航空器蒙皮維修圓補(bǔ)片小撓度彎曲力學(xué)分析?

董艇艦，陳 瑾，丁華鵬

（中國民航大學(xué) 工程技術(shù)訓(xùn)練中心，天津 300300）

0 引言

半硬殼航空器是由桿件、桁條和隔框構(gòu)成骨架，外覆蒙皮承受氣動(dòng)載荷。由于航空器各部分受力情況復(fù)雜，不同區(qū)域維修方法各不相同，蒙皮維修是航空器結(jié)構(gòu)修理的主要任務(wù)。目前基本按照SRM（Structure Repair Manual）結(jié)構(gòu)修理手冊提供的通用計(jì)算公式設(shè)計(jì)蒙皮。經(jīng)驗(yàn)公式法依據(jù)受損材料的體積、遠(yuǎn)超出極限強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)假想強(qiáng)度和工作強(qiáng)度的比例關(guān)系，估測需要的加固點(diǎn)數(shù)，即鉚釘數(shù)，推測出補(bǔ)片的尺寸。經(jīng)驗(yàn)公式算法擴(kuò)大了補(bǔ)片的結(jié)構(gòu)尺寸，增加了維修工作量和成本，同時(shí)擴(kuò)大了鉚接面積，顯然該方法不是精確的力學(xué)方案，而是采用大冗余度保證安全的簡化維修方案。該方法增加了維修工作量和成本，由于大面積的鉚接，還影響了機(jī)體的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，特別是機(jī)體結(jié)構(gòu)受限的尺寸空間，會(huì)導(dǎo)致普通維修無法進(jìn)行，影響航空器運(yùn)營［1］。本文運(yùn)用廣義內(nèi)力素分析方法［2］，通過精確力學(xué)［3］計(jì)算確定圓補(bǔ)片小撓度彎曲構(gòu)型，量化制定補(bǔ)片的尺寸參數(shù)、工藝參數(shù)和力學(xué)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)補(bǔ)片的數(shù)字化優(yōu)化設(shè)計(jì)和制作。

1 廣義內(nèi)力素薄板［4］模型

蒙皮維修的圓形補(bǔ)片面積一般較小，曲率很小，可看作平板［5］（此處限于小曲度區(qū)域）。本模型設(shè)定載荷垂直于板面，則補(bǔ)片為二維結(jié)構(gòu)彈性板，可產(chǎn)生拉壓、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，按薄板殼理論建立的蒙皮補(bǔ)片單元模型如圖1、圖2所示。按照廣義內(nèi)力素性質(zhì)，在坐標(biāo)系中設(shè)T1和T2為面內(nèi)拉力，T12和T21為面內(nèi)切力，Q1和Q2為橫剪力，均為中面單位長度上作用的力；M1和M2為彎矩，M12和M21為扭矩，均為中面單位長度上作用的力矩。

圖1 蒙皮補(bǔ)片單元受力模型

圖2 蒙皮補(bǔ)片單元受彎矩模型

設(shè)板厚為2h，當(dāng)板橫面上作用平行于中面的正應(yīng)力σ1，σ2和剪應(yīng)力τ12時(shí)，力和力矩的表達(dá)式為：

此外還有橫向剪應(yīng)力τ1z和τ2z的合力：

式（1）～式（8）通過面內(nèi)拉力、剪力、彎矩和扭矩構(gòu)成廣義內(nèi)力素，精確表達(dá)了平板內(nèi)所有力的分布情況。

2 補(bǔ)片小撓度彎曲微分方程及其解

當(dāng)薄板受力發(fā)生彎曲時(shí)，沿x軸方向的位移u、沿y方向的位移v和撓度ω有下列幾何關(guān)系：

忽略中面變形，可得板的面內(nèi)應(yīng)力與板的法向位置的二階導(dǎo)數(shù)，即應(yīng)變?chǔ)舩，εy，γxy：

結(jié)合廣義胡克定律可知板小撓度彎曲的彈性關(guān)系（其正方向的定義見圖1、圖2）：

彎曲的平衡方程通過板微元體平衡獲得。已知圖2為邊長dx和dy，厚度為2h的板微元體［6］，板面法向載荷為p（x，y）。則由力矩平衡條件可得：

將式（15）～式（17）代入式（18）得：

對于軸對稱載荷作用的圓板，在柱面坐標(biāo)內(nèi)x＝y(tǒng)＝r，則公式（19）變?yōu)椋?/p>

解式（20）可得：

其中：A，B，C，K均為待定系數(shù)；p0為均布載荷。同理可以求得對應(yīng)的彎矩Mr和Mθ，扭矩Mrθ，橫剪力Qr和Qθ：

3 圓補(bǔ)片小撓度彎曲力學(xué)分析

針對蒙皮圓補(bǔ)片，周邊認(rèn)定為簡支，受均布載荷p0作用，可以求得圓補(bǔ)片的撓度與應(yīng)力。結(jié)合柱面坐標(biāo)系下的邊界條件可得：

（1）r＝0時(shí)，ω有界，C＝0，無集中力作用，則B＝0。

（2）r＝R（R為補(bǔ)片半徑）時(shí)，ω＝0，Mr＝0，將其分別代入式（21）和式（23）得：AR2＋K＋p0r4/（64D）＝0，－2D（1＋v）A－（3＋v）p0R2/16＝0。

由此求得柱面坐標(biāo)系下對應(yīng)的撓度ω、彎矩與剪力：

并可得板中應(yīng)力：

σr，σθ和τrz的分布狀況如圖3和圖4所示。

圖3 σr，σθ 的分布狀況

圖4 τrz的分布狀況

由圖3和圖4可知，圓補(bǔ)片的正應(yīng)力和剪切力在中心處最大，正應(yīng)力分布為球冠型，中心區(qū)域最大，近似拋物線分布；剪切力分布呈圓錐型，即線性增長。在中心處，即當(dāng)r＝0時(shí)：

在邊緣處，即r＝R時(shí)：

4 圓補(bǔ)片設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法［7］

傳統(tǒng)的維修中，補(bǔ)片尺寸是按照鉚釘5d間距和2d邊距（d為鉚釘直徑）排布規(guī)則推算的，一般情況余度很大，安全系數(shù)高，但工作量也大，維修成本高。

應(yīng)用撓度力學(xué)分析方法，量化計(jì)算安全范圍內(nèi)補(bǔ)片的精確尺寸，再通過邊距規(guī)則修正尺寸，即可最優(yōu)化地得到補(bǔ)片的設(shè)計(jì)尺寸。由式（31）、式（32）可得到由正應(yīng)力與切應(yīng)力來確定的補(bǔ)片尺寸，即：

因此只須確定補(bǔ)片需要負(fù)荷的最大壓力和剪力，代入補(bǔ)片的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即可計(jì)算出2種補(bǔ)片的半徑尺寸，選擇最大的R值作為理論計(jì)算尺寸，按照邊距規(guī)則排列鉚釘，最外圈按照上限原則保證最大覆蓋取整方法即可完成工藝尺寸的制定。

該優(yōu)化方案以力學(xué)基本理論為指導(dǎo)，量化地確定了航空器蒙皮孔型損傷維修中的補(bǔ)片尺寸，有效減少了維修成本，為航空器蒙皮維修指明了發(fā)展方向。但優(yōu)化方案中具體參數(shù)的確定需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，該方案雖然得到了量化公式，但如果想要在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)，還需要大量的可靠性驗(yàn)證才行，這有待進(jìn)一步的研究討論。

［1］任仁良.維修基本技能［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2010.

［2］薛明德，向志海.飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

［3］王敏中，王煒，吳際可.彈性力學(xué)教程［M］.修訂版.北京：北京大學(xué)出版社，2011.

［4］劉鴻文.材料力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［5］崔延，屠鳳蓮.不規(guī)則形狀薄板的平面應(yīng)力分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2012（8）：218－219.

［6］Xu B X，Wang M Z.The quasi eshelby property for rotational symmetrical inclusions of uniform eigencurvatures within an infini template［J］.Proc.Roy.Soc，2005，A461：2899－2910.

［7］J Cutle. Understanding Aircraft Structures ［M ］.Blackwell Publishing Ltd：Oxford，Malden，MA，2005.