嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略——基于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

時(shí)正華，劉駿萍，朱海波

(河海大學(xué)　a.理學(xué)院； b.計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院； c.水利水電學(xué)院，南京　210098)

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略——基于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

時(shí)正華a，劉駿萍b，朱海波c

(河海大學(xué)a.理學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院；c.水利水電學(xué)院，南京210098)

摘要:軟著陸是航天器經(jīng)專門減速裝置減速后，以一定的速度安全著陸的著陸方式，嫦娥三號登月過程中的軟著陸尤為重要?；?014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題，主要研究嫦娥三號軟著陸的軌道設(shè)計(jì)和控制策略。著陸分為4個(gè)階段：著陸準(zhǔn)備階段、主減速階段、粗避障階段、精避障階段，并對各階段分別建立模型進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞:軟著陸;登月;軌道;粗避障;精避障

1問題

本文基于2014年高教社杯全國大學(xué)生建模競賽A組題目。

嫦娥三號于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1 500N到7 500N的可調(diào)節(jié)推力，比沖為2 940(m/s)，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。嫦娥三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2 641m。

要保證嫦娥三號在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個(gè)階段，要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

2問題假設(shè)與參數(shù)說明

2.1　假設(shè)

1) 不考慮姿態(tài)發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)的燃料消耗；

2) 嫦娥三號獲得的數(shù)字高程及所有數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的；

3) 作用于探測器上的所有外力都通過其質(zhì)心；

4) 不考慮月球的形狀扁率對于嫦娥三號軟著陸的影響；

5) 嫦娥三號軟著陸過程只受月球的萬有引力影響，不考慮太陽、地球攝動(dòng)力及月球非球引力攝動(dòng)對軌道運(yùn)行的影響。

2.2　參數(shù)說明

F為嫦娥三號所受主推力；Gm為嫦娥三號所受月球的引力；a為加速度；ax為水平加速度；ay為豎直加速度；t為從近月點(diǎn)開始計(jì)算的時(shí)刻；T為從近月點(diǎn)到距離月球表面3 000m所用的時(shí)間；G為萬有引力常數(shù)；n為單位時(shí)間燃料消耗(kg)；v是以m/s為單位的比沖；θ為主推動(dòng)力的方向角；φ為加速度的方向；Q為嫦娥三號消耗的總?cè)剂蠑?shù)(kg)；M0為初始的嫦娥三號質(zhì)量；m為t時(shí)刻嫦娥三號的質(zhì)量。

3問題分析及最優(yōu)著陸方案

3.1　橢圓軌道分析

在實(shí)際宇宙繞月飛行中，嫦娥三號減速變軌后將沿橢圓軌道運(yùn)行，通?？梢灾涝摍E圓軌道是較為標(biāo)準(zhǔn)的。如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，采用圓錐曲線及牛頓萬有引力的相關(guān)知識推導(dǎo)出計(jì)算方法[1-4]：

(1)

圖1　嫦娥三號繞月橢圓軌道示意圖

橢圓方程可以直接通過求a，b得出，橢圓半長軸a等于近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)之間距離的一半，由幾何關(guān)系可知，橢圓半短軸b等于近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)矢徑的幾何平均值。

3.2　軟著陸階段動(dòng)力學(xué)分析

嫦娥三號將在近月點(diǎn)15km處以拋物線下降，所以需保證整個(gè)過程的加速度恒定不變。

以拋物運(yùn)動(dòng)的拋物線所在平面為坐標(biāo)面，以近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的連線為x軸，近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)連線的垂直平分線為y軸，交點(diǎn)為原點(diǎn)o(見圖1)。

按x，y方向進(jìn)行受力分解(見圖2)，繼而分解加速度和速度。對于任意時(shí)刻t的動(dòng)力學(xué)方程成立：

其中：F為嫦娥三號受到的有燃料產(chǎn)生的推力；Gm為受到的月球引力；θ為F方向與x軸負(fù)方向的夾角；v0為嫦娥三號在近月點(diǎn)的速度，即拋物線的初始速度；h為下降的高度；t為運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻(以近月點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)為0時(shí)刻)；ax，ay分別為加速度沿x，y軸的分量。

圖2　以拋物線所在平面建立的坐標(biāo)系

整個(gè)過程中，嫦娥三號沿y方向運(yùn)動(dòng)的位移大小為H=15 000-3 000=12 000km，時(shí)間為T，在近月點(diǎn)的速度為1.692km/s，到達(dá)距離月球表面3 000m上空時(shí)的速度V=75m/s。通過對動(dòng)力方程的分析可知，如時(shí)間T確定，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)過程就是確定的。若要使這個(gè)階段消耗的能量最小，可以利用優(yōu)化方法來求解。

4建立模型

4.1　模型1

假設(shè)嫦娥三號在做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)所受月球的引力Gm是不變的。目標(biāo)函數(shù)為消耗的燃料Q最少，約束條件為T，F(xiàn)的取值范圍。利用加速度不變的動(dòng)力學(xué)方程做進(jìn)一步約束[5-13]。

利用題目中所給公式F=v·n，其中：F是發(fā)動(dòng)機(jī)的推力(N)；v是以m/s為單位的比沖；n是單位時(shí)間燃料消耗量(kg)。

minQ =min(nT)

通過LINGO求解優(yōu)化問題，得出T=608.6s時(shí)最優(yōu)Q=1 552.6kg。

在此模型下，求得消耗燃料為1 552.6kg?？紤]到整個(gè)嫦娥三號的總質(zhì)量為2 400kg，質(zhì)量的減少會改變嫦娥三號所受到的萬有引力，從而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)的過程改變，因此不可忽略燃料燃燒導(dǎo)致的嫦娥三號質(zhì)量的減少。

4.2　模型2

考慮到飛船質(zhì)量的變化，同樣建立上述坐標(biāo)系。令加速度a與x軸負(fù)半軸的夾角為φ，燃料產(chǎn)生的推力F與x軸負(fù)半軸的夾角為θ(見圖3)。

圖3　考慮質(zhì)量變化的受力示意圖

在任意時(shí)刻t，根據(jù)受力分析有：

Fcosθ=macosφ= (Mo-Q)acosφ

(13)

(14)

顯然，F(xiàn)，φ，Gm，m都是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。

其中F=v*Q′。

聯(lián)立式(15)、(16)，消去θ，可以得到只含有Q的微分方程：

(a·cos2φ+(1.597 1-a·sinφ)2)·(Mo-Q)2=v2Q2

min= Q = 2 400-

通過Matlab求解給定T的關(guān)于a，φ 的方程組，利用Excel計(jì)算Q，取步長為10s，依次得到不同T對應(yīng)的燃料消耗量。

以10s為步長進(jìn)行等步長搜索，Matlab計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4　Matlab計(jì)算結(jié)果

綜上，得出T=530，Q有相對較小值1 098.6kg。此時(shí)運(yùn)動(dòng)過程的加速度a=3.128 3m/s2， φ=0.027 3rad。

4.3　模型3

從安全性和穩(wěn)定性來說，可以認(rèn)為在這個(gè)階段只需找到最優(yōu)著陸點(diǎn)，嫦娥三號水平運(yùn)動(dòng)到該位置上空后豎直下降即可(見圖5)。

圖5　粗避障階段軌跡

為了避開大的隕石坑，可以直接找出平坦的區(qū)域后再做進(jìn)一步確定。直接搜索平坦區(qū)域的計(jì)算方法如下：

1) 先將資料提供的飛船在距離月球表面2 400m處所拍攝的數(shù)學(xué)高程圖[14-19](該高程圖的水平分辨率是1m/像素，其數(shù)值的單位是1m)的數(shù)據(jù)讀入Matlab，形成一個(gè)2 300×2 300的數(shù)據(jù)矩陣，并畫出對應(yīng)的地形圖(如圖6所示)?？梢猿醪娇闯?，嫦娥三號著陸的平坦區(qū)域應(yīng)在中間區(qū)域，即嫦娥三號此時(shí)下降的水平位移不太大。

圖6　2 400 m處的地形圖

3) 以A點(diǎn)為中心選取出7×7的區(qū)域，如表1所示，根據(jù)已知著陸器的大小為4m×4m做進(jìn)一步搜索。

表1　粗避障段較平坦區(qū)域高度值分布　m

4) 通過以上數(shù)據(jù)大致觀察得出此降落范圍比較平坦，然后再進(jìn)行驗(yàn)證。

5) 計(jì)算出整體高程的方差s=0.26，由于相對于地勢來說此變化可以忽略不計(jì)，故確定該處為最優(yōu)落地點(diǎn)。

5最優(yōu)控制策略

5.1　著陸準(zhǔn)備軌道

著陸準(zhǔn)備軌道的近月點(diǎn)是15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)是100km。近月點(diǎn)在月心坐標(biāo)系的位置和軟著陸軌道形態(tài)共同決定了著陸點(diǎn)的位置。

5.2　主減速段

主減速段的區(qū)間距離月面3~15km。在該階段主要進(jìn)行減速，到距離月面3km處將嫦娥三號的速度降至57m/s。

主減速段的主要任務(wù)是消除較大的動(dòng)力下降段的初始水平速度(由問題1得出為1.692km/s)，因此使推進(jìn)器燃料的消耗量為最少的優(yōu)化是該階段制導(dǎo)的主要目標(biāo)。同樣，根據(jù)問題1中的非線性規(guī)劃模型，由于比沖是一定的，故通過調(diào)整制導(dǎo)時(shí)間的參數(shù)以及對終端狀態(tài)和快速調(diào)整過程的預(yù)測對制導(dǎo)目標(biāo)進(jìn)行自適應(yīng)修正，以滿足進(jìn)入接近段的初始約束條件——速度為57m/s，然后根據(jù)燃料消耗最少的優(yōu)化目標(biāo)得出最少燃料消耗的時(shí)間。

根據(jù)Matlab驗(yàn)證問題1的模型：把整個(gè)近似拋物線的軌跡分段，每一段近似看成一個(gè)加速度確定的勻加速運(yùn)動(dòng)。假設(shè)每一段加速度的大小和夾角都是確定的，不斷循環(huán)改變這兩個(gè)變量，得出的時(shí)間和水平距離同問題1求出的結(jié)果是一致的。

經(jīng)過驗(yàn)證可知，問題1的結(jié)果是正確可靠的，于是可以進(jìn)一步求出拋物線的方程。用關(guān)于t的參數(shù)方程表示：

主減速階段軌跡見圖7。

圖7　主減速階段軌跡圖

5.3　快速調(diào)整段

在快速調(diào)整段主要是調(diào)整探測器姿態(tài)，需要在距離月面3km到 2.4km處將水平速度減為0m/s，之后進(jìn)入粗避障階段。

該階段處于主減速階段的末期，此時(shí)著陸器的姿態(tài)仍然接近水平，主發(fā)動(dòng)機(jī)仍工作在最大推力段，推力加速度達(dá)到最大。為了快速調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力，并且使嫦娥三號著陸器的加速度方向與速度方向相反，需要調(diào)整F的大小與方向。著陸器的運(yùn)動(dòng)軌跡近似勻減速的直線運(yùn)動(dòng)(見圖8)。

圖8　勻減速的直線運(yùn)動(dòng)

5.4　粗避障段

粗避障段的范圍是距離月面2.4km到100m。對其主要要求是避開大的隕石坑，實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)著陸點(diǎn)上方100m處懸停，并初步確定落月地點(diǎn)。在保證安全著陸的前提下，盡量減少燃料的消耗，使平移的距離最短即可。

6模型評估

本文只是考慮了嫦娥三號從橢圓軌道軟著陸到月球表面的問題，可以說是一個(gè)大問題中的細(xì)節(jié)。由于每一個(gè)問題所要考慮的方面既有不同又有交叉，故需要根據(jù)實(shí)際情況采取數(shù)學(xué)建模中的不同方法。

對于問題1中的近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)，主要需要建立動(dòng)力學(xué)模型，其次是線性規(guī)劃模型，需要對嫦娥三號進(jìn)行詳細(xì)的受力分析，并確定目標(biāo)函數(shù)以及約束條件，因此理論上不直接求解近月點(diǎn)及遠(yuǎn)月點(diǎn)的數(shù)據(jù)。采用上述模型的優(yōu)點(diǎn)是淺顯明了，將問題直接轉(zhuǎn)化為在二維平面上求解極大值，簡化了實(shí)際問題的求解。

對于利用最大坡度模型求解最優(yōu)著陸點(diǎn)的方法，本文為了減少數(shù)據(jù)處理，并不對所有題目中給出的高程圖的全部點(diǎn)進(jìn)行處理，而是事先根據(jù)非線性規(guī)劃的約束以及觀察先確定一個(gè)范圍，然后再對這個(gè)范圍進(jìn)一步地驗(yàn)證，繼而找出最優(yōu)著陸點(diǎn)。雖然高程圖的數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確，但是仍然會對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，這就是誤差的來源。本文不僅考慮燃料消耗最少，而且考慮如何找出最為合理的著陸點(diǎn)，著陸點(diǎn)的確定以燃料最少為優(yōu)化條件，進(jìn)而確定軌道。

對于問題3，建立了靈敏度分析的模型，配合使用Matlab軟件，可以方便快速地得到符合要求的模型，獲得關(guān)于最優(yōu)解T的影響因素的靈敏度。該模型使用方便快捷，應(yīng)用范圍廣，所得數(shù)據(jù)全面詳盡，能抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，具有較高的模擬準(zhǔn)確性和實(shí)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉林.月球衛(wèi)星軌道力學(xué)綜述[J].天文學(xué)進(jìn)展，2003，21(4):281-288.

[2]查有梁.牛頓力學(xué)與星際航行[M].成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，1997.

[3]閆濤.軟著陸月球探測器軌道設(shè)計(jì)與發(fā)射窗口選擇[D].長沙:國防科技大學(xué)，2008.

[4]楊維康.發(fā)射極月衛(wèi)星的轉(zhuǎn)移軌道研究[J].航天器工程，1997，6(3):19-33.

[5]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].3版.北京:高等教育出版社，2003.

[6]張德豐.MATLAB數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[7]汪曉銀，周保平.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社，1010.

[8]湛紅.模糊數(shù)學(xué)在國民經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社，1994.

[9]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及應(yīng)用[M].鄭州:高等教育出版社，2009.

[10]秦健， 覃彬全，陳闖，等. 基于模糊綜合評價(jià)法的雷電災(zāi)害易損性區(qū)劃研究[J]. 西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014(7):176-182.

[11]王躍鋼，蔚躍，雷堰龍，等. 模糊自適應(yīng)濾波在捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對準(zhǔn)中的應(yīng)用[J].壓電與聲光，2013(1)：59-62.

[12]胡曉倩,張蓮,李山,等.住宅光環(huán)境舒適度的模糊綜合評價(jià)方法[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)，2013(7)：103-107.

[13]王曉燕，周志文.模糊控制在真空熱處理爐溫度控制中的應(yīng)用[J].自動(dòng)化與儀器儀表，2013(1)：84-85.

[14]張洪華，關(guān)軼峰，黃翔宇，等.基于蒙特卡羅法的衛(wèi)星熱模型參數(shù)敏感性分析研究[J].航天器工程，2014，18(4):104-105.

[15]章博，陳國明.氣體擴(kuò)散CFD建模敏感性分析[J].科技導(dǎo)報(bào)，2014，29(13):58-60.

[16]郗曉寧.月球探測器軌道設(shè)計(jì)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2001.

[17]劉林，王歆.月球探測器軌道力學(xué)[M].北京:國防工業(yè)出版社，2006.

[18]褚桂柏，張熇.月球探測器技術(shù)[M].北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社，2007.

[19]屠善澄.衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制[M].北京:宇航出版社，1998.

(責(zé)任編輯楊黎麗)

收稿日期：2015-03-06

基金項(xiàng)目：中央高?；鹳Y助項(xiàng)目(2013B07614)

作者簡介：時(shí)正華(1976—)，男，講師，主要從事數(shù)學(xué)建模研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.07.019

中圖分類號：V448

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1674-8425(2015)07-0106-07

OrbitDesignandControlStrategyofChang’e-3SoftLanding

SHIZheng-huaa， LIU Jun-pingb，ZHU Hai-boc

(a.CollegeofScience;b.CollegeofComputerandInformation;

c.CollegeofWaterConservancyandHydropowerEngineering，

HohaiUniversity，Nanjing210098，China)

Abstract:The landing process that the spacecrafts first decelerate through specialized graduating devices and then sat down safely at a certain speed is called soft landing. It’s particularly important throughout the process of Chang’e 3’s landing on the moon. This paper mainly studied the orbit design and control strategy of Chang’e 3’s soft landing which was divided into four stages: landing preparation stage， main deceleration stage， coarse obstacle avoidance stage and refined obstacle avoidance stage. The study was conducted by setting up models of the stages respectively.

Key words:soft landing; moonfall; track; rough avoidance; fine avoidance

引用格式：時(shí)正華，劉駿萍，朱海波.嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略——基于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015(7):106-112.

Citationformat：SHIZheng-hua，LIUJun-ping，ZHUHai-bo.OrbitDesignandControlStrategyofChang’e-3SoftLanding[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience，2015(7):106-112.