精密測距系統(tǒng)中IIR濾波器的設(shè)計

甘偉，李紅葉

（1 中國電子科技集團公司第二十研究所，西安 710068; 2 西安理工大學(xué)，西安710048）

0 引言

精密測距設(shè)備[1]，簡稱DME/P，它可為飛機提供進(jìn)近著陸過程中所需的距離信息。精密測距系統(tǒng)由兩大部分組成，即機載詢問器和地面應(yīng)答器[2]。當(dāng)機載詢問器發(fā)出的詢問脈沖被地面應(yīng)答器所接收到時，地面應(yīng)答器經(jīng)過固定延時，發(fā)出應(yīng)答脈沖。機載詢問器接收應(yīng)答脈沖，經(jīng)過判別，鎖定自身詢問的應(yīng)答脈沖后，即可計算出發(fā)射詢問脈沖至接收到應(yīng)答脈沖之間的時間間隔T，再利用式(1)計算得到飛機距離L。

式中，T為從發(fā)射詢問脈沖至接收到應(yīng)答脈沖所經(jīng)歷的時間，T0為地面設(shè)備固定延遲，C為電波傳播速度 3×108m/s。

本文研究的主要內(nèi)容是測距系統(tǒng)中的中頻信號解算，圖1為中頻信號解算的流程圖，其中包含多個功能模塊如采樣、濾波、解調(diào)、預(yù)選、存儲。

圖1 中頻信號解算流程圖

為給出中頻信號解算算法中所需的IIR濾波器設(shè)計過程，首先需要給出帶通采樣的原理。

1 帶通采樣

通信系統(tǒng)中常常采用帶通采樣的方法來處理信號，一方面可以大大降低采樣頻率，另一方面還可以完成頻譜下搬移的過程。使用帶通采樣時，為保證不發(fā)生頻譜混疊，采樣頻率、信號最高頻率、最低頻率和信號帶寬需要滿足一定的條件。若中頻窄帶帶通信號的最高頻率為fH，最低頻率為fL，帶寬為B，要使得采樣后的基帶數(shù)字信號不出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象，則采樣頻率應(yīng)滿足以下約束條件[3]：

其中，N是滿足上式的正整數(shù)且滿足條件：

根據(jù)這個定理，可以直接將一個中頻窄帶信號采樣數(shù)字化，它能同時起到頻譜搬移和基帶信號數(shù)字化的作用。帶通采樣時，A/D等效于混頻器，采樣后所需要的輸出信號頻率：

所需的輸出信號頻率必須滿足Nyquist采樣定理即：

若fs為采樣頻率，fc為載波頻率，AD采樣相當(dāng)于混頻，所得頻點為[0,fs]之間的兩個頻譜點。在做FFT變換時，我們知道這2個頻譜點關(guān)于fs2是對稱的，因此考慮到對稱性可以得到的第一個頻譜點為：fo1=|fc-fs|，第二個頻譜點為：fo2=fs-|fc-fs|。本文討論的測距系統(tǒng)的中頻載波信號采用 70 MHz即fc=70MHz，采樣頻率為40MHz，fs=40MHz可得 2個頻譜點分別為：fo1=30MHz，fo2=10MHz。因此只需設(shè)計出中心頻率為10MHz的帶通濾波器，便可提取有用信號，便于后續(xù)處理。下面給出無限脈沖響應(yīng)的傳遞函數(shù)和差分方程。

2 IIR濾波器的差分方程

無限脈沖響應(yīng)濾波器（Infinite Impulse Response,IIR）具有很高的濾波效率，在相同的幅頻響應(yīng)條件下，所要求的濾波器階數(shù)明顯比FIR濾波器低。同時，IIR濾波器的設(shè)計可以利用模擬濾波器的設(shè)計成果。IIR濾波器可以用較少的硬件資源獲取較好的濾波器幅頻特性。

IIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)是無限長的，其系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)的差分方程可以寫成：

在FPGA等數(shù)字硬件平臺上實現(xiàn)IIR濾波器，由于存在反饋結(jié)構(gòu)，因此受限于有限的寄存器長度，無法通過增加字長來實現(xiàn)全精度的濾波器運算，濾波器運算過程中有限的字長效應(yīng)是工程實現(xiàn)時必須考慮的問題。

IIR濾波器有直接I型，直接II型，級聯(lián)型以及并聯(lián)型4種常用的結(jié)構(gòu)形式。其中，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確實現(xiàn)數(shù)字濾波器的零、極點，且受參數(shù)量化影響較小，因此應(yīng)用比較廣泛，下面給出級聯(lián)型的結(jié)構(gòu)。

考慮到一個N階系統(tǒng)函數(shù)可以用它的零點、極點表示。由于系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)均為實數(shù)，因此零、極點只有兩種可能：實數(shù)或復(fù)共軛對。因此把系統(tǒng)函數(shù)的分子分母多項式進(jìn)行因式分解，則可將系統(tǒng)函數(shù)寫成：

式中，M1+M2=M，N1+N2=N，ck、dk分別表示實零點和實極點，分別表示復(fù)共軛對零點，分別表示復(fù)共軛對極點。一個四階系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 四階IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)

3 濾波器設(shè)計

IIR級聯(lián)型濾波器設(shè)計包括以下幾個步驟：

（1）選擇濾波器設(shè)計函數(shù)[4]

通常采用的濾波器設(shè)計函數(shù)有以下幾種：butter（巴特沃斯函數(shù)）、cheby1（切比雪夫 I型函數(shù)）、Cheby2（切比雪夫 II型函數(shù)）、ellip（橢圓濾波器函數(shù)）及yulewalk函數(shù)。

（2）設(shè)置濾波器設(shè)計參數(shù)

濾波器設(shè)計中常見的設(shè)計參數(shù)有：采樣頻率、階數(shù)、根據(jù)中心頻率和帶寬所決定的通帶范圍、阻帶范圍、截止頻率、通帶波紋衰減、阻帶波紋衰減等。

（3）將IIR濾波器系數(shù)轉(zhuǎn)換成級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

首先根據(jù)選定的濾波器設(shè)計函數(shù)和所需的濾波器參數(shù)，生成直接型IIR濾波器系數(shù)。然后采用Matlab提供的函數(shù)tf2sos將直接型系數(shù)轉(zhuǎn)化成級聯(lián)型系數(shù)。

（4）量化IIR濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)系數(shù)

要量化IIR濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)首先需要知道量化位數(shù)Qnum，濾波器階數(shù)order，和IIR直接型濾波器系數(shù)b，a。然后調(diào)用自編的2個函數(shù)：直接量化函數(shù) Quantization_coe和級聯(lián)量化函數(shù)IIR_cascade_quantization對濾波器系數(shù)進(jìn)行量化。

（5）根據(jù)量化系數(shù)編寫VHDL代碼在FPGA上實現(xiàn)IIR級聯(lián)濾波器的功能

這個部分需要注意：量化后的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)系數(shù)，可能會有負(fù)數(shù)產(chǎn)生，而在FPGA上要對負(fù)數(shù)進(jìn)行操作，實際上是對補碼進(jìn)行操作。因此這部分內(nèi)容的關(guān)鍵之處是將那些量化后的級聯(lián)型負(fù)系數(shù)轉(zhuǎn)化成補碼，然后再對轉(zhuǎn)化后的系數(shù)進(jìn)行操作。

4 精密測距系統(tǒng)中濾波器設(shè)計

首先根據(jù)IIR級聯(lián)型濾波器設(shè)計步驟來實現(xiàn)精密測距系統(tǒng)中IIR級聯(lián)濾波器的設(shè)計。

（1）根據(jù)各濾波器設(shè)計函數(shù)的特性，本系統(tǒng)中選用cheby1函數(shù)（切比雪夫I型函數(shù)）來設(shè)計濾波器。

（2）精密測距系統(tǒng)的中頻載波為70MHz的信號，采樣頻率為40MHz，因此AD采樣后可得2個頻譜點分別為30MHz，10MHz。本文只需設(shè)計出中心頻率為 10MHz的帶通濾波器，便可提取有用信號。本系統(tǒng)選取的濾波器階數(shù)為8階，通帶衰減為0.5dB，通帶范圍為[8，12]MHz。

（3）調(diào)用函數(shù)：[b,a]=cheby1(4,0.5,Wn)來生成直接型IIR濾波器分子多項式系數(shù)b和分母多項式系數(shù)a。其中參數(shù)Wn=2*[8,12]/40。產(chǎn)生的直接濾波器分子和分母多項式系數(shù)如表1所示。

表1 直接型IIR濾波器系數(shù)

調(diào)用函數(shù)tf2sos將直接型分子和分母多項式系數(shù)b和a，轉(zhuǎn)化成級聯(lián)型分子和分母多項式系數(shù)B和A。如圖3所示。

圖3 未量化前的級聯(lián)型系數(shù)B和A

（4）調(diào)用自編的2個函數(shù)：直接量化函數(shù)和級聯(lián)量化函數(shù)對濾波器的系數(shù)進(jìn)行量化。本系統(tǒng)中量化位數(shù)取為12，量化位數(shù)過小，量化后的結(jié)果會導(dǎo)致濾波器不能工作。量化位數(shù)過大，會導(dǎo)致后續(xù)FPGA的硬件資源浪費。量化后的級聯(lián)型系數(shù)如圖4所示。

圖4 量化后級聯(lián)型系數(shù)Qb和Qa

（5）根據(jù)所獲得的量化后的級聯(lián)型系數(shù)，調(diào)用自編函數(shù)Negative_complement，將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成補碼。如圖5所示

圖5 負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)成補碼后的量化系數(shù)QB和QA。

至此，便可以根據(jù)系數(shù)QB和QA直接在FPGA平臺上進(jìn)行VHDL編程。

5 實驗仿真

5.1 量化位數(shù)影響分析實驗

考慮到量化位數(shù)會嚴(yán)重影響量化后濾波器的性能，本實驗主要是為了說明為什么精密測距系統(tǒng)要選取 12位作為量化位數(shù)。圖 6（a）給出了 IIR濾波器未量化時的幅頻，圖6（b）給出了量化位數(shù)為11位時IIR濾波器量化后的幅頻響應(yīng)，圖6（c）給出了量化位數(shù)為12位時IIR濾波器量化后的幅頻響應(yīng)?？梢钥闯隽炕粩?shù)取 11位時，量化后的濾波器幅頻響應(yīng)特性發(fā)生了畸變，量化位數(shù)取 12位時，量化前后的幅頻響應(yīng)特性沒有多大變化，能滿足濾波器設(shè)計的量化位數(shù)條件。

圖6（a） 濾波器未量化時的幅頻響應(yīng)

圖6（b） 量化位數(shù)11時濾波器量化后的幅頻響應(yīng)

圖6（c） 量化位數(shù)12時濾波器量化后的幅頻響應(yīng)

5.2 IIR濾波器濾波性能實驗

本文所研究的精密測距系統(tǒng)中，使用了兩種脈沖作為基帶信號，在 IA模式下，基帶信號為高斯脈沖對。在FA模式下，采用cos/cos2波形的脈沖對作為基帶脈沖。鑒于中頻信號解調(diào)與基帶信號的波形無關(guān)，文中僅使用高斯脈沖對作為基帶信號，對所設(shè)計的IIR濾波器進(jìn)行仿真驗證。

根據(jù)高斯脈沖表達(dá)式，在Matlab中對基帶信號進(jìn)行模擬，選取采樣頻率為40MHz，得到如圖7所示基帶信號，圖中縱軸表示信號幅度值，橫軸表示時間，單位為采樣點的個數(shù)，相鄰采樣點間隔為25ns。

圖7 基帶信號

本測距系統(tǒng)中，首先生成一個 70MHz的中頻余弦載波信號，然后采用該載波信號對基帶信號進(jìn)行調(diào)制，得到如圖8的調(diào)制信號。

圖8 調(diào)制信號

根據(jù)本文所設(shè)計的IIR級聯(lián)型濾波器，對圖8所示的調(diào)制信號進(jìn)行濾波、正交幅度解調(diào)，所提取的包絡(luò)信號如圖9所示。

圖9 IIR濾波解調(diào)后的信號

從圖9可以看出，本文所設(shè)計的IIR濾波器能有效的提取出，所需要的包絡(luò)信號。

6 結(jié)論

本文呈現(xiàn)了精密測距系統(tǒng)中IIR級聯(lián)型濾波器的設(shè)計算法流程，并給出量化IIR級聯(lián)型濾波器的量化函數(shù)，為從事IIR濾波器設(shè)計的讀者提供了快捷的設(shè)計和檢驗方法。仿真驗證了所設(shè)計的IIR濾波器在精密測距系統(tǒng)中的濾波性能，并仿真分析了量化位數(shù)的選取對濾波器性能的影響，為從事 IIR濾波器設(shè)計的工程師，在選取量化位數(shù)時，提供了一種方法。

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