怎樣用代換法求遞推數(shù)列通項公式

江美紅

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）01-0169-02

在求遞推數(shù)列通項公式的多種方法中，代換法占有十分重要的地位，應(yīng)用它可使一些繁難的題目變得簡單易解。

1.線性代換法

例1：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1+12an求其通項公式.

解：因為an+1=1+12an，所以an+1+p=1+12an+p=12（an+2p+2）

令p=2p+2，則p=-2，于是an+1-2=12（an-2）

又令bn+1=an+1-2，則bn+1=12bn，故數(shù)列{bn}是首項為b1=-1，公比為12的等比數(shù)列.從而an-2=bn=（-1）（12）n-1，于是an=2-12n-1即為所求。

一般地，對于以a1=m，an+1=pan+q（pq≠0，p≠1）型遞推式給出的數(shù)列，均可用線性代換的方法求出an的表達(dá)式。

例2：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=5，且an+2=-2an+1+3an，求an的表達(dá)式。

解：遞推式兩邊同時加上pan+1，并整理，得

an+2+pan+1=（p-2）（an+1+3p-2an）……………………①

令p=3p-2，得p2-2p-3=0，即（p-3）（p+1）=0，解得p=-1或p=3

取p=-1代入①得an+2-an+1=-3（an+1-an）

令bn+1=an+2-an+1，則bn+1=-3bn，b1=a2-a1=4。于是{bn}是首項為4，公比為-3的等比數(shù)列，故bn=an+1-an=4（-3）n-1。

n別取1，2，…，n-1，得n個式子，然后累加可得an=2-（-3）n-1，即為已知數(shù)列的通項公式。

例2中數(shù)列{an}的遞推式的一般形式為

an+1=pan+qan-1………（*）

當(dāng)p+q=1時，有an+1-an=-q（an-an-1）.于是{an+1-an}是以a2-a1為首項，-q為公比的等比數(shù)列，然后按例2所用方法即可求得an的表達(dá)式。

當(dāng)p+q≠1時，存在α，β滿足an+1-αan=β（an-αan-1），與an+1=pan+qan-1比較系數(shù)得α+β=p，αβ=-q?？梢姦粒率嵌畏匠蘴2-pt-q=0的兩根（稱此方程為遞推式（*）的特征方程），通過解此方程求 的值，再進(jìn)一步推導(dǎo) 的表達(dá)式。

2.倒數(shù)代換法

例3：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an3an+4，求an的表達(dá)式。

解：由已知遞推式得

1an+1=3an+4an=4an+3

令bn=1an，則上式變?yōu)閎n+1=4bn+3，其中b1=1，仿例1可得bn=2.4n-1=1

于是an+1=panqan+r（pqr≠0）為遞推式的數(shù)列，一般可用倒數(shù)代換法求出其通項公式。

3.對數(shù)代換法

例4：已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an3，求此數(shù)列的通項公式。

解：由已知易見，數(shù)列{an}的所有項都是正數(shù)，于是將an+1=2an3兩邊取對數(shù)得log2an+1=3log2an+1

令bn=log2an，則bn+1=3bn+1，其中b1=log2a1=12.仿例1可得bn=3n-1-12。

故an=23n-1即為所求。

一般地，用對數(shù)代換法可解決求以an+1=panq（q≠0，p>0）為遞推式的正數(shù)數(shù)列的通項公式問題。

4.三角代換法

例5：已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=2an1-an2，求數(shù)列{an}的通項公式。

解：令a1=tanθ（θ=arctan3），則a2=2a11-a12=tan2θ.顯而易見an=tan（2n-1arctan3）即為所求。

注：可用三角代換法求通項公式的數(shù)列，其遞推式必須具有與三角公式形似質(zhì)同的特點。

綜上所述，用代換法可以解決許多遞推數(shù)列的通項公式問題.為了學(xué)好用好代換法，大家還需要認(rèn)清代換的方向及依據(jù).代換的方向是使已知復(fù)雜數(shù)列變?yōu)榈炔?、等比或其他一些易于推演的?shù)列；代換的依據(jù)是將數(shù)列{an}視為定義在正整數(shù)N+或其子集上的函數(shù)，若令an=f（n），則an+1=f（n+1），靈活機(jī)動地應(yīng)用代換法，如例2中，若取p=3，則①變?yōu)閍n+2+3an+1=an+1+3an，令bn+1=an+2+3an+1，則bn=an+1+3an，有bn+1=bn，又b1=a2+3a1=8，于是bn+1=bn=b1=8.即an+1+3an=8，將此式整理為an+1（-3）n+1=an（-3）n+8（-3）n+1

令cn+1=an+1（-3）n+1，則上式變?yōu)閏n+1=cn+8（-3）n+1.取n分別為1，2，∧，n-1后，累加得cn=-13+23（1-1（-3）n+1）

于是an=（-3）n-1+23[（-3）n+3]=2-（-3）n-1

與取p=-1時所得結(jié)論相同。