聯(lián)想思維在數(shù)學(xué)解題中的妙用

齊琳麗

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);聯(lián)想思維; 解題

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）24—0120—01

數(shù)學(xué)解題的過程其實質(zhì)就是聯(lián)想與題目條件、結(jié)論相關(guān)的內(nèi)容并建立關(guān)系的過程，難點就是聯(lián)想到與數(shù)學(xué)問題有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、解題思想、解題方法、解題技巧、解題規(guī)律等.因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的任務(wù)之一，就是幫助學(xué)生如何聯(lián)想相關(guān)內(nèi)容、如何把聯(lián)想到的內(nèi)容與題目結(jié)論建立聯(lián)系，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維的能力.下面，筆者結(jié)合自己的教學(xué)體會，舉例說明聯(lián)想思維在數(shù)學(xué)解題中的妙用.

一、相似聯(lián)想

相似聯(lián)想，就是根據(jù)問題條件或結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及表形而聯(lián)想到應(yīng)用相似知識點解決問題.

例1 若a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證-1≤ac+bd≤1.

分析：由于已知條件a2+b2=1，c2+d2=1，與三角函數(shù)恒等式sin=1結(jié)構(gòu)特征相似，因此聯(lián)想到情形.設(shè)從而使本題得到解決.

在解題中，對于形如a2+b2=u（u≥0）的情形，可以聯(lián)想sin2？琢+cos2？琢=1，對二次函數(shù)的問題可以聯(lián)想到二次方程或二次不等式等.

二、接近聯(lián)想

接近聯(lián)想，就是問題的意義或形式相近的一種聯(lián)想方法，即由問題或問題中的某一部分聯(lián)想到用與其相同或相近的知識去解決問題的思維方式.

例2 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：2y=x+z.

分析：解此題一般是通過因式分解來證，但是如果注意觀察已知條件的特點，會發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程根的判別式相似，于是聯(lián)想到用一元二次方程的知識來解.

當(dāng)x-y≠0時，我們把等式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0看作是關(guān)于t的一元二次方程（x-y）t2-（z-x）t+（y-z）=0有兩個等根的條件.觀察出這個方程的兩個等根為t1=t2=-1.

∴2y=x+z

若x-y=0，易知x=y=z，顯然也有2y=x+z.

在解題中，圓錐曲線上的點到焦點的距離問題就要聯(lián)想到圓錐曲線第二定義，關(guān)于曲線相交的問題就要聯(lián)想到解方程組的問題.

三、對立聯(lián)想

對立聯(lián)想，就是當(dāng)問題不易直接求解時，聯(lián)想到其反面情形，就其反面進(jìn)行分析探索，使問題得以解決.

例3 若正實數(shù)a，b滿足ab=ba，且a<1，求證：a=b.

分析本題如果由條件找結(jié)論或由結(jié)論找條件都難以下手，所以聯(lián)想結(jié)論的反面，假如a≠b，出現(xiàn)什么情形？

若a≠b，則a>b或a

（1）當(dāng)a>b時，由1>a>b>0，利用冪函數(shù)y=xb的單調(diào)性，ab>bb利用指數(shù)函數(shù)y=bx的單調(diào)性bb>ba，故ab>ba，與已知ab=ba矛盾;

（2）當(dāng)a>b時，b>a>0，1>a，利用冪函數(shù)y=xa的單調(diào)性，aa>ba利用指數(shù)函數(shù)y=xa的單調(diào)性，aa>ab，故aa

綜合（1）（2）知，a=b.

對否定性、限定性、無窮性、存在性、肯定性、不等（相等）關(guān)系的問題，用對立聯(lián)想?？色@得解題的思路.

四、連鎖聯(lián)想

連鎖聯(lián)想，就是由數(shù)學(xué)問題已知條件或結(jié)論中涉及的知識點，聯(lián)想其特有的性質(zhì)，并將相關(guān)性質(zhì)適當(dāng)推廣解決問題.

例4 設(shè)f（x）的值.

分析：觀察自變量的值，就能發(fā)現(xiàn)：是等差數(shù)列，聯(lián)想到等差數(shù)列的性質(zhì)“與首末兩端等距離的項和相等”，于是又可聯(lián)想到f（x）、f（1-x）是否也有f（x）+f（1-x）為某一常數(shù)呢？

每個數(shù)學(xué)概念都有其特定的規(guī)定，故具有特定的性質(zhì)，因而，抓住題中各個概念，合理地充分聯(lián)想其特定的性質(zhì)，常能獲取解題途徑.

編輯：謝穎麗