因“惑”得“獲”

劉慧娜

孟子說(shuō)：盡信書不如無(wú)書。教師不要過(guò)分迷信教材，教參，要敢于惹“惑”，有惑才會(huì)有收獲。

一、偶數(shù)概念生發(fā)的“惑”與“獲”

“偶數(shù)”概念是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于0是否屬于偶數(shù)范疇，不同版本的教材，甚至同一版教材在不同的年份、不同的頁(yè)面有著不同的定義。

2005年人教版教材17頁(yè)中提到：“自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)）”在教材第12頁(yè)又提到，“為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，所說(shuō)的數(shù)指的是整數(shù)（一般不包括0）?！边@樣一來(lái)，偶數(shù)只能在自然數(shù)范圍內(nèi)討論。由于在討論因數(shù)倍數(shù)的時(shí)候?qū)?撇開，所以在定義偶數(shù)的時(shí)候不得不將0又加上。2013年人教版教材第5頁(yè)強(qiáng)調(diào)：“為了方便，在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，所說(shuō)的數(shù)指的是自然數(shù)（一般不包括0）?！痹诘?頁(yè)定義偶數(shù)時(shí)說(shuō)：“整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)）”新版將因數(shù)倍數(shù)限定在自然數(shù)（除去0）內(nèi)，但是又用倍數(shù)來(lái)定義偶數(shù)，前面雖然說(shuō)在“整數(shù)中”，但是基于倍數(shù)的范圍，只能在2的倍數(shù)范圍內(nèi)理解偶數(shù)，而且0還是硬生生地加在后面。

其它版本教材對(duì)偶數(shù)是怎樣定義的呢？蘇教版教材在定義偶數(shù)時(shí)指出：“在整數(shù)中，能被2整除的叫偶數(shù)?！边@句話將0、正偶數(shù)、負(fù)偶數(shù)都概括了，并且“整除”的概念也在學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，整除的范圍也在整數(shù)的范圍內(nèi)討論，此時(shí)，不需要強(qiáng)調(diào)負(fù)偶數(shù)，只需點(diǎn)出0的特殊性即可。筆者認(rèn)為這個(gè)偶數(shù)定義更加簡(jiǎn)明深入，優(yōu)于人教版的偶數(shù)定義。

人教版教材的偶數(shù)概念是在學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中已有的“倍數(shù)”概念基礎(chǔ)上延伸出的二級(jí)概念，學(xué)生在理解“倍數(shù)”的時(shí)候已經(jīng)產(chǎn)生原認(rèn)知的重建和改組，再在此基礎(chǔ)上建立“偶數(shù)”概念，增加了難度。蘇教版教材用“整除”來(lái)定義“偶數(shù)”只需要知識(shí)的同化，簡(jiǎn)單許多。

二、認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)引發(fā)的“惑”與“獲”

兩位學(xué)生思考的深度讓人佩服。其他學(xué)生陷入了“不茍同卻無(wú)法說(shuō)服”的境地。查閱整理相關(guān)資料后，教師總結(jié)出探索這一問(wèn)題的兩大要點(diǎn)。

揣摩編者的意圖，應(yīng)該是將小學(xué)學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)作為一類單獨(dú)的學(xué)習(xí)對(duì)象，著重強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)表示整體或單位的一部分，而弱化了分?jǐn)?shù)的表示形式。依筆者愚見，應(yīng)該將小學(xué)所學(xué)的“數(shù)”進(jìn)行如下分類：

這樣一來(lái)，讓學(xué)生感受到零的突出地位，并且將整個(gè)數(shù)域?qū)ΨQ分，展示了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美感。這樣既避免了分?jǐn)?shù)表示形式的廣泛化，又不會(huì)對(duì)學(xué)生更高一級(jí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生沖突。

三、找次品的優(yōu)化策略生成的“惑”與“獲”

“數(shù)學(xué)廣角《找次品》”是小學(xué)數(shù)學(xué)人教版五年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，旨在幫助學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維更好地解決生活實(shí)際問(wèn)題。一次聽課活動(dòng)中，教師先講了利用天平稱重在3個(gè)物品中找1個(gè)次品的方法，而后延伸到在6個(gè)物品中找1個(gè)次品的方法。對(duì)于是將次品分為（2，2，2）還是分為（3，3），學(xué)生的討論陷入白熱化：

生A：我認(rèn)為第一種分法更好，它最大的優(yōu)點(diǎn)在于第一次稱完，只剩下兩個(gè)物品了，再稱一次就能找出次品。

生B：我覺(jué)得第二種方法更好，它在稱第二次的時(shí)候剩下三個(gè)，這樣一來(lái)，我們就轉(zhuǎn)化成研究3個(gè)的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題剛剛研究過(guò)，輕車熟路。

生C：其實(shí)我覺(jué)得兩種方法差不多，如果次品總數(shù)是3的倍數(shù)，那么就平均分成3份，如果是2的倍數(shù)，就平均分成2份，6是2和3的公倍數(shù)，所以兩種方法都好。

于是學(xué)生們就分成三派進(jìn)行舌戰(zhàn)。生A、生B爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是稱第二次時(shí)，次品是在2個(gè)中選，還是在3個(gè)中選的問(wèn)題，也就是在討論找出次品的“可能性”問(wèn)題，這樣就將問(wèn)題深入并遷移到“可能性”。然而這一知識(shí)點(diǎn)存在于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，在喚醒學(xué)生的元認(rèn)知的同時(shí)，還加深對(duì)“可能性”知識(shí)點(diǎn)的理解。即：在兩個(gè)中選，找到次品的可能性（概率）就是1/2，在三個(gè)中找，次品的可能性（概率）就是1/3，那么目前可以得出（2，2，2）分法更優(yōu)一些。

但是對(duì)于整個(gè)找次品的過(guò)程，這個(gè)優(yōu)勢(shì)還在嗎？這個(gè)時(shí)候可以提示在第一次稱時(shí)，找到“次品組”的可能性，（2，2，2）分法是在三組里面挑兩組放在天平上稱，可能性為1/3；但是（3，3）卻是在兩組里面挑，可能性為1/2。

綜合兩次稱量，（2，2，2）的優(yōu)勢(shì)在第二次稱量，（3，3）卻是在第一次稱量，所以結(jié)論就是：在可能性方面，兩種方法勢(shì)均力敵。

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想。生B巧妙地利用了這一點(diǎn)，在解決在6個(gè)物品中找1個(gè)次品的問(wèn)題時(shí)，通過(guò)第一次稱量巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問(wèn)題，也就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“同化”作用。生C的閃光點(diǎn)在于綜合了生A與生B的方法，尋找到“通法”，先不說(shuō)方法的使用范圍，而是將公倍數(shù)的概念引用至此。

（作者單位：?？悼h城關(guān)鎮(zhèn)小學(xué)）

實(shí)習(xí)編輯 孫愛(ài)蓉

責(zé)任編輯 姜楚華