給分式方程應(yīng)用題歸歸類

王康康

學(xué)習(xí)了分式方程的有關(guān)內(nèi)容，同學(xué)們還必須得熟練運(yùn)用分式方程解決實(shí)際生活中的問題.常見的實(shí)際問題有營銷類應(yīng)用性問題、工程類應(yīng)用性問題、行程類應(yīng)用性問題等幾大類，這些題目看似復(fù)雜，但只要抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，正確列出方程，再進(jìn)行求解即可.不過同學(xué)們一定要注意的是，得出方程的解后，一要檢驗(yàn)所求的解是否是原方程的解，二要檢驗(yàn)所求的解是否符合題意，三要注意檢驗(yàn)和解釋結(jié)果的合理性.

一、營銷類應(yīng)用性問題

例1 某校辦工廠將總價(jià)值為2 000元的甲種原料與總價(jià)值為4 800元的乙種原料混合后，其單價(jià)比原甲種原料每斤少3元，比原乙種原料每斤多1元，問：混合后的原料每斤是多少元？

分析：市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，常遇到營銷類應(yīng)用性問題，這類問題中與價(jià)格有關(guān)的量是單價(jià)、總價(jià)、平均價(jià)等，要了解它們各自的意義，從而建立它們之間的關(guān)系式.

解：設(shè)混合后的原料單價(jià)為每斤 [x]元，則原甲種原料的單價(jià)為每斤（[x]+3）元，原乙種原料的單價(jià)為每斤（[x]-1）元，混合后的總價(jià)值為（2 000+4 800）元， 混合后的重量為[2 000+4 800x]斤，甲種原料的重量為[2 000x+3]斤，乙種原料的重量為[4 800x-1]斤， 依題意，得

[2 000x+3]+[4 800x-1]=[4 800+2 000x]

解得

[x]=17

經(jīng)檢驗(yàn)，[x]=17是原方程的根.

所以[x]=17. 即混合后的原料每斤 17元.

總結(jié)：營銷類應(yīng)用性問題，涉及進(jìn)貨價(jià)、售貨價(jià)、利潤率、單價(jià)、混合價(jià)、贏利、虧損等概念，要結(jié)合實(shí)際問題對(duì)它們各自表述的意義有所了解.同時(shí)，要掌握好基本公式，巧妙建立關(guān)系式.這類問題與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，因而成為中考?？嫉臒狳c(diǎn)問題.

【練習(xí)1】

A、B兩名采購員去同一家飼料公司購買同一種飼料兩次，兩次飼料的價(jià)格有變化.兩名采購員的購貨方式不同，其中采購員A每次購買1 000千克，采購員B每次用去800元而不管購買飼料多少，問：誰的購貨方式合算？為什么？

二、工程類應(yīng)用性問題

例2 某工程由甲，乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲，乙兩隊(duì)共8 700元；乙，丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙，丙兩隊(duì)共9 500元；甲，丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的[23]，廠家需付甲，丙兩隊(duì)共5 500元.

（1）求：甲，乙，丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超過15天完成全部工程，問：由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說明理由.

分析：這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量.對(duì)于工期，一般情況下把整個(gè)工作量看成1，設(shè)甲，乙，丙各隊(duì)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間分別為x天，y天，z天，可列出分式方程組.

解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需x天，乙隊(duì)單獨(dú)做需y天，丙隊(duì)單獨(dú)做需z天，依題意，得

[ 6（[1x+1y]）=1

10（[1y]+[1z]）=1

5（[1x]+[1z]）=[23] ]

[解得x=10y=15z=30]

經(jīng)檢驗(yàn)，[x]=10，[y]=15，[z]=30是原方程組的解.

（2）設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付a元，乙隊(duì)做一天廠家需付b元，丙隊(duì)做一天廠家需付c元，根據(jù)題意，得

[6（a+b）=8 70010（b+c）=9 5005（c+a）=5 500 ]

[解得a=800b=650c=300]

由（1）可知完成此工程不超過既定工期只有兩個(gè)隊(duì)：甲隊(duì)和乙隊(duì).

此工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成需花費(fèi)10a=8 000元；此工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成需花費(fèi)15b=9 750元.

所以，由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少.

技巧點(diǎn)撥：在（1）的求解時(shí)，把[1x]，[1y]，[1z]分別看成一個(gè)整體，可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解.

【練習(xí)2】

某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期3天才能完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做2天，剩下的工程由乙隊(duì)獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期內(nèi)完成，問：規(guī)定的日期是多少天？

【練習(xí)3】

今年某大學(xué)在招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，2 640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)由兩位教師分別向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完.問：這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？

三、濃度應(yīng)用性問題

例3 有含鹽15%的鹽水40千克，要使鹽水含鹽20%，還需要加入多少千克鹽？

分析：濃度問題的基本關(guān)系是[溶質(zhì)溶液=濃度].此問題中變化前后三個(gè)基本量的關(guān)系如下表：

[＼&溶液＼&溶質(zhì)＼&濃度＼&加鹽前＼&40＼&40×15%＼&15%＼&加鹽后＼&40+[x]＼&40×15%+[x]＼&20%＼&]

解：設(shè)還需要加入[x]千克鹽.根據(jù)濃度問題的基本關(guān)系可列方程

[40×15%+x40+x=20%]

解得

[x]=2.5

經(jīng)檢驗(yàn)，[x]=2.5是方程的解，即再加入2.5千克鹽，鹽水的含鹽量就能達(dá)到20%.

【練習(xí)4】

甲容器有濃度為20%的鹽水40L，乙容器有濃度為25%的鹽水30L，如果往兩個(gè)容器中加入了等量的水后，它們的濃度相等，那么應(yīng)加入多少升水？

四、貨物運(yùn)輸應(yīng)用性問題

例4 一批貨物準(zhǔn)備運(yùn)往某地，有甲，乙，丙三輛卡車可雇用.已知甲，乙，丙三輛車每次運(yùn)貨量不變，且甲，乙兩車每次運(yùn)貨物的噸數(shù)為1∶3，若甲，丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)，甲車共運(yùn)了120噸；若乙，丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)，乙車共運(yùn)了180噸.這批貨物共有多少噸？

分析：貨物總噸數(shù)和三種車每種車可運(yùn)噸數(shù)均為未知數(shù)，但可根據(jù)所用次數(shù)得到等量關(guān)系

[120甲車每次運(yùn)貨噸數(shù)=剩余貨物噸數(shù)丙車每次運(yùn)貨噸數(shù)；]

[180乙車每次運(yùn)貨噸數(shù)=剩余貨物噸數(shù)丙車每次運(yùn)貨噸數(shù).]

這兩個(gè)式子可整理成僅含貨物總噸數(shù)這一未知數(shù)的方程，求解即可.

解：設(shè)貨物的總噸數(shù)為[x]噸，甲車每次運(yùn)a噸，乙車每次運(yùn)3a噸，丙車每次運(yùn)b噸.根據(jù)題意可得

[120a=x-120b ①1803a=x-180b ②]

解得

[x]=240

經(jīng)檢驗(yàn)，[x]=240是方程的解，即這批貨物共有240噸.

【練習(xí)5】

五、行程中的應(yīng)用性問題