二十一世紀(jì)新型數(shù)學(xué)工具“新篩法”

相振全?王龍

摘 要：本文介紹了數(shù)學(xué)史中出現(xiàn)的三種篩法。研究了這三種篩法的數(shù)學(xué)工具性，分析了三種篩法的數(shù)學(xué)思維法式。得出了創(chuàng)新思維主導(dǎo)下的思維法式，能夠得出創(chuàng)新的數(shù)學(xué)方法：一種新型數(shù)學(xué)工具“新篩法”-結(jié)論。

關(guān)鍵詞：二十一世紀(jì)；“新篩法”工具 ；三個層次；新數(shù)學(xué)思想

一帶一路建設(shè)，中華文化的復(fù)興，中國夢的實現(xiàn)是一個全方位的開放政策機遇。在這樣的機遇背景下，弘揚中華傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想繼承發(fā)展中國數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》理論，正是一個絕好的機遇。在困惑迷惘中，在幾千年的“路漫漫兮”探尋數(shù)學(xué)工具中，人們發(fā)現(xiàn)了篩法。

篩法一詞起源于公元前250年左右。篩法是研究和素數(shù)（質(zhì)數(shù)）有關(guān)的數(shù)學(xué)工具。

一、希臘數(shù)學(xué)家Eratrosthenes因提出對一個正整數(shù)N，如果不能被≤ 的任何一正整數(shù)整除，該整數(shù)N必是素數(shù)（質(zhì)數(shù)）的篩選質(zhì)數(shù)（素數(shù)）的方法而得名。這種數(shù)學(xué)方法就是Eratrosthenes篩法?，F(xiàn)在還應(yīng)用在我們的業(yè)務(wù)教育小學(xué)課本中。不難發(fā)現(xiàn)這種篩法是用“≤ 的素數(shù)”去除N.，來判定N是否是素數(shù)的方法。在20 世紀(jì)初期，挪威數(shù)學(xué)家布倫改進(jìn)了Eratosthenes篩法，王元、潘承洞做出了卓越的貢獻(xiàn)，同陳景潤的加權(quán)篩法推動了數(shù)學(xué)史的發(fā)展。但是這種篩法有有其缺陷性，使數(shù)學(xué)家們共同的認(rèn)知。

二、在二十世紀(jì)的1934年，東印度的學(xué)生Sundaram又開辟了一個路徑，他列方格表形式，第一行是首項為4、公差為3的數(shù)列4，7，10， …；同時第一列也是由這一數(shù)列所確定的，這 樣后面的每一行的第一個數(shù)也就確定了.自第 二行起每一行的公差依次是5，7，9，11，…自第 二列起每一行的公差依次是5，7，9，11，…如下表：

從1起，不在表中的數(shù)若是m，那么，2m+1是一個素數(shù)（質(zhì)數(shù)）如1，2，3，…；1×2+1=3（質(zhì)數(shù)），2×2+1=5（質(zhì)數(shù)），3×2+1=7（質(zhì)數(shù)）…。從文對這種篩法的真實性的逆否命題證明過程可以發(fā)現(xiàn)，Sundaram篩法的建立從本質(zhì)上擺脫了Eratrosthenes的數(shù)學(xué)思維模式。具有一定的創(chuàng)新性。也有很大的局限性。其應(yīng)用受到限制。

文指出：“可以相信，在哥德巴赫猜想的研究中，有待于將來出現(xiàn)一個全新的數(shù)學(xué)觀念?！?。文指出：“近代數(shù)學(xué)之所以能夠發(fā)展到今天，主要是靠的是中國數(shù)學(xué)，而非希臘數(shù)學(xué)，決定數(shù)學(xué)歷史進(jìn)程的主要是中國的數(shù)學(xué)而非希臘數(shù)學(xué)?！?/p>

三、“新篩法”是吸收了《九章算術(shù)》）中的篩法元素，形成獨立的篩法體系，創(chuàng)立于二十一世紀(jì)的2006年。出自于文、完善于文?！毒耪滤阈g(shù)》是世界上系統(tǒng)地敘述分?jǐn)?shù)算法的最早著作，遠(yuǎn)在歐洲之前大約一千五百年便建立了成熟的分?jǐn)?shù)理論。在《說文解字》中有“實，富也。以宀從貫；貫，貨，貝也”是說“實”是錢財貨物之總稱，即泛指一切實物。而“法”的涵義起源于西周至秦漢的度量單位。這個“總稱”就是“實”，“實”可以大于“法”；也可以等于“法”；也可以小于“法”?！毒耪滤阈g(shù)》中的分?jǐn)?shù)理論“以法為母，實余為子”，“法實相推”，還原“法與實”。成為“新篩法”形成的重要依據(jù)。中國傳統(tǒng)的籌算法：分?jǐn)?shù)總被還原為一對整數(shù)“法”與“實”進(jìn)行分別運算，從而使在籌算法下進(jìn)行“法實相推”的動態(tài)推演。因而，在形成的新篩法理論中是以：尋找“法”與“實”，還原“法”與“實”為目標(biāo)。在解決問題時，始終把“法實相推”，還原“法”與“實”為工具，創(chuàng)造出三類篩法工具。包含三個層次。其核心定理如下：

第一類新篩法，定理：整數(shù)時，用于篩出素數(shù)n的方法。

第二類新篩法，定理1，.M，是非零整數(shù)，若，有，用于篩出非整數(shù)或素數(shù)的方法。定理2，（M，a，b，c，k均為非零整數(shù)）則：為整數(shù)。用于篩出非整數(shù)或素數(shù)的方法。

第三類新篩法，在將“法實相推”引入到開區(qū)間時，達(dá)到新篩法的第三個層次，也就是開區(qū)間篩法。如開區(qū)間篩法小定理，當(dāng)n≥8時，在開區(qū)間（n，2n）中任意整數(shù)滿足篩法式：又如開區(qū)間篩法大定理，當(dāng)實數(shù)x≥12時，在開區(qū)間（）中任意奇數(shù)滿足篩法式：這兩個定理用于數(shù)與數(shù)之間存在素數(shù)的證明；用于所有和素數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的證明。這種新篩法應(yīng)用十分廣泛。可以證明很多和整數(shù)法相關(guān)的猜想，在文中得以充分體現(xiàn)。因為文包含了，建立新篩法和等價篩法及篩法輔助定理和已經(jīng)證明的很多猜想；大約有引理，定理170個，因為以它新奇的創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想；因為以它嚴(yán)密的數(shù)理邏輯貫穿在文之中，它已經(jīng)榮獲了西安市教育局頒發(fā)的基礎(chǔ)教育成果一等獎，榮獲了陜西省教育廳頒發(fā)的全省基礎(chǔ)教育優(yōu)秀成果一等獎；榮獲了中國國家基礎(chǔ)教育研究中心總課題組頒發(fā)成果的一等獎。從新篩法的形成過程，可以發(fā)現(xiàn)“新篩法”是“擺脫了Eratrosthenes的思維模式，創(chuàng)造性的用“法實相推”還原“法與實”的數(shù)學(xué)思想，尋找“[x]！實”中是否存在“法n或ai”這個真因數(shù)來判定n或ai是否是素數(shù)的數(shù)學(xué)思想。它是二十一世紀(jì)新型的數(shù)學(xué)“工具”。它結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法、同余性質(zhì)、階乘定理、法實相推，還原法實等方法，在應(yīng)用的篩法是以解析方程形式出現(xiàn)，結(jié)合“法實相推”的動態(tài)推演，可以形成所需要的方程，解決問題十分簡單。這個過程真正進(jìn)入了一個“法實相推”繽紛的數(shù)學(xué)世界。

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[4]相振泉.新篩法導(dǎo)論[M].陜西：陜西人民出版社，2006：140—150.

[5]相振泉.新篩法導(dǎo)論[M].陜西：陜西人民出版社，2016：130—300.

作者簡介：相振全，男，陜西西安人。

王龍，陜西西安人，西安市第六十八中學(xué)高級教師。