反應(yīng)流體的移動(dòng)網(wǎng)格動(dòng)理學(xué)格式

甄亞欣, 倪國(guó)喜（.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,計(jì)算物理實(shí)驗(yàn)室,北京 00088；2.華北電力大學(xué),數(shù)理系,北京 02206）

反應(yīng)流體的移動(dòng)網(wǎng)格動(dòng)理學(xué)格式

甄亞欣1,2, 倪國(guó)喜1
（1.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,計(jì)算物理實(shí)驗(yàn)室,北京 100088；2.華北電力大學(xué),數(shù)理系,北京 102206）

在移動(dòng)網(wǎng)格上構(gòu)造一種反應(yīng)流的動(dòng)理學(xué)格式.首先利用BGK模型推導(dǎo)含化學(xué)反應(yīng)的流體力學(xué)方程組,并利用其積分形式構(gòu)造移動(dòng)網(wǎng)格上離散格式,再利用自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法得到網(wǎng)格速度,最后利用時(shí)間精確的動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法構(gòu)造數(shù)值通量,得到移動(dòng)網(wǎng)格單元上新的物理量.一維與二維的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明這種格式同時(shí)具有高精度、高分辨率的特點(diǎn).

反應(yīng)流體力學(xué)方程；動(dòng)理學(xué)格式；自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法

0 引言

含化學(xué)反應(yīng)的流體動(dòng)力學(xué)研究是爆轟流體力學(xué)的最重要部分,爆轟流體力學(xué)是伴隨化學(xué)反應(yīng)的強(qiáng)沖擊波的傳播過(guò)程,人們對(duì)其理論研究與相關(guān)的數(shù)值模擬的研究有較長(zhǎng)的歷史[1].早在1899年,Chapman及Jouguet等對(duì)爆轟現(xiàn)象作了簡(jiǎn)單的一維理論描述,形成所謂C-J理論[2－3],該理論是借助氣體動(dòng)力學(xué)原理而闡釋的.之后,Zel'dovich、Neumann與D?ring各自獨(dú)立對(duì)C-J理論的假設(shè)和論證作了改進(jìn),提出所謂的ZND理論[4－6],它比C-J理論更接近實(shí)際情況,上述兩種理論被稱(chēng)為爆轟波的經(jīng)典理論,它們都是一維理論.二十世紀(jì)50年代,通過(guò)實(shí)驗(yàn)的詳細(xì)觀察,發(fā)現(xiàn)爆轟波波陣面包含復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)被解釋為入射波,反射波和馬赫波構(gòu)成的三波結(jié)構(gòu).到二十世紀(jì)50－60年代,人們進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究,實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：反應(yīng)區(qū)末端狀態(tài)參數(shù)落在弱解附近,而不是C-J參數(shù),說(shuō)明實(shí)際爆轟比C-J理論和ZND模型更為復(fù)雜.之后,Kirwood和Wood[7]推廣了一維定常反應(yīng)理論,指出定常爆轟具有弱解的可能性將隨著流體的復(fù)雜性增加而增加.弱解模型為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與一維理論的偏離作出了一種理論解釋.從二十世紀(jì)60年代開(kāi)始, Erpenbeck[8]提出了爆轟的線性穩(wěn)定性理論,對(duì)一維爆轟定常解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.后來(lái)又有人提出“方波”穩(wěn)定性理論.由于實(shí)驗(yàn)測(cè)量技術(shù)和數(shù)值模擬工具的限制,以及固有的復(fù)雜性,研究工作有一些進(jìn)展,但還存在許多困難和問(wèn)題.

隨著計(jì)算方法與計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,爆轟流體力學(xué)數(shù)值模擬方法取得了很大的進(jìn)步[9],目前最常用的有歐拉方法與拉氏方法.歐拉方法對(duì)應(yīng)流體力學(xué)方程的Euler形式,網(wǎng)格固定不動(dòng),除了考慮由源項(xiàng)引起的變化,還必須考慮通過(guò)網(wǎng)格的物理量輸運(yùn).然而歐拉方法在模擬多介質(zhì)流動(dòng)時(shí)會(huì)遇到許多問(wèn)題,多介質(zhì)流動(dòng)問(wèn)題模擬的關(guān)鍵之一是要確定物質(zhì)界面和自由面,對(duì)于多介質(zhì)界面追蹤已經(jīng)發(fā)展了一些有效的方法,如Hirt和Nichols[10]提出的體積份額法,Glimm[11]等提出的波陣面追蹤法.這些方法在保持守恒性與克服震蕩等方面還存在一些問(wèn)題.拉氏方法對(duì)應(yīng)流體力學(xué)方程的拉格朗日形式,由于不含輸運(yùn)項(xiàng),拉氏方法計(jì)算公式簡(jiǎn)單,網(wǎng)格隨流體運(yùn)動(dòng),數(shù)值耗散小,界面清晰.拉氏方法可以分為兩種形式,一種是交錯(cuò)網(wǎng)格型,另一種是以Godunov方法為基礎(chǔ)的單元中心型.與交錯(cuò)網(wǎng)格方法不同,單元中心型的所有物理量定義在網(wǎng)格中心,它的優(yōu)點(diǎn)是可以給出較為精確的壓力與邊界條件,可以保持能量守恒,該方法的不足之處是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的拉氏速度由某種插值或者優(yōu)化的形式獲得,從而導(dǎo)致該方法的非物理變形.為抑制網(wǎng)格的扭曲變形,可以在拉氏計(jì)算中加入網(wǎng)格重分以提高算法的抗變形能力,Hirt和Nichols[12]所開(kāi)創(chuàng)的ALE方法就是基于這一思想發(fā)展起來(lái)的,利用ALE方法模擬多介質(zhì)流動(dòng)日益受到重視,但守恒性、相容性等問(wèn)題還沒(méi)能很好的解決.

移動(dòng)網(wǎng)格方法是與ALE方法比較接近的一種數(shù)值方法,Azarenok和Tang[13]發(fā)展了基于守恒插值的移動(dòng)網(wǎng)格方法,它部分克服了ALE方法所遇到的困難,另一種移動(dòng)網(wǎng)格方法由Harten等[14]開(kāi)創(chuàng),它在時(shí)空多面體上運(yùn)用有限體積方法,避免了顯式的重映,后被發(fā)展到高維空間,并用于化學(xué)反應(yīng)流的數(shù)值模擬,但離散格式復(fù)雜,在高維時(shí)很難把握數(shù)值精度.結(jié)合動(dòng)理學(xué)方法,Ni等[15]進(jìn)一步發(fā)展了移動(dòng)網(wǎng)格方法.動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法是目前流體力學(xué)數(shù)值模擬中的一種重要的方法,它從微觀層次獲取宏觀的數(shù)值通量,與通常的數(shù)值方法相比較,有更多的物理內(nèi)涵,因而可以提供更多的信息,其時(shí)間積分是精確的.動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法的基本思想是利用流體的微觀描述與宏觀描述的等價(jià)性,宏觀Euler方程與Navier-Stokes方程可以利用Boltzmann方程得到[16].利用其簡(jiǎn)化模型,Deshpande和Mandal等[17－18]發(fā)展了一種動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法,他們將Courant-Isaacson-Reeves迎風(fēng)算法用于無(wú)碰撞的Boltzmann方程,得到動(dòng)力學(xué)通量向量分裂法（即KFVS方法）.之后基于Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）模型的動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法也迅速發(fā)展起來(lái)[19－21].Xu和Lian在這一方面發(fā)展了一套比較系統(tǒng)的方法,并用于多介質(zhì)與稀薄流等問(wèn)題的數(shù)值模擬[22－24].基于動(dòng)理學(xué)移動(dòng)網(wǎng)格方法是一種無(wú)重映移動(dòng)網(wǎng)格方法,它避開(kāi)了傳統(tǒng)的移動(dòng)網(wǎng)格方法中物理量重映帶來(lái)的誤差.

本文從動(dòng)理學(xué)BGK模型出發(fā),利用經(jīng)典的Chapman-Enskog展開(kāi),導(dǎo)出含化學(xué)反應(yīng)的流體力學(xué)方程,在動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法的基礎(chǔ)上,結(jié)合移動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)構(gòu)造了含化學(xué)反應(yīng)的流體力學(xué)動(dòng)理學(xué)格式.

1 移動(dòng)網(wǎng)格反應(yīng)流體力學(xué)的動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法

本節(jié)從修正的BGK模型出發(fā),利用Chapman-Enskog展開(kāi),推導(dǎo)反應(yīng)流體力學(xué)方程組,利用其積分形式,給出在運(yùn)動(dòng)標(biāo)架下的離散形式,再結(jié)合移動(dòng)網(wǎng)格方法,確定網(wǎng)格移動(dòng)速度,實(shí)現(xiàn)物理量的更新.

1.1 反應(yīng)流體力學(xué)方程組的BGK模型

以修正的二維的BGK模型為例,推導(dǎo)反應(yīng)流體力學(xué)方程組,二維BGK方程為

其中f是微觀粒子的分布函數(shù),g是逼近f的平衡態(tài)分布函數(shù),（u,v）是微觀粒子的運(yùn)動(dòng)速度,在包含多組分時(shí),f與g可表示為

其中z為組分參量,在描述單介質(zhì)的流體時(shí),f與g一般表示為

它們與z無(wú)關(guān),這里增加一個(gè)自由度后,就可以從BGK模型方程得到擴(kuò)展的含化學(xué)反應(yīng)的流體力學(xué)方程.相應(yīng)地,多組分的平衡態(tài)分布有

這里λ＝m/（2kT）,m是微觀粒子的質(zhì)量,k是Boltzamn常數(shù),T是宏觀溫度,自由度K＝（5－3γ）/（γ－1）＋1,ξ2＝

宏觀物理量與微觀的分布函數(shù)的關(guān)系為

其中dΞ ＝d u d v d z dξ,dξ＝dξ1dξ2…dξK,Ψ ＝（ψ1,ψ2,ψ3,ψ4,ψ5）＝（1,u,v,z,（u2＋v2＋ξ2）/2）.

由流體質(zhì)量、動(dòng)量、能量的守恒性,得到守恒約束條件

從BGK模型方程得到反應(yīng)流體力學(xué)方程,同樣可以利用Chapman-Enskog展開(kāi),零階的Chapman-Enskog展開(kāi)式f＝g,代入方程（1）,作矩得

其中Ψ ＝[1,u,v,z,（u2＋v2＋ξ2）/2],寫(xiě)成分量形式可得多組分的流體的Euler方程

其中總能量E＝ρ[U2＋V2＋（K＋2）/（2λ）]/2,壓力P＝ρ/（2λ）.

若考慮化學(xué)反應(yīng),這時(shí)p＝p（ρ,e,z）,其中的z為組分變量,參數(shù)z由化學(xué)反應(yīng)率方程確定

不同的化學(xué)反應(yīng)類(lèi)型有不同類(lèi)型的表式,對(duì)理想流體的化學(xué)反應(yīng),一般取指數(shù)形式的Arrhenius反應(yīng)率

對(duì)于給定化學(xué)反應(yīng)率的流體,與方程（2）對(duì)應(yīng)的包含化學(xué)反應(yīng)的流體力學(xué)方程為

其中Q為化學(xué)反應(yīng)的熱能.

1.2 移動(dòng)網(wǎng)格上的離散格式

對(duì)于含化學(xué)反應(yīng)的無(wú)粘的可壓縮的流體力學(xué)方程,為構(gòu)造移動(dòng)網(wǎng)格上的動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法,考慮運(yùn)動(dòng)控制體Ω（t）,設(shè)其邊界速度為Ug,則在Ω（t）上與方程組（3）對(duì)應(yīng)的的積分形式可表示為

其中S（t）是控制體Ω（t）的邊界,n是邊界單位外法向,ρ,p,E和U＝（U,V）分別為流體的密度,壓強(qiáng),比總能和速度.記e＝E－U2/2為比內(nèi)能.當(dāng)Ug＝0,方程組（4）是歐拉坐標(biāo)的積分形式.當(dāng)Ug＝U時(shí),則為拉氏坐標(biāo)的積分形式.

其中（·）Ω為Ω上的均值,

這里Fρ,ei,,Fρz,ei分別為通過(guò)邊界ei的質(zhì)量通量、動(dòng)量通量和能量通量.

為得到分量形式的離散方程,將邊界速度分解為法向與切向速度分量,記邊界ei法向方向?yàn)閚＝（cosα, sinα）,速度為U＝（U,V）,則法向速度′和切向速度分量為

則可將離散方程組（5）寫(xiě)為

其中

方程組（6）是移動(dòng)網(wǎng)格下有限體積半離散格式.定義不同時(shí)刻的控制體Ω′＝Ω（tn＋1）和Ω＝Ω（tn）,控制體上質(zhì)量、動(dòng)量和能量的質(zhì)量平均值定義為

對(duì)半離散形式（6）,由于動(dòng)理學(xué)通量是時(shí)間的顯函數(shù),從時(shí)間步tn到tn＋1積分,得到方程組（6）的全離散格式,時(shí)間離散是精確的.

1.3 動(dòng)理學(xué)數(shù)值通量

在這一節(jié),將利用方程（1）解的表達(dá)式構(gòu)造數(shù)值通量,對(duì)于方向分裂格式,數(shù)值通量歸結(jié)為一維的情形,與方程（1）對(duì)應(yīng)的一維的BGK方程的解可表示為

其中x′＝x－u（t－t′）.有了邊界的分布函數(shù),就能得到邊界的數(shù)值通量,這樣只需在邊界點(diǎn)構(gòu)造非平衡的初始分布f0與平衡分布函數(shù)g.

對(duì)非平衡的初始分布f0,不失一般性可設(shè)邊界點(diǎn)xj＋1/2＝0,令

這里al,r,Al,r進(jìn)一步可展開(kāi)為

對(duì)于平衡態(tài)g,不妨設(shè)它為（x＝0,t＝0）附近的平衡態(tài),可構(gòu)造為

同樣,

利用文獻(xiàn)[19]中類(lèi)似方法可計(jì)算出所有的系數(shù).

將上述得到的非平衡的初始分布f0與平衡態(tài)分布g代入解的表達(dá)式（7）,進(jìn)行簡(jiǎn)單的積分運(yùn)算可得

這樣可以積分得到邊界通量,

按邊界法向與切向方向投影,再代入式（6）就可更新單元上的物理量.

1.4 網(wǎng)格移動(dòng)速度

得到邊界通量后,剩下就是要確定網(wǎng)格速度,為得到網(wǎng)格移動(dòng)速度,只需要得到網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的新時(shí)刻的位置,利用

就可得到節(jié)點(diǎn)速度,其中Xn＋1和Xn分別為新舊網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),Δt是時(shí)間步長(zhǎng),利用線性關(guān)系就得到邊界上各點(diǎn)的速度分布.

新時(shí)刻網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置利用變分原理得到,假設(shè)x＝x（ξ）是計(jì)算域到物理域的坐標(biāo)映射,ξ＝ξ（x）是逆映射.定義計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格能量泛函為

其中d是空間維數(shù),Gk是給定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),這里取為Gk＝w I,其中I是單位矩陣,w是非負(fù)加權(quán)函數(shù).能量泛函（8）對(duì)應(yīng)的歐拉－拉格朗日方程為

利用有限體積方法可得到網(wǎng)格移動(dòng)方程的離散格式,參見(jiàn)文獻(xiàn)[22],對(duì)二維的網(wǎng)格方程,權(quán)函數(shù)w取值為

其中熵s＝p/ργ,uξ為相應(yīng)單元的物理量,α1和α2是可調(diào)非負(fù)參數(shù).

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

含化學(xué)反應(yīng)的流體動(dòng)力學(xué)行為比較復(fù)雜,實(shí)驗(yàn)結(jié)果很少,這里利用上節(jié)構(gòu)造的數(shù)值方法給出幾個(gè)典型算例的數(shù)值模擬結(jié)果.

一維反應(yīng)流體數(shù)值實(shí)驗(yàn)

這是一個(gè)穩(wěn)態(tài)的含化學(xué)反應(yīng)的流體力學(xué)問(wèn)題,激波前的狀態(tài)為

反應(yīng)率中的參數(shù)分別為：Ea＝14.0,Q＝14.0,γ＝1.4.波后狀態(tài)利用下列公式計(jì)算[1],

圖1 密度的數(shù)值模擬結(jié)果與精確解Fig.1 Density comparison between exact solution （bold line）and numerical solution（circle）

圖2 壓力的數(shù)值模擬結(jié)果與精確解Fig.2 Pressure comparison between exact solution and numerical solution

圖3 質(zhì)量分?jǐn)?shù)的數(shù)值結(jié)果（未反應(yīng)區(qū)的值為1.0,反應(yīng)完成區(qū)為0.0.）Fig.3 Mass fraction distribution between 1.0 and 0.0

其中v＝1/ρ,可得C-J狀態(tài)的值

Von Newmann狀態(tài)的值由公式

得到ρvn＝4.852 1,pvn＝24.512.其中

計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0,4],網(wǎng)格數(shù)為800,圖1－2分別給出了密度與壓力的數(shù)值結(jié)果與解析值的比較.圖3為同一時(shí)刻的質(zhì)量分?jǐn)?shù)的數(shù)值結(jié)果,它表明這種數(shù)值格式有很高的分辨率.

二維反應(yīng)流體的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

這是非穩(wěn)態(tài)的數(shù)值算例,計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0,4.0]×[0,1.0],網(wǎng)格數(shù)為480×120,沖擊波由左至右傳播,波前狀態(tài)為ρ＝1.0.p＝1.0,u＝0.0.沖擊波波速為s＝5.441 9,波后狀態(tài)可以利用式（9）與（10）得到, y方向按正弦曲線作擾動(dòng),如圖4為初始分布,圖5為密度等值線圖,圖6則是相應(yīng)時(shí)刻的局部網(wǎng)格分布.

圖4 二維初始分布（左右兩側(cè)均為分片常數(shù),y方向?yàn)閮芍芷诘恼覕_動(dòng).）Fig.4 Initial distribution with piecewise constants

圖5 密度等值線分布Fig.5 Distribution of density contours

圖6 局部網(wǎng)格分布（顯示的網(wǎng)格數(shù)為實(shí)際數(shù)量的1/10.）Fig.6 Localmesh distributions（1/10 meshes are shown.）

3 結(jié)論

利用BGK模型推導(dǎo)了含化學(xué)反應(yīng)的流體力學(xué)方程組,構(gòu)造了移動(dòng)網(wǎng)格上離散格式,利用自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法得到網(wǎng)格速度,由動(dòng)理學(xué)數(shù)值方法構(gòu)造數(shù)值通量,這樣得到了移動(dòng)網(wǎng)格單元上新的物理量.一維與二維的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明這種格式同時(shí)具有高精度、高分辨率的特點(diǎn).這種方法可以推廣到一般狀態(tài)方程的反應(yīng)流體力學(xué)方程組.

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Adaptive M oving M esh K inetic Scheme for Reactive Fluids

ZHEN Yaxin1,2, NIGuoxi1
（1.LCP,Institute of Applied Physics and Computational Mathematics,Beijing 100088,China；
2.School ofMathematics and Physics,North China Electric Power University,Beijing 102206,China）

We concern extension of gas-kinetic scheme of BGK type to reactive fluids,and develop an adaptivemovingmeshes BGK scheme（AMMBGK）.We derive systems from amass fraction BGK model for detonation fluids,including both inviscid and viscous reactive flow systems.Then,based on a BGK type scheme and splitting method that splits system into fluid part and part of energy released from reaction process,we presentamass fraction BGK scheme onmovingmeshes for reactive flows.Numerical results validate availability of the gas-kinetic scheme in simulation of reactive fluids.

reactive fluids；mass fraction BGK model；gas kinetic scheme；adaptivemovingmeshes

1001-246X（2015）06-0677-08

O351

A

2014－11－04；

2015－02－02

國(guó)家自然科學(xué)基金（91130020,11402087）,國(guó)防基礎(chǔ)科研計(jì)劃（B1520133015）及計(jì)算物理實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目

甄亞欣（1983－）,女,博士,講師,從事計(jì)算流體力學(xué)方法研究,E-mail：yasine_zhen＠163.com