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    實正態(tài)過程之多重均方不定積分的正態(tài)性

    2020-03-31 02:57:20芳,李
    關鍵詞:特征函數(shù)正態(tài)均方

    呂 芳,李 恒

    (1.洛陽師范學院 數(shù)學科學學院, 河南 洛陽 471934;2.洛陽理工學院 經(jīng)濟與管理學院,河南 洛陽 471023)

    1 基本概念

    定義1[1,2]設{X(t),t∈T}是一個隨機過程,如果對于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T,(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態(tài)隨機向量,則稱{X(t),t∈T}為正態(tài)過程或高斯過程.

    將概率空間(Ω,F,P)上具有二階矩的隨機變量的全體記為H.

    2 相關定理

    定理3[6 ]若二階矩過程{X(t),t∈T}均方可導,則{X(t),t∈T}均方連續(xù).

    引理1[7]設X=(X1,X2,……,Xn)是n維隨機向量,X~N(μ,B),其中μ為均值向量,B為協(xié)方差矩陣,則X的特征函數(shù)為

    由引理1及正態(tài)過程的定義易得定理4.

    定理4設{X(t),t∈T}為正態(tài)過程,均值函數(shù)為mX(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t),則{X(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為:

    ri∈R,ti∈T,i=1,2,…n,n∈N.

    3 主要結(jié)論

    任意有限維特征函數(shù)為:

    ri∈R,ui∈[a,b],i=1,2,…n,n∈N.

    重復使用上述方法,可得多重均方不定積分

    為[a,b]上均方連續(xù)、均方可導的實正態(tài)過程.

    協(xié)方差函數(shù)為

    協(xié)方差函數(shù)為:

    協(xié)方差函數(shù)為

    依此類推,令

    則{Ym(tm),tm∈[a,b]}(即{H(tm),tm∈[a,b]})的均值函數(shù)為:

    協(xié)方差函數(shù)為

    由于{H(tm),tm∈[a,b]}為實正態(tài)過程,由定理4 知{H(tm),tm∈[a,b]}的任意有限維特征函數(shù)為

    ri∈R,ui∈[a,b],i=1,2,…,n,n∈N.

    證畢.

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