階的估計(jì)在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用

彭建華，田　堅(jiān)，范崇秀

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶　450050)

階的估計(jì)在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用

彭建華，田堅(jiān)，范崇秀

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶450050)

摘要：通過(guò)對(duì)無(wú)窮小量的階的估計(jì)研究，討論了階的估計(jì)方法在級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用，為級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題的深入研究提供了一種較為便利的方法。

關(guān)鍵詞：無(wú)窮小量；無(wú)窮大量；階的估計(jì)；數(shù)列收斂

階的估計(jì)方法在研究函數(shù)的極限以及數(shù)列收斂、級(jí)數(shù)收斂、廣義積分收斂中是一種常用且重要的方法。數(shù)學(xué)分析中在討論無(wú)窮小量的比較時(shí)引入了E.landau符號(hào)o與O及～，采用這些符號(hào)在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中可以對(duì)函數(shù)的變化狀態(tài)進(jìn)行比較，使所討論的問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。因此，這幾個(gè)符號(hào)在數(shù)學(xué)分析被廣泛采用。階的概念是數(shù)學(xué)分析中的基本概念之一，它可用于計(jì)算數(shù)列、函數(shù)的極限，判斷級(jí)數(shù)、廣義積分的收斂性[1-10]。本文從階的概念入手，探討階的估計(jì)方法在判斷級(jí)數(shù)收斂方面的應(yīng)用。

1階的概念

注：

2) f(x)=O(g(x))是一個(gè)不等式，只不過(guò)寫(xiě)成等式的形式。

2階的估計(jì)在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

階的概念及符號(hào)O與o、～的運(yùn)算法則，還有帶O余項(xiàng)的一些常用Taylor公式，為解決級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題提供了很大的方便。數(shù)學(xué)分析中有許多級(jí)數(shù)的判別法則，但對(duì)于比較復(fù)雜的“臨界情形”處理起來(lái)很麻煩，在這種情形下就能夠顯示出O與o的便利。

由引理1可知，當(dāng)p>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。

無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

如果用拉阿比判別法，得

當(dāng)p>2時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。

利用引理2，得

故當(dāng)p>2時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。

例3試討論下列級(jí)數(shù)

的斂散性。

由引理2、引理3可得：當(dāng)α+β<λ時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)α+β<λ+1時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng)α+β≥λ+1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。

3結(jié)束語(yǔ)

階的估計(jì)是一種重要的方法，需要較高的技巧。運(yùn)用階的估計(jì)方法可以有效處理較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，并得到較為精確的結(jié)果。

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(責(zé)任編輯陳艷)

收稿日期：2015-03-11

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171363)；高等數(shù)學(xué)課程專(zhuān)項(xiàng)建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目；重慶理工大學(xué)重大教學(xué)成果培育項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：彭建華(1963—)，男，重慶人，副教授，主要從事偏微分方程研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.07.020

中圖分類(lèi)號(hào)：O174.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2015)07-0113-03

ApplicationofEstimationofOrderinConvergenceofSeries

PENGJian-hua,TIANJian,FANChong-xiu

(CollegeofMathematicsandStatistics,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)

Abstract:This paper studied the concept of estimation of the order of infinitesimal and discussed the convergence of series with estimation of the orders. A kind of convenient method for studying convergence was offered.

Key words:infinitesimal; infinity; estimation of the orders; convergence of series

引用格式：彭建華，田堅(jiān)，范崇秀.階的估計(jì)在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015(7):113-115.

Citationformat：PENGJian-hua,TIANJian,FANChong-xiu.ApplicationofEstimationofOrderinConvergenceofSeries[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience，2015(7):113-115.