數(shù)學(xué)慢教育的曲線思維及其教學(xué)價值

“道可道，非常道；名可名，非常名”這是曲線思維在哲學(xué)領(lǐng)域的具象.“兩點(diǎn)之間線段最短”的數(shù)學(xué)基本事實(shí)則是直線思維在科學(xué)領(lǐng)域的具體表現(xiàn).而“道不遠(yuǎn)人”的“大一統(tǒng)”思想則反映了曲線思維的主流文化地位，直線思維的種屬學(xué)科性質(zhì).數(shù)學(xué)慢教育作為哲學(xué)范疇的教學(xué)論，概念曲線思維的意識形態(tài)特征屬于認(rèn)識信念范疇，表征曲線思維對象的運(yùn)動形態(tài)特征屬于方法論范疇[1].進(jìn)一步而言，曲線思維是以認(rèn)識信念為思想統(tǒng)領(lǐng)的實(shí)踐論.就這個層面而言，課題組研究帶有鮮明“過程性認(rèn)識信念”特征的數(shù)學(xué)慢教育的曲線思維，意義重大，影響深遠(yuǎn).

1 數(shù)學(xué)慢教育中的曲線思維

1.1 數(shù)學(xué)慢教育曲線思維導(dǎo)圖

已有研究表明：動機(jī)強(qiáng)度與學(xué)習(xí)信念之間帶有“葉克斯——多德森律”特征，也就是存在“倒U形曲線”關(guān)系，動機(jī)過強(qiáng)或過弱因信念極端值而效率趨低，只有處于“中值”認(rèn)知效果最好[2].數(shù)學(xué)慢教育是以“曲線思維”為突出特征的課程實(shí)踐論，強(qiáng)調(diào)曲線思維在慢教育認(rèn)知體系中的反復(fù)關(guān)聯(lián)作用，關(guān)注“無字證明”（數(shù)學(xué)活動）“二次數(shù)學(xué)”（變化思想）等直覺行為對曲線思維的指導(dǎo)意義.

美國加利福尼亞州出版的“科學(xué)框架”（Science Framework for California Public School）中，將“尺度與結(jié)構(gòu)”“變化與形式”“穩(wěn)定與演化”“系統(tǒng)與作用”提煉為科學(xué)主題[3].

慢教育中的曲線思維層級導(dǎo)圖分為四個層次，包括主題的確立（聚焦慢教育主題）、概念的認(rèn)定（主概念和次概念的劃分）、運(yùn)演的形式（數(shù)學(xué)活動方式的選擇）、心智的內(nèi)遷（基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)的素養(yǎng)傾向）等系統(tǒng)主干因素，終歸于曲線思維的定向顯化和定性把握.事實(shí)上，數(shù)學(xué)慢教育作為課程實(shí)踐論揭示曲線思維的“共通性”，即概念的前概念→活動致知概念→反問監(jiān)控概念→元認(rèn)知把握概念.這里的“活動”是一個形式化概念，包括二次數(shù)學(xué)和無字證明等結(jié)構(gòu)思維尺度，而曲線思維就是以“活動事實(shí)”為外在形式的思維軌跡.

1.2 什么是曲線思維

曲線思維是物質(zhì)世界和生命運(yùn)動的基本形式.沒有曲線思維就沒有合理的結(jié)構(gòu)和巧妙的造型.“螺旋上升”主宰著曲線思維模式，在這條曲線上走過阿基米德、菲狄亞、達(dá)芬奇、達(dá)爾文、愛因斯坦等科學(xué)大師；在這條曲線上矗立著中國的太極圖、古希臘的巴特農(nóng)神殿、愛奧尼亞的柱頭飾、法國布盧瓦的皇家建筑群等藝術(shù)奇葩；在這條曲線上排列著植物葉序圖、元素周期表、黃金分割線、人體比例圖、費(fèi)氏級數(shù)等自然法則.因此，是曲線思維讓無序的世界有序化且充滿美感.

曲線思維作為教學(xué)論，則反映數(shù)學(xué)慢教育的本體價值.數(shù)學(xué)慢教育課題研究組認(rèn)為，曲線思維是一種從直觀的知覺思維出發(fā)，突出二次數(shù)學(xué)或多次數(shù)學(xué)的“過程性”特征，終于概念系的“關(guān)系性理解”的思維方式[4].事實(shí)上，慢教育數(shù)學(xué)就是必須讓學(xué)習(xí)者經(jīng)歷“工具性理解→概念性理解→關(guān)系性理解”，方能把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程理念中提出，課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系等.顯然，這就從課程論層面明確指出思維的“過程性”對數(shù)學(xué)慢教育的反哺意義.田萬海先生認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解不是一次完成的，其間需要經(jīng)過初步理解、確切理解和深刻理解三個階段[5].這就是慢教育研究者提出“多次數(shù)學(xué)”的思維事實(shí)根據(jù).

有人說，好教師教人發(fā)現(xiàn)真理，壞教師教人奉送真理.曲線思維研究組認(rèn)為，讓學(xué)生看到“思維過程”的教學(xué)是“好教學(xué)”，剝奪學(xué)生“知其所以然”的教學(xué)是“差教學(xué)”.就形而下的教學(xué)“器識”而言，無論是“關(guān)系理解”的到達(dá)、“深刻理解”的把握、還是“多次數(shù)學(xué)”的行為以及“所以然”的知性等創(chuàng)造型復(fù)合思維的運(yùn)演，都離不開研究對象的“過程性思維”.而過程的“過程”都帶有明顯的迂回曲折的特征，在現(xiàn)象學(xué)領(lǐng)域呈“波浪前進(jìn)”的研究趨勢.因此，我們把具有創(chuàng)造潛能的復(fù)雜多變的概念思維模式定義為曲線思維.

2 曲線思維的教學(xué)價值

提高學(xué)生的思維素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo).曲線思維作為數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域的一種普遍方法具有普適性和科學(xué)性.它揭示慢教育課堂學(xué)科思維教育的認(rèn)識信念，重視問題解決產(chǎn)生式心理原型的形成，反映一個人過程性認(rèn)識系統(tǒng)的概念能力[6].數(shù)學(xué)慢教育課堂曲線思維的教學(xué)價值表現(xiàn)在以下幾個層面.

2.1 有利于學(xué)生進(jìn)行原型內(nèi)化

在加里培林和安德森（認(rèn)知階段、聯(lián)結(jié)階段和自動化階段）研究的基礎(chǔ)上，我國教育學(xué)者提出心智技能形成三段論即原型定向、原型操作和原型內(nèi)化.“內(nèi)化”作為心理學(xué)俗語，取外部動作向內(nèi)部轉(zhuǎn)化之意，即內(nèi)部動作映像形成的過程.比如，學(xué)習(xí)“探索勾股定理”時，我們選擇制作直角三角形教具為“前概念”背景，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)這一新知的必要性.進(jìn)而實(shí)現(xiàn)將“現(xiàn)實(shí)模型”轉(zhuǎn)化為“心理原型”，終歸于概念表象的定向產(chǎn)生.“原型內(nèi)化”作為心智技能的高級形態(tài)，是心智活動的實(shí)踐模式向頭腦內(nèi)部轉(zhuǎn)化，即由物質(zhì)的、外顯的、展開的形式變成觀念的、內(nèi)潛的、簡縮的形式化過程.而數(shù)學(xué)慢教育課堂的曲線思維是以尋找“前概念”為思維抓手的思維行為，演繹、解釋前概念的過程就是心理原型得以內(nèi)化的過程.

曲線思維是以概念認(rèn)識系統(tǒng)的定性變遷來實(shí)現(xiàn)的.核心概念是曲線思維的研究主題，而一般概念是曲線思維研究的子節(jié)點(diǎn).對于概念的一般性與特殊性的劃分則是曲線思維發(fā)揮作用的表現(xiàn)，標(biāo)志認(rèn)識信念的指向和集中的程度，即曲線思維觀念的定量形成.正如上述勾股定理場感描述的那樣，情境簡單，概念的主次清晰透明，易于理解把握.這就是曲線思維素養(yǎng)層面的慢教育大意.這里我們反對概念行為的直線思維傾向（奉送真理），也反對情境泛濫的“過”曲線思維傾向（作秀式情境）.

2.2 有利于學(xué)生提高元認(rèn)知力

提高元認(rèn)知能力是數(shù)學(xué)慢教育思維教育的主題.數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力包括數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識的掌握與致用能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自我規(guī)劃、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié)能力等[7].元認(rèn)知作為思維學(xué)概念就是對認(rèn)知的認(rèn)知，也就是把認(rèn)知過程作為研究對象.常見的元認(rèn)知行為就是“反思”“回流”等思維行為.唯有“反思”，方能將知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài).多次用“思維”審視概念的行為，能使得問題解決過程邏輯連貫、方法體系共通化、經(jīng)驗(yàn)體系框架化、思想意識集中化，終歸于概念系的來龍去脈.而這些簡潔的思維結(jié)論，在另一個側(cè)面，反映了曲線思維的反復(fù)性和回流性.事實(shí)上，元認(rèn)知本身就是一種帶有強(qiáng)烈曲線特征的曲線思維.

慢教育課堂數(shù)學(xué)元認(rèn)知包括數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)與元認(rèn)知監(jiān)控，其中元認(rèn)知體驗(yàn)和監(jiān)控對學(xué)習(xí)者的思維鍛煉效果明顯.在元認(rèn)知行為實(shí)施過程中，我們常以“反問”監(jiān)控的形式進(jìn)行曲線思維，伴隨著遞進(jìn)式“為什么”的哲學(xué)追問.而“做什么”“怎么做”“為什么這樣做”“接著，還應(yīng)做什么”都是曲線思維的典型表現(xiàn).因此，就監(jiān)控學(xué)的思維過程來說，曲線思維方法能反哺元認(rèn)知力的能力，提高了課程思維教育力.

2.3 有利于學(xué)生學(xué)習(xí)正向遷移

教育心理學(xué)家奧蘇泊爾的遷移論，強(qiáng)調(diào)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、概括性、包容性、連貫性和可辨性等特性始終影響著新知的獲得和保持.安德森等人認(rèn)為，如果兩種情境中有產(chǎn)生式的交叉或重疊，則可以產(chǎn)生遷移.加特納等人認(rèn)為，若前后兩種情境的結(jié)構(gòu)特征相匹配或相同，則遷移產(chǎn)生.這就是當(dāng)下情境教學(xué)論被“第一概念”的意義所在（哲學(xué)論范疇）.數(shù)學(xué)慢教育曲線思維帶有鮮明的概括性和連貫性思維特征，其思維過程就是建立產(chǎn)生式（是認(rèn)知的基本成分，由一個或多個條件+動作的配對構(gòu)成），而運(yùn)演目標(biāo)則是實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的正向遷移.

誠然，遷移的本質(zhì)是新舊經(jīng)驗(yàn)的整合過程.數(shù)學(xué)慢教育曲線思維的關(guān)鍵詞就是整合，這里的“整合”是新舊經(jīng)驗(yàn)的一體化現(xiàn)象.即借助分析、抽象、綜合、概括等數(shù)學(xué)活動，使新舊經(jīng)驗(yàn)相互作用，從而形成在結(jié)構(gòu)上一體化、系統(tǒng)化；在功能上可穩(wěn)定調(diào)節(jié)活動的一個完整心理系統(tǒng).慢教育曲線思維的運(yùn)動線索為：情境（形式化、客觀化）→組織（抽象與概括）→觀念（思想、方法）→意識（能力、習(xí)慣）.這與已有研究揭示的學(xué)生個體與群體的思維結(jié)構(gòu)有相通之處[8].曲線思維的整合行為可以通過同化、順應(yīng)與重組來實(shí)現(xiàn).比如，在探索勾股定理的過程中，讓學(xué)生任意畫一個直角三角形，測量其三邊的長度并給出猜想.這一情境能讓學(xué)生在監(jiān)控體驗(yàn)中，經(jīng)歷思維內(nèi)部關(guān)系的重組和同化，落實(shí)認(rèn)知正遷移意識觀.

3 曲線思維的教學(xué)設(shè)計(jì)框架

已有研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)優(yōu)生思維具有以下共性特征：（1）善于接近性、相似性和對比性聯(lián)想；（2）產(chǎn)生塊狀思維和復(fù)合思維；（3）采用彎曲思維（轉(zhuǎn)化）；（4）超回歸思維[9].可見，運(yùn)行曲線思維教學(xué)概念已成為當(dāng)下教育界的自然法則，備受學(xué)科思維教育的關(guān)注和熱議.

S.Pirie和T.Kieren的超回歸數(shù)學(xué)理解模型，由原始認(rèn)識、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認(rèn)知、形式化、符號化、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造，這8個過程揭示學(xué)習(xí)者理解數(shù)學(xué)概念的全過程[10].數(shù)學(xué)慢教育研究組提出曲線思維的教學(xué)設(shè)計(jì)框架，主要包括4個反應(yīng)層級（見圖2）.

恩格斯說：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).”我們可以借助概念研究曲線思維的科學(xué)框架.概念是數(shù)學(xué)大廈的“基石”.數(shù)學(xué)活動的直接目標(biāo)就是習(xí)得概念，間接目標(biāo)是養(yǎng)護(hù)曲線思維，進(jìn)而影響生命的行事觀.由圖2可知，數(shù)學(xué)活動是曲線思維的依附載體，4個階段（4級思維）是其基本的運(yùn)動方式，超回歸心理模型是其立論的基礎(chǔ)，概念的內(nèi)化和遷移是曲線思維運(yùn)動的集大成者.在綜合思維演變的過程中，形式化曲線思維主要表現(xiàn)在3個層面：一是設(shè)計(jì)準(zhǔn)情境尋找前概念（簡明的問題情境），數(shù)學(xué)科學(xué)不允許有前概念，但數(shù)學(xué)教育學(xué)可以有前概念；二是問題組塊內(nèi)部關(guān)系邏輯連貫，外在形式開放聚合有序，內(nèi)在思維黑白相間；三是借助元認(rèn)知監(jiān)控行為將核心概念轉(zhuǎn)化為一般概念，這里的一般有“一般”的一般意義，也有形式化的符號意義.

下面以“探索勾股定理”教學(xué)為例，對數(shù)學(xué)慢教育課堂曲線思維運(yùn)行過程加以說明.

就思維過程學(xué)來說，探索勾股定理教學(xué)的思維核心是“勾股定理的緣起緣落”，它揭示章節(jié)抑或單元起始課的思維線索.為促進(jìn)學(xué)生對章核心概念（勾股定理）的理解，勢必需要將曲線思維形式的一般概念轉(zhuǎn)化為具體形式的核心概念，同時還需要將特殊形式的核心概念進(jìn)行一般化演繹，進(jìn)而使得概念的理解從內(nèi)容走向形式，終于概念的關(guān)系性理解（見表1）.

在這樣的科學(xué)框架體系內(nèi)，設(shè)計(jì)帶有明顯曲線思維特征的數(shù)學(xué)活動，使得核心概念突出，一般概念敞亮透明；教學(xué)過程主題聚焦，教育過程主題鮮明；過程性思維在哲學(xué)追問中螺旋上升，在元認(rèn)知體驗(yàn)中入乎其內(nèi)而又出乎其外.就思維科學(xué)論而言，4個思維層級的問題都以曲線思維為突出特征，斷然屏蔽“兩點(diǎn)之間線段最短”的最近意識.正是這種讓學(xué)生“看得見思維”的曲線思維，才讓慢教育課堂不慢而慢，慢而不慢且辯證前行，終歸于慢教育形式的簡約但思維并不簡單的曲線定論.

概言之，慢教育中曲線思維的教學(xué)關(guān)鍵是：圍繞學(xué)生的核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)運(yùn)演問題“反應(yīng)塊”，在“超回歸”心理模型的指導(dǎo)下，進(jìn)行概念的邏輯劃分和回歸性監(jiān)控分析.曲線思維起于核心概念的定性把握，一般概念的定量轉(zhuǎn)化，終于正向行事觀的形成.這與教育部課程教育素養(yǎng)指標(biāo)的培養(yǎng)具有內(nèi)部系數(shù)相關(guān)一致性，即社會參與的維度、自主發(fā)展的維度和文化修養(yǎng)的維度[11].

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