擬動(dòng)力試驗(yàn)預(yù)測(cè)校正積分方法FOM改進(jìn)及其算例分析

1.廣州市道路養(yǎng)護(hù)中心東城養(yǎng)護(hù)所 廣州 510520；2.深圳市政設(shè)計(jì)研究院軌道院 深圳 518000

摘要：子結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)中可以采用預(yù)測(cè)-校正積分方法（PCM）進(jìn)行積分計(jì)算。在試驗(yàn)中，當(dāng)試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性階段之后，若繼續(xù)采用該方法將會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差。本文根據(jù)多自由度子結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)的方法的特點(diǎn)，引入一種全算子算法（FOM）對(duì)擬動(dòng)力試驗(yàn)的積分方法進(jìn)行改進(jìn)，最后結(jié)合算例檢驗(yàn)該積分方法的有效性。

關(guān)鍵詞：擬動(dòng)力試驗(yàn)；多自由度；彈塑性分析；積分算法

Abstract：Predicted-Corrected Method（PCM）is usually used for integration of the sub-structural pseudo-dynamic testing.It would achieve less accuracy results，when the testing structure comes into elastic-plastic stage.According to the characteristic of the multiple freedoms sub-structural pseudo-dynamic testing，the author introduce the Full Operator Method（FOM）to improve the integration of the test，and then analysis the efficiency of the FOM by a dynamic testing example.

Keywords：Pseudo-dynamic Test，Multiple freedoms，Elastic-plastic Analysis，Integration Method

1引言

擬動(dòng)力方法在建筑及橋梁結(jié)構(gòu)抗震試驗(yàn)中得到廣泛應(yīng)用，這種試驗(yàn)方法可以將待求的結(jié)構(gòu)分解成一個(gè)或者幾個(gè)部分，從而實(shí)現(xiàn)“化整為零”，將一個(gè)較大型的試驗(yàn)分為若干個(gè)試驗(yàn)來進(jìn)行[1，2]。作為一種聯(lián)機(jī)加載試驗(yàn)，積分方法在擬動(dòng)力試驗(yàn)中是一個(gè)很重要的部分，特別是結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性試驗(yàn)階段后，試驗(yàn)的每一步進(jìn)行加載的指令是由計(jì)算機(jī)積分計(jì)算求解而得的，積分方法的使用情況有關(guān)系到試驗(yàn)的成敗[3]。本文根據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性階段剛度后結(jié)構(gòu)剛度逐步改變的特點(diǎn)，結(jié)合Predicted-Corrected Method（PCM）算法在試驗(yàn)中的應(yīng)用，引入一種基于BFGS優(yōu)化算法[4]（擬牛頓方法的一種）演化而來的全算子算法（Full Operator Method，F(xiàn)OM），并以此為基礎(chǔ)對(duì)子結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)彈塑性階段的積分計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn)，以達(dá)到更好的試驗(yàn)精度。最后，采用計(jì)算實(shí)例進(jìn)行算例對(duì)比，檢驗(yàn)此改進(jìn)方法的有效性。

2 FOM算法的提出和應(yīng)用

2.1 傳統(tǒng)的PCM方法的特點(diǎn)

PCM方法是較為廣泛地應(yīng)用于子結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)，是混合模擬地震對(duì)整體結(jié)構(gòu)的作用的積分方法。該方法有一個(gè)很重要的特點(diǎn)就是有效將結(jié)構(gòu)的切線剛度轉(zhuǎn)化為顯式表示的恢復(fù)力向量，即由初始剛度矩陣來代替；因?yàn)榍芯€剛度在試驗(yàn)過程中進(jìn)行估計(jì)通常是比較困難的。

PCM積分方法可以表示為

（1）

預(yù)測(cè)階段

（2）

（3）

修正階段

（4）

（5）

從以上各式的推演過程可以看出PCM方法是由第i時(shí)步的結(jié)構(gòu)試驗(yàn)反應(yīng)值來計(jì)算得到i+1時(shí)步的預(yù)測(cè)值開始，將預(yù)測(cè)值位移加載到試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)中，從而得到對(duì)應(yīng)的恢復(fù)力測(cè)量值，然后測(cè)得的恢復(fù)力和系統(tǒng)的初始剛度矩陣等信息來計(jì)算求得i+1時(shí)步的加速度，進(jìn)而由校正部分的計(jì)算公式由值計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)值，不斷重復(fù)以上計(jì)算過程，則可得到整個(gè)時(shí)程的結(jié)構(gòu)反應(yīng)。

PCM方法在結(jié)構(gòu)初始剛度大于切線剛度的情況下，這樣在整個(gè)試驗(yàn)的計(jì)算過程中是無條件穩(wěn)定的；然而當(dāng)該方法應(yīng)用于剛度硬化效應(yīng)明顯的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，則變成條件穩(wěn)定的方法。當(dāng)結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性階段之后，PCM方法中由初始剛度來代替切線剛度的假設(shè)將會(huì)不成立[5，6]，在此情況下所得到的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)值的精度將會(huì)降低，而且積分計(jì)算在某些部分出現(xiàn)較大誤差后，對(duì)接下來的結(jié)構(gòu)相應(yīng)影響比較大，抗干擾性比較差。

2.2 FOM方法的計(jì)算原理

從上節(jié)的討論中可知，傳統(tǒng)的PCM方法在用于計(jì)算結(jié)構(gòu)非線性特征方面受到一定的限制，對(duì)此情況Hung和El-Tawil[7]提出了一種估計(jì)結(jié)構(gòu)切線剛度的方法，該方法是基于擬動(dòng)力試驗(yàn)中，結(jié)構(gòu)模型的切線剛度在積分過程中不會(huì)明顯改變這一特點(diǎn)，從而得到多自由度體系的整個(gè)切線剛度矩陣。通過應(yīng)用結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣，結(jié)構(gòu)非線性問題可以不用進(jìn)行迭代計(jì)算而得到更為精確的解。

最終要找到一種方法，不僅可以有效得到結(jié)構(gòu)的切線剛度，而且具有良好的自我修正能力，即當(dāng)出現(xiàn)不太精確的估計(jì)切線剛度情況時(shí)，該方法能抑制計(jì)算結(jié)果誤差。采用的FOM方法能滿足以上兩個(gè)要求，該方法中所涉及到的估計(jì)切線剛度的計(jì)算過程在下一節(jié)進(jìn)行闡述。

2.3 FOM方法在子結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)的應(yīng)用

當(dāng)使用FOM方法對(duì)PCM方法進(jìn)行改進(jìn)之后，預(yù)測(cè)階段的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

（6）

由Newmark顯式積分方法[8]的假設(shè)可知，若求得則可以求得對(duì)應(yīng)時(shí)刻的

（7）

（8）

因此，加載位移所得到的i+1時(shí)步的恢復(fù)力向量可以近似表示為

（9）

式（9）中的表示i+1時(shí)步的估計(jì)結(jié)構(gòu)切線剛度，具體推導(dǎo)過程見后文。

將式（7）～（9）代入式（6）中，式中僅有未知數(shù)向量，可表示為

（10）

（11）

（12）

式中，表示預(yù)測(cè)階段的等效質(zhì)量矩陣；為阻尼矩陣，本文采用與質(zhì)量M和剛度矩陣相關(guān)的瑞利阻尼；為等效作用力向量，為i+1時(shí)刻的地震作用激振力。正如（9）表達(dá)式一樣，i+1時(shí)刻的恢復(fù)力向量可以表示為

（13）

由式（9）與上式進(jìn)行對(duì)比，可以得到真實(shí)恢復(fù)力向量與預(yù)測(cè)恢復(fù)力向量的差值為

（14）

等式（14）中包含時(shí)間增量的高階次冪，且結(jié)果為加速度的差值，因此可以認(rèn)為兩個(gè)恢復(fù)力向量之間的差值可以忽略不計(jì)，即

（15）

式（15）中引入這種假設(shè)有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是，當(dāng)修正階段引入切線剛度時(shí)，可以避免積分求解變得不穩(wěn)定，將式（4）（5）和（15）代入式（1）中可得修正階段公式

（16）

（17）

（18）

修正階段的阻尼矩陣與預(yù)測(cè)階段一致，即；修正階段的與則不一樣，計(jì)算與估計(jì)切線剛度矩陣不相關(guān)，而是由試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)測(cè)量的恢復(fù)力向量計(jì)算而得。

2.4 FOM方法用于混合模擬計(jì)算流程圖

圖 1 FOM 方法計(jì)算流程圖

Fig 1 The flow chart for FOM algorithm

3 切線剛度的推導(dǎo)

在擬動(dòng)力試驗(yàn)進(jìn)行過程中，由于作動(dòng)器加載的進(jìn)行非常緩慢，整體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)能可以忽略不計(jì)。對(duì)于任意時(shí)刻，設(shè)結(jié)構(gòu)位移為X向量，則結(jié)構(gòu)體系的勢(shì)能可以表示為，非保守力作的功為，由Hamilton原理可以得到以下等式

V=W，即（19）

因此，可以構(gòu)造以下函數(shù)

（20）

上式中，括號(hào)內(nèi)的數(shù)表示兩者的內(nèi)積，令在附近進(jìn)行Taylor展開，其中代表第i時(shí)步的子結(jié)構(gòu)位移向量

（21）

其導(dǎo)數(shù)為

（22）

要使達(dá)到極小值，則，即

（23）

由于，，令則式（23）可以轉(zhuǎn)化為

（24）

對(duì)于此類非限定性非線性問題，可以采用擬牛頓法進(jìn)行優(yōu)化求解[9，10]，將采用求解效率較高的BFGS方法的原理，利用以下公式可以求得各個(gè)時(shí)步的切線剛度

（25）

式中，表示試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)估計(jì)切線剛度矩陣，，。

4 FOM改進(jìn)方法及算例分析

4.1 FOM方法計(jì)算效率

為了考察FOM方法的積分計(jì)算性能，本節(jié)擬采用一個(gè)簡單的兩個(gè)自由度的模型，模擬結(jié)構(gòu)在簡諧振動(dòng)作用下的彈性分析，假設(shè)外部作用的加速度定為；同時(shí)為了考察該算法的抗干擾性，假設(shè)預(yù)測(cè)部分估計(jì)得到的切線剛度不準(zhǔn)確，即，其中為估計(jì)切線剛度，為真實(shí)切線剛度，為人為干擾系數(shù)，引入這個(gè)參數(shù)是為了檢驗(yàn)FOM方法在估計(jì)切線剛度不準(zhǔn)確的情況下計(jì)算偏差情況。計(jì)算結(jié)構(gòu)的基本信息如圖所示。

圖 2 兩個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)模型信息

Fig 2 The information of double degrees of model

圖 3 考察修正部分對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響流程

Fig 3 Procedure for investigation of the corrector step on simulated result

整個(gè)模擬計(jì)算過程如圖2所示，由估計(jì)切線剛度經(jīng)預(yù)測(cè)部分計(jì)算得到預(yù)測(cè)位移并加載于實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，得到結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的真實(shí)反應(yīng)值，再由結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力值經(jīng)修正部分得到結(jié)構(gòu)最終的結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)。考慮到不同的結(jié)構(gòu)類型動(dòng)力特性不同的影響，設(shè)定兩種阻尼比和進(jìn)行分析；同時(shí)對(duì)于FOM方法有修正部分和無修正部分的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在計(jì)算過程中統(tǒng)一取，積分計(jì)算參數(shù)取，。相關(guān)的計(jì)算結(jié)果如圖4、圖5所示

a）

b）

圖 4 在結(jié)構(gòu)阻尼比不同的剛度比的結(jié)構(gòu)反應(yīng)對(duì)比

a），b）

Fig 4 Model response with structural damping using different stiffness ratio：a）and b）

由圖4（a）可以看出FOM方法在干擾系數(shù)且低阻尼比的情況下，不論是否含有修正部分與參考的理論值曲線都能很好地吻合，無修正部分的方法在8.5s后才出現(xiàn)一些偏差，偏差最大值為8%左右。在圖4（b）可以看出，在結(jié)構(gòu)硬化效應(yīng)明顯的情況下FOM同樣能得到很好的計(jì)算結(jié)果，但是在無修正部分的算法所得到的結(jié)果與參考的解析值出現(xiàn)明顯的偏離。由此可知在硬化效應(yīng)明顯的情況下，計(jì)算方法中的修正部分是必要的。

對(duì)比圖5（a）與圖4（a）可得，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比上升之后，一般的FOM方法能很好地適用與此類情況；然而在該算法中不含修正步驟時(shí)，計(jì)算結(jié)果的精度大大降低，由此可知，F(xiàn)OM方法對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)阻尼也有良好的適應(yīng)能力。由圖5（b）對(duì)比圖5（a）可知，隨著結(jié)構(gòu)硬化效應(yīng)的提高，無修正部分的FOM方法的計(jì)算誤差也越來越高。