不能通過步驟(1)和步驟(2)來化簡，因此，采用步驟(3)，必須用相鄰相加點(diǎn)和分支點(diǎn)互換移動的方法。

圖2　控制系統(tǒng)方框圖

我們采用將分支點(diǎn)⑥移動到相加點(diǎn)⑤的前面，如圖3所示。移動前，分支點(diǎn)⑥的信號為X(s)和分支點(diǎn)④這兩個(gè)信號的疊加，如圖2所示；移動后，分支點(diǎn)⑥的信號等于分支點(diǎn)④的信號，少疊加了一個(gè)信號X(s)。為了保證移動前后是等效變換，需要在移動后分支點(diǎn)⑥所在的這條支路上添加一個(gè)信號X(s)，根據(jù)步驟(4)，“少加了要加”，因此，需要添加一個(gè)相加點(diǎn)⑨，加上信號X(s)[7]。

圖3　相鄰相加點(diǎn)和分支點(diǎn)互換移動

然后，交換相鄰的分支點(diǎn)④和分支點(diǎn)⑥，可以產(chǎn)生單獨(dú)的回路，如圖4所示。

圖4　相鄰分支點(diǎn)的交換

找到圖4中G1所在的單位反饋回路，用等效變換原則化簡，如圖5所示。

圖5　化簡單位反饋回路

交換上圖中相鄰的兩個(gè)相加點(diǎn)②和相加點(diǎn)③，如圖6所示。

圖6　相鄰相加點(diǎn)的交換

將相加點(diǎn)⑤移動到G2的后面后，和相加點(diǎn)⑦互換，如圖7所示[8]。

圖7　相加點(diǎn)后移、交換

圖8　化簡并聯(lián)、串聯(lián)回路

圖9　相加點(diǎn)后移、互換

圖9中，所有的回路都是彼此獨(dú)立的，我們可以用方框圖典型的連接方式：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接，得出控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖10所示。

圖10　控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)

4結(jié)語

利用方框圖等效變換的方法求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，是重要的教學(xué)內(nèi)容，其中相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的互換移動方法是這部分內(nèi)容中的難點(diǎn)，如果能夠把握方框圖等效變換的基本原則，并靈活運(yùn)用方框圖等效變換的方法求控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的步驟，必將更加深入地理解控制系統(tǒng)方框圖中的信號傳遞過程，學(xué)生們將可以從整體的控制系統(tǒng)的方框圖，簡化到局部的方框圖單元；再由局部的方框圖單元的傳遞函數(shù)，求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

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[責(zé)任編輯、校對：梁春燕]

Discussion on the Methods of Exchanging Summing-point and

Branch-point in the Block Diagram Simplification

WANGYu1,YANMo2

(1.School of Mechanical Engineering, Xi'an Aeronautical University, Xi'an 710077, China;

2.College of Mechanical and Electrical Engineering, Xi'an University of Architecture & Technology, Xi'an 710055, China)

Abstract：The common methods of simplifying the block diagram are block diagram equivalent simplification and Mason formula. As for the block diagram of complex systems, it is complicated to obtain the transfer function of control system through the Mason formula, and the result may go wrong easily. Therefore, this paper discusses the moving methods of the exchange summing-point and branch-point, and the application steps, and also uses an example to demonstrate the feasibility, thus being highly practical.

Key words：summing-point;branch-point;exchange;equivalent transform