基于等幾何裁剪分析的拓撲與形狀集成優(yōu)化

第一作者傅曉錦男，博士，教授，1964年11月生

基于等幾何裁剪分析的拓撲與形狀集成優(yōu)化

傅曉錦1，龍凱2，周利明1，闕春蘭1，葉航1

(1. 上海電機學院機械學院，上海200245； 2. 華北電力大學新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京102206)

摘要：提出了將設計和分析、拓撲與形狀優(yōu)化集成的思想，探索了基于等幾何裁剪分析的拓撲與形狀集成優(yōu)化設計算法，該方法統(tǒng)一了結構優(yōu)化的計算機輔助設計、計算機輔助工程分析和優(yōu)化設計的模型，基于B樣條的等幾何裁剪分析既能準確表達幾何形狀，又可以用裁剪面分析方便處理任意復雜拓撲優(yōu)化問題，由裁剪選擇標準確定合理的拓撲結構變動方向，結構變動時無需重新劃分網(wǎng)格，設計結果突破初始設計空間的限制，還可方便優(yōu)化形狀。建立了等幾何裁剪靈敏度分析的計算方法，給出了等幾何裁剪分析拓撲與形狀集成優(yōu)化算法，通過典型實例表明所用方法的正確性和有效性。

關鍵詞：形狀優(yōu)化； 靈敏度分析； 拓撲優(yōu)化； 等幾何分析； 裁剪B樣條； 有限元分析

基金項目：國家自然科學基金(11202078);上海市教委科研創(chuàng)新重點項目(13ZZ145);上海市自然科學基金(11ZR1413800)

收稿日期：2014-02-24修改稿收到日期：2014-04-21

中圖分類號:O241；TH122

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.026

Abstract:An idea of integration of computer aided design, computer aided engineering analysis, topology and shape optimization design was introduced and a kind of optimization strategy for integation of topology and shape optimization design of continuum structure based on isogeometric trimmed surface analysis was explored. The proposed method offers a unified model of computer aided design, computer aided engineering and optimization design in structure optimization. The isogeometric trimmed surface analysis based on B splines has the capability of both expressing the geometry shape accurately and solving arbitrarily complex topology optimization problem. The trimmed criteria selected determine the reasonable direction of topology changes. It does not need to remesh during structural optimization process. The design results can be beyond the limitations of initial design space. It is also convenient in shape optimization. In the integration method, the calculation approach for sensitivity analysis of isogeometric trimmed surface, and the algorithm for integation of topology and shape optimization design based on isogeometric trimmed analysis were developed. A numerical example illustrates the correctness and effectiveness of the method.

Integration of topology and shape optimization design of continuum structure based on isogeometric trimmed surface analysis

FUXiao-jin1,LONGKa2,ZHOULi-ming1,QUEChun-lan1,YEHang1(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 200245,China 2.State Key Laboratory for Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Sources, North China Electric Power University, Beijing 102206,China)

Key words:shape optimization; sensitivity analysis; topology optimization; isogeometric analysis; trimmed B-spline; finite element analysis

計算機輔助結構優(yōu)化設計是一項多學科相交叉的新技術。它的研究領域涉及到力學、機械、結構工程、數(shù)學和信息技術，具有巨大的發(fā)展?jié)摿1-3]。我國程耿東院士和郭旭在布局優(yōu)化研究中提出求解奇異最優(yōu)解的松弛算法，是具有重要意義的貢獻[4]。Michael等[5]提出一種的水平集方法(Level set method)，優(yōu)化問題中結構的邊界用嵌入到高維尺度函數(shù)中的水平集模型來表示，模型在描述復雜結構的拓撲及邊界變化方面具有較好的靈活性。目前，多數(shù)研究者先計算機輔助設計(Computer Aided Design，CAD)，之后，進行計算機輔助工程(Computer Aided Engineering，CAE)分析，幾何和分析模型會有出入，CAD/CAE模型難以融合[6-7]，優(yōu)化方法的最優(yōu)解與初始產(chǎn)生空洞的數(shù)量與位置有很大關系[8-9]。其中存在二個明顯的問題：第一，設計空間與初始網(wǎng)格有關，設計空間為固定網(wǎng)格，設計結果與設計空間相關，若限制設計空間，有可能得不到解。另一方面，若網(wǎng)格劃分過細，會使計算量大大增加。第二，將計算結果返回到CAD系統(tǒng)的后處理工作量也大，這是由于常規(guī)優(yōu)化方法設計和分析的模型不是CAD系統(tǒng)中樣條數(shù)據(jù)，需要大量的后處理工作。第一個缺點可采用無網(wǎng)格解決?？朔诙€缺點需要統(tǒng)一設計和分析的模型[10-11]。Hughes等[12]提出了一種等幾何分析的新型有限元方法，該方法采用Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS)作為有限元離散的插值函數(shù)，將控制頂點作為網(wǎng)格節(jié)點，使CAD和CAE之間通信既方便容易，又有效[13-17]。在Hughes等[18-25]幾何分析的啟發(fā)下，很多學者在結構優(yōu)化領域結合等幾何分析進行了廣泛的研究，優(yōu)化技術迅速發(fā)展，創(chuàng)造了不少成果，具有較好的參考價值。但以上文獻的拓撲優(yōu)化方法多采用細胞或單元，然而，細胞表示的拓撲是不規(guī)則或模糊邊界輪廓，所以，試圖研究一種能確定的光滑的材料邊界的方法，最近，水平集拓撲優(yōu)化已被廣泛的研究[26]，水平集拓撲優(yōu)化中，由雅可比方程確定進化水平集函數(shù)表示材料邊界，設計靈敏度分析計算形狀速度，一般，水平集拓撲優(yōu)化有一個嚴重的不足，在優(yōu)化過程中，新的內(nèi)部空洞不能自動產(chǎn)生，所以，初始的水平集會包含一些用戶定義的內(nèi)部空洞，這樣，該拓撲優(yōu)化方法的問題是會依靠初始空洞的數(shù)量和位置，在優(yōu)化過程中，合理的策略應該是基于拓撲靈敏度和應變能量密度引入新的空洞。本文在前期集成優(yōu)化研究的基礎上[27-28]，探索等幾何裁剪靈敏度分析方法，利用裁剪面分析任意復雜拓撲結構，無需將其分成多塊，從而降低由于分塊引起的巨大計算量，有限元模型與幾何實體重合，統(tǒng)一了CAD、CAE和優(yōu)化設計的模型。

1幾何造型

非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS)為曲線曲面幾何造型主要方法[29-31]。

1.1節(jié)點矢量與B樣條

節(jié)點是參數(shù)軸上的分割點，一個非遞減的參數(shù)坐標的集合定義為節(jié)點矢量，記為

Ξ=[ξ0,ξ1,…ξn+p]

式中，ξi∈R是第i個節(jié)點，p是B樣條基函數(shù)的次數(shù)，n是基函數(shù)的數(shù)量。

定義B樣條基函數(shù)

(1)

(2)

用n個p次B樣條基函數(shù)Ni,p(ξ)(i=1,2,…,n)和n個控制頂點Pi(i=1,2,…,n)確定p次B樣條曲線：

(3)

1.2NURBS描述

(4)

NURBS曲線可表示為

(5)

由節(jié)點矢量ξ=[ξ0,ξ1,…ξn+p]和節(jié)點矢量η=[η0,η1,…ηm+q]，n×m個控制頂點Pi,j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)，構成的B樣條曲面：

(6)

由節(jié)點矢量ξ=[ξ0,ξ1,…ξn+p]、節(jié)點矢量η=[η0,η1,…ηm+q]和ζ=[ζ0,ζ1,…ζm+q]，n×m×l個控制頂點Pi,j,k(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m;k=1,2,…,l)構成的B樣條體：

S(ξ,η,ζ)=

(7)

1.3基于NURBS的等幾何分析

建立準確的幾何模型是等幾何分析的關鍵，CAD(計算機輔助設計)和CAE(計算機輔助工程分析)是同一個模型，即等幾何，用有限元方法進行分析。用B樣條基函數(shù)代替多項式基函數(shù)，控制頂點視同有限元節(jié)點，可得：

(8)

式中，u為如位移、應力和應變等控制變量的物理場，d可以為控制頂點的位移、應力和應變等。

2裁剪面分析

常規(guī)的等幾何分析時，分析模型是分解成幾個B樣條小塊，所以，若拓撲結構復雜，分析較為困難，若借助計算機圖形學的裁剪操作，即使復雜模型也容易實現(xiàn)。裁剪單元按照單元的頂點數(shù)量分為三類，如圖1所示。復雜的裁剪單元與這三類裁剪單元不匹配，那么繼續(xù)四分細化該單元，直到滿足這三類的其中一類為止。裁剪單元繼續(xù)分為三角形和曲邊三角形，曲形三角形有一邊為B樣條裁剪曲線。

圖1　三類裁剪單元 Fig.1 Three kind of trimmed elements

因參數(shù)空間比物理空間簡單，故單元分解在未裁剪的參數(shù)空間操作。單元剛度矩陣為

(9)

B=MΓG

(10)

其中，Jξ為由參數(shù)空間向物理空間轉(zhuǎn)換的變換矩陣，表示為

(11)

J=JTkJTn=

(12)

如圖2所示，在有限元中，線性變換Tkt能用線性三角形形狀函數(shù)表示。

圖2　三角形單元變換 Fig.2 Transformations in triangular elements

為方便積分，采用線性變換Tkt

Tkt:{u,v}→{ξ,η}

(13)

如圖3所示，正積分三角形單元的二頂點(ξ1,η1)和(ξ2,η2)與裁剪矩形單元的頂點一致，另一點(ξ3,η3)位于裁剪曲線上，可求裁剪曲線交點及其參數(shù)。假定，點(ξ3,η3)中，ξ3為已知，η3為未知。

(1)由已知參數(shù)用下式可求λ0

(2)由下式求得未知參數(shù)

圖3　在三角形單元中求裁剪曲線交點及其參數(shù) Fig.3 Finding intersection and its corresponding parameter of trimming curve in triangular elements

正三角形單元的雅可比矩陣為

(14)

圖4為由高斯積分單元轉(zhuǎn)化為物理空間曲邊單元，物理空間單元用ΩPH表示；相應參數(shù)空間單元用ΩPM表示。

圖4　曲邊三角形積分單元變換 Fig.4 Transformations in curved triangular integration elements

(1)由已知參數(shù)用下式可求λ1

(2)由下式求得未知參數(shù)

假定，點(ξ3,η3)，ξ3為已知，η3為未知。

(1)由已知參數(shù)用下式可求λ2

(2)由下式求得未知參數(shù)

圖5　在曲邊三角形單元中求裁剪曲線交點及其參數(shù) Fig.5 Finding intersection and its corresponding parameter of trimming curve in triangular elements

在圖4中，線性變換Ti，Tj和Tkt為

(16)

(17)

在αβ坐標系φ(λ)=[φα(λ),φβ(λ)]T裁剪曲線能用逆矩陣R-1變換

φ(λ)=R-1·C(λ)=A-1(C(λ)-Z)

(18)

曲邊積分三角形單元的雅可比矩陣為

J=JTiJTjJTktJTn=

(19)

式中，

(20)

圖6　積分單元分解和單元的積分點 Fig.6 Integration elements decomposition and integration points in the elements

圖6顯示積分單元分解和積分點。單元按圖5規(guī)則分解，在曲邊三角形積分單元中的積分點均布在邊界，曲邊三角形積分單元的剛度矩陣由式(19)和式(9)計算可得。

3裁剪靈敏度分析

本文取邊界控制頂點的坐標為設計變量，建立優(yōu)化模型

MinΨ(X,u(X))

s.t.hj(X,u(X))=0j=1,…,p1

(21)

3.1靈敏度計算

目標函數(shù)方程

(22)

式中，F(xiàn)為線性方程的力矢量，u為位移矢量。

目標函數(shù)對設計變量的靈敏度為

(23)

對式(9)的單元剛度矩陣求導

(24)

對B的導數(shù)

(25)

對于矩形單元：

對于正三角形單元：

對于曲邊三角形單元：

(26)

用式(25)和式(26)代入式(24)求得單元剛度敏度，由此可得總剛度敏度

(27)

式中，ne為單元數(shù)量。

形狀優(yōu)化時希望結構的最大應力最小，取最大Von-Mises應力為研究對象

(28)

Von-Mises應力對控制頂點坐標的導數(shù)為

(29)

計算極值點，求得最大應力

(30)

式中，d為在u全局內(nèi)最大應力點的控制頂點位移，A為由全局位移矢量轉(zhuǎn)為局部位移矢量的變換矩陣，A在該處值為1，其它地方為0。局部處靈敏度為

(31)

式中，v為下列伴隨方程的解。

(32)

4優(yōu)化方法

本部分介紹優(yōu)化方法和策略，確定設計變量，定義選擇標準，提出相應算法。

4.1設計變量

在二維優(yōu)化問題，首先，未裁剪表面的邊界表面控制頂點坐標為設計變量，因為內(nèi)部表面控制頂點不影響邊界形狀，所以，內(nèi)部表面控制頂點不作為設計變量。一旦空洞生成，裁剪曲線的控制頂點坐標也作為設計變量了?？刂祈旤cP的法向量n定義

(33)

式中，(ξP,ηP)是參數(shù)空間最接近裁剪點的控制頂點的坐標，t為切向量，k為單位向量。目標函數(shù)設計靈敏度與設計表面控制頂點法向移動有關，目標函數(shù)設計靈敏度為

(34)

4.2產(chǎn)生空洞的標準

對于式(21)的優(yōu)化模型，定義選擇標準為目標函數(shù)對約束的靈敏度

(35)

體積作為約束條件時，SC通常為正。當空洞產(chǎn)生時，體積就會變小。如果SC為負，沒有改變約束，不可能再使目標函數(shù)性能提高。

SC有二種，一種是設計模型內(nèi)產(chǎn)生空洞的選擇標準SC洞，另一種是設計模型內(nèi)外邊界形狀改變的選擇標準SC形。目標函數(shù)的形狀靈敏度和設計邊界的控制頂點約束都要計算相應的SC形。比較二個選擇標準SC形和SC洞能確定設計模型內(nèi)部空洞是否產(chǎn)生。

若設計模型中，約束不變，設計控制頂點的變動而引起邊界攝動，內(nèi)部空洞產(chǎn)生，則

(36)

(37)

由式(36)和式(37)可得

(38)

圖7　在邊界變動時表面設計控制頂點和選擇標準 Fig.7 Surface design control points and their selestion criteria on boundary movement

4.3算法

(1)定義模型

(2)裁剪面分析

(3)靈敏度分析

(5)更新設計變量

(6)內(nèi)部空洞是否合并?若合并返回(2)

(7)裁剪面分析

(8)收斂否?若不收斂，返回(3)

(9)收斂得優(yōu)化結果

5應用實例

實例1

如圖8所示為多載荷梁的結構優(yōu)化計算模型，結構尺寸為200 mm×100 mm，彈性模量E=2.01×105MPa，泊松比ν=0.3，定義整個區(qū)域為設計域。在下端分別施加100 N、600 N、100 N三個集中力載荷，并在左下角約束了6個自由度，右下角約束了y方向的移動自由度。

圖8　優(yōu)化模型 Fig.8 Optimization model

●表示設計面的控制頂點，■表示初始面的控制頂點 圖9　物理空間初始面的控制頂點和設計面的控制頂點 Fig.9 Initial control pointsand design surface control points in physical area

如圖9所示優(yōu)化模型為二次B樣條面，分為20×10個單元。在物理空間，以體積作為約束，以小方塊表示初始表面的控制頂點，以小圓點表示設計面邊界(頂端邊界)的控制頂點，首先以設計面邊界的控制頂點為設計變量，為了避免網(wǎng)格扭曲變形，二末端控制頂點允許沿垂直方向移動，其余控制頂點允許沿法向移動，其余邊界無設計面控制頂點，但可由裁剪曲線按需要改變邊界。按照上述優(yōu)化方法進行優(yōu)化，進行靈敏度分析，設計面邊界的控制頂點(即設計變量)就會按計算的靈敏度方向移動，其余表面控制頂點會相應變動，盡管在小的區(qū)域控制頂點會較密集，但自適應使其不會相交。通過改變表面控制頂點坐標進行優(yōu)化，直到由拓撲導數(shù)確定內(nèi)部產(chǎn)生空洞位置為止，得如圖10所示物理空間中表面的優(yōu)化結果。

圖10　物理空間中表面的優(yōu)化結果 Fig.10 Optimal result in physical area

一旦空洞生成，裁剪曲線控制頂點的坐標也成為設計變量。下一步重點分析裁剪曲線控制頂點的靈敏度。

裁剪曲線方程為

(39)

式中，λ為曲線參數(shù)，ng為裁剪曲線控制頂點數(shù)量，裁剪曲線第k個控制頂點坐標為Pk=[pk,qk]。

圖11　交點靈敏度計算時裁剪曲線 控制頂點變動及其相應曲線參數(shù) Fig.11 Movement of trimming curve control point for sensitivity compute of intersections and their corresponding curve parameters

圖11說明由于裁剪曲線控制頂點攝動，二個交點及其相應參數(shù)變動情況。攝動前，二交點分別為(ξ2b,η2b)和(ξ3b,η3b)，其相應曲線參數(shù)分別為λ2b和λ3b。裁剪曲線控制頂點垂直攝動后，二交點分別變?yōu)?ξ2a,η2a)和(ξ3a,η3a)，其相應曲線參數(shù)也分別變?yōu)棣?a和λ3a。交點及其參數(shù)對曲線控制頂點攝動的靈敏度分別為

(40)

應變位移矩陣B對曲線控制頂點的靈敏度用Γ和G的靈敏度表示為

(41)

其中，Γ的靈敏度表示為

(42)

式中，

(43)

G對曲線控制頂點的靈敏度表示為

(44)

第k個基函數(shù)對曲線控制頂點的一階導數(shù)用參數(shù)(ξ,η)靈敏度和基函數(shù)的二階導數(shù)表示

(45)

(46)

由式(14)可得雅可比靈敏度

(47)

由式(17)計算曲線三角形積分單元的(ξ,η)靈敏度

(48)

由式(40)計算交點的靈敏度

(49)

由式(16)計算式(48)中參數(shù)α和β的靈敏度

(50)

由式(18)可得

(51)

其中

(52)

由式(39)可得裁剪曲線靈敏度

(53)

由式(15)可得曲線參數(shù)λ靈敏度

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

對裁剪曲線求偏導

(60)

它對曲線控制頂點的靈敏度為

(61)

由式(56)到式(61)可計算曲邊三角形積分單元的式(55)雅可比行列式靈敏度。

圖12 在參數(shù)空間中的模型Fig.12Modelintheparametricarea圖13 在物理空間中裁剪曲線控制頂點Fig.13Controlpointsinthephysicalarea圖14 在物理空間中選定裁剪曲線的詳細信息Fig.14Detailedinformationofselectcurveinthephysicalarea

圖15 物理空間中未裁剪表面的優(yōu)化結果Fig.15Optimaluntrimmedresultinthephysicalarea圖16 物理空間表面控制頂點和逐步細化積分單元Fig.16Controlpointsofdecomposedintegrationelementsinthephysicalarea圖17 裁剪面分析應力云圖(Von-Mises應力場)Fig.17Stresscontoursoftrimmingcurve

圖18 裁剪優(yōu)化結果Fig.18Optimaltrimmedresult圖19 形狀優(yōu)化結果Fig.19Shapeoptimalresult圖20 形狀優(yōu)化應力云圖(Von-Mises應力場)Fig.20Stresscontoursofshapeoptimization

圖16所示為在物理空間中的模型，顯示適應表面控制頂點的敏度，圖17所示為裁剪面分析應力云圖(Von-Mises應力場)，圖18所示為裁剪優(yōu)化結果。

然后，再進行形狀優(yōu)化靈敏度分析，形狀優(yōu)化時希望結構的最大應力最小，取最大Von-Mises應力為研究對象,求Von-Mises應力對控制頂點坐標的導數(shù)，計算極值點，得優(yōu)化形狀，圖19 所示為形狀優(yōu)化結果，圖20形狀優(yōu)化應力云圖。

實例2

如圖21所示為單載荷梁的結構優(yōu)化計算模型，結構尺寸為200 mm×100 mm，彈性模量E=2.01×105MPa，泊松比ν=0.3，定義整個區(qū)域為設計域。在右邊緣下端施加一個100 N的載荷，并約束了左邊緣6個自由度。

如圖22所示優(yōu)化模型為二次B樣條面，分為20×10個單元。在物理空間，以體積作為約束，以小方塊表示初始表面的控制頂點，以小圓點表示設計面邊界(頂端邊界)的控制頂點，首先以設計面邊界的控制頂點為設計變量，為了避免網(wǎng)格扭曲變形，二末端控制頂點允許沿垂直方向移動，其余控制頂點允許沿法向移動，其余邊界無設計面控制頂點，但可由裁剪曲線按需要改變邊界。按照上述優(yōu)化方法進行優(yōu)化，進行靈敏度分析，設計面邊界的控制頂點(即設計變量)就會按計算的靈敏度方向移動，其余表面控制頂點會相應變動，盡管在小的區(qū)域控制頂點會較密集，但自適應使其不會相交。通過改變表面控制頂點坐標進行優(yōu)化，直到由拓撲導數(shù)確定內(nèi)部產(chǎn)生空洞位置為止，空洞生成后，裁剪曲線控制頂點的坐標也成為設計變量，更新設計變量，外部邊界和內(nèi)部邊界同時優(yōu)化，物理空間和參數(shù)空間的拓撲結構同時相應改變。

圖21 優(yōu)化模型Fig.21Optimizationmodel圖22 物理空間初始面的控制頂點和設計面的控制頂點Fig.22Initialcontrolpointsanddesignsurfacecontrolpointsinphysicalarea圖23 在參數(shù)空間中的模型Fig.23Modelintheparametricarea

圖24　在物理空間中裁剪曲線控制頂點 Fig.24 Control points in the physical area

圖25 在物理空間中選定裁剪曲線的詳細信息Fig.25Detailedinformationofselectcurveinthephysicalarea圖26 物理空間表面控制頂點和逐步細化積分單元Fig.26Controlpointsofdecomposedintegrationelementsinthephysicalarea圖27 裁剪面分析應力云圖(Von-Mises應力場)Fig.27Stresscontoursoftrimmingcurve

圖26所示為在物理空間中的模型，顯示適應表面控制頂點的敏度，圖27所示為裁剪面分析應力云圖(Von-Mises 應力場)，圖28所示為裁剪優(yōu)化結果。

然后，再進行形狀優(yōu)化靈敏度分析，形狀優(yōu)化時希望結構的最大應力最小，取最大Von-Mises應力為研究對象,求Von-Mises應力對控制頂點坐標的導數(shù)，計算極值點，得優(yōu)化形狀，圖29 所示為形狀優(yōu)化結果，圖30形狀優(yōu)化應力云圖。

圖28 裁剪優(yōu)化結果Fig.28Optimaltrimmedresult圖29 形狀優(yōu)化結果Fig.29Shapeoptimalresult圖30 形狀優(yōu)化應力云圖(Von-Mises應力場)Fig.30Stresscontoursofshapeoptimization

6結論

(1)本文探討了將設計和分析、拓撲與形狀優(yōu)化雙集成的基于等幾何裁剪分析的連續(xù)體結構拓撲與形狀集成優(yōu)化設計方法，該方法將在CAD系統(tǒng)表達幾何模型控制頂點和基函數(shù)的樣條信息用于CAE，CAD、CAE和優(yōu)化設計是同一個模型，實現(xiàn)其無縫集成。

(2)用B樣條和裁剪曲線表示設計模型的內(nèi)外邊界，用裁剪面分析能方便處理復雜樣條面，改變拓撲結構，設計結果不限定在初始的設計空間內(nèi)。將未裁剪表面控制頂點坐標為設計變量，一旦空洞生成，裁剪曲線控制頂點坐標也作為設計變量，無需額外的設計變量參數(shù)。為了避免未裁剪面的幾個網(wǎng)格發(fā)生畸變，將除了角點外的設計面控制頂點沿法線方向移動，確定產(chǎn)生合理裁剪曲線的選擇標準使拓撲結構往更合理方向變動，結構變動時無需重新劃分網(wǎng)格。

(3)建立了等幾何裁剪曲線和表面的設計控制頂點靈敏度計算方法，優(yōu)化過程中，內(nèi)部的拓撲結構是靈活可變的，提出了內(nèi)部空洞產(chǎn)生和合并算法，常規(guī)的優(yōu)化方法，設計空間相關是一個不足，提出的樣條優(yōu)化很好解決了這個問題，在拓撲優(yōu)化中，對常規(guī)網(wǎng)格相關載荷也較難處理，用提出的方法容易處理，在數(shù)字分析和優(yōu)化中，轉(zhuǎn)到CAD模型時，樣條信息是一樣的，消除后處理的工作量，同時優(yōu)化拓撲結構和形狀，典型實例表明所用方法的合理性和有效性。該方法容易擴展設計空間，方便分析處理，高度集成優(yōu)化設計，高效可行，具有工程應用價值。

參考文獻

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