關(guān)于運(yùn)算意義構(gòu)建的思考

俞正強(qiáng)，浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，北京師范大學(xué)教育家書院兼職研究員，浙江師范大學(xué)碩士生導(dǎo)師，浙江省金華師范學(xué)校附屬小學(xué)校長。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)算主要有加、減、乘、除四種。目前，我們對(duì)加、減、乘、除這四種運(yùn)算的定義基本上是這樣的：加法，將兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫加法;減法，已知兩個(gè)數(shù)的和與其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫減法;乘法，求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算;除法，已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

從這些運(yùn)算定義來看，加法是所有運(yùn)算的源頭。減法是依據(jù)加法來定義的，是加法的逆運(yùn)算;乘法也是依據(jù)加法來定義的，是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算;除法是乘法的

逆運(yùn)算。

由此看來，所有的運(yùn)算在本質(zhì)上都是加法。

那么，這樣的定義合理嗎？

一、意義構(gòu)建的兩種基本樣式

我在《小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的兩種基本樣式》一文中，對(duì)概念的意義構(gòu)建做過

分類。

類型一：概念本身能夠在生活中找到原型。學(xué)生在生活中因?yàn)閷?duì)原型的經(jīng)歷，已經(jīng)具備該概念所包含的內(nèi)涵和外延的理解。我們把這種概念的意義構(gòu)建表述為：

類型二：概念本身在生活中找不到原型。學(xué)生在生活中沒有關(guān)于該概念的任何經(jīng)歷。我們把這種概念的意義構(gòu)建表述為：

按照這兩種分類考察我們對(duì)運(yùn)算意義的定義，應(yīng)該屬于第二種：將學(xué)生視為空白定義運(yùn)算意義。先定義一個(gè)加法，再以加法為標(biāo)準(zhǔn)，定義減、乘、除，形成小學(xué)階段的運(yùn)算系統(tǒng)。這樣的意義構(gòu)建合理嗎？

二、加、減、乘、除的運(yùn)算原型

加、減、乘、除在生活中是各有原型的。生活中的所有運(yùn)算可分為兩類：分與合。這兩種運(yùn)算用政治語言來表達(dá)即統(tǒng)一與分裂，用物理語言可以描述為聚與裂，用倫理語言可描述為結(jié)婚與離婚等，用數(shù)學(xué)語言來表述就是加與減。

由部分而為整的，我們稱之為合，即加。由整而為部分的，我們稱之為分，即減。生活中，是先有分還是先有合？若先有合，那部分從何而來？若先有分，那整體又從何而來？因此，分與合可以轉(zhuǎn)化，卻不可從屬。分與合是獨(dú)立而又彼此相通的兩種運(yùn)算。合久必分，分久必合。合就是合，分就是分。

何為合，何為分？學(xué)生在生活中已經(jīng)有了充分的認(rèn)識(shí)，絕不會(huì)混淆。那“比”是“分”，還是“合”呢？

生活中有許多關(guān)于“比”的原型。就“境”而言，“比”應(yīng)該屬于分，即把一個(gè)比較物分為另一比較物與比余部分。

討論完加與減之后，再來討論乘和除，乘、除有原型嗎？

生活中的運(yùn)算分為分與合，這個(gè)世界是秩序井然的，是賦予生命以安全感的，那這種秩序井然與安全感是怎么來的呢？因?yàn)槭澜绲姆峙c合充滿規(guī)律，這種規(guī)律性表現(xiàn)在運(yùn)算上就是等合與等分。

什么是等合？比如，今天合進(jìn)來的一天有24小時(shí)，明天合進(jìn)來的一天也是24小時(shí)，不會(huì)突然變成2小時(shí)。這種等合是世界有序與安全的原因。這種等合原型，生活中比比皆是，將此種原型定義為乘法。

那么等分呢？這種分法當(dāng)然就更普遍了，我們將等分定義為除法。除法首先是獨(dú)立于乘法而存在的一種運(yùn)算，其次是可以與乘法相轉(zhuǎn)化的一種運(yùn)算。如果這一認(rèn)識(shí)成立，那小學(xué)數(shù)學(xué)的運(yùn)算體系可以描

述為：

三、為什么要討論這個(gè)問題

我們?yōu)槭裁匆懻摷印p、乘、除的意義構(gòu)建呢？我們先來分析一個(gè)案例。

小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)教師都有一種糾結(jié)，這個(gè)糾結(jié)來自以下類型的題目。

這幅圖用一個(gè)算式來表示，正確的算式是：

但學(xué)生很喜歡用下列算式來表示：

教師怎么跟學(xué)生講也講不明白，結(jié)果是，現(xiàn)在許多地方在改革的旗幟下變成這樣的題目：

讓學(xué)生填出三個(gè)算式：

5-2=3

5-3=2

2+ 3=5

教師千萬不要小看這種對(duì)題目題意的隨意給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的傷害，造成這種困頓的原因來自我們對(duì)運(yùn)算意義構(gòu)建的不合理。

現(xiàn)在，我們看這幅圖。就圖境而言，是在分還是在合？顯然，所有學(xué)生會(huì)認(rèn)為這是一個(gè)“分”境，飛走兩只天鵝，飛走了，用減法。但就量而言，是兩個(gè)部分，即飛的部分與不飛的部分，這兩部分在同一幅畫中，自然要用加法。

而小學(xué)數(shù)學(xué)加法的運(yùn)算意義正是基于量的判斷而建立起來的，學(xué)生正是用我們所教的意義來認(rèn)識(shí)的。因此，我們教學(xué)中遇到問題，沒有真正認(rèn)識(shí)問題，而是用一種和稀泥的方法掩蓋過去，美其名曰“一題多解”，是一件十分有后患的事情。

四、意義，問題解決的審題抓手

課改之前，我們叫解應(yīng)用題，課改之后，我們叫問題解決。課改之前，我們教學(xué)生解應(yīng)用題，總是先讓學(xué)生熟背數(shù)量關(guān)系式，也叫關(guān)系等式。例如，部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)、大數(shù)–小數(shù)=相差數(shù)。運(yùn)用關(guān)系等式，用綜合法與分析法來解決應(yīng)用題。

（2）班采摘15千克，（3）班采摘20千克，一共采摘多少千克？

分析法：

綜合法：

在課程改革時(shí)，認(rèn)為這樣做比較難，放棄關(guān)系等式，不再使用分析法與綜合法。教師認(rèn)為沒法教，因?yàn)闆]有抓手，于是還是偷偷地用老辦法。

各個(gè)版本的教材在修訂時(shí)，似乎關(guān)系等式又有所出現(xiàn)，但出現(xiàn)得不盡興，教師摸不清是什么意圖，于是又按自己的老方法教學(xué)。

其實(shí)，解決問題不用數(shù)量關(guān)系不要緊，數(shù)量關(guān)系是建筑于相應(yīng)運(yùn)算意義的建構(gòu)之上的，我們不用數(shù)量關(guān)系就要相應(yīng)地改變運(yùn)算意義的建構(gòu)。再舉個(gè)例子，不同的意義建構(gòu)會(huì)帶來不同的審題過程。

兩個(gè)班共采摘35千克，（1）班采摘15千克，問（2）班采摘多少千克？

版本1：讀題，已知總數(shù)和部分?jǐn)?shù)，求另一個(gè)部分?jǐn)?shù)，用減法。

列式：35-15=

版本2：讀題，這是一個(gè)“合”境，用加法。

列式：15+〇=35

這就是兩種不同的意義構(gòu)建帶來的不同審題。

五、結(jié)語

加、減、乘、除是對(duì)生活原型的定義，而問題解決的情境就是一個(gè)理想化的原型。只有運(yùn)算意義符合生活原型時(shí)，它才會(huì)成為問題解決的審題基礎(chǔ)。

（責(zé)任編輯：孫建輝）