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    階的估計(jì)在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用

    2015-12-31 08:10:32彭建華范崇秀

    彭建華,田 堅(jiān),范崇秀

    (重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 450050)

    階的估計(jì)在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用

    彭建華,田堅(jiān),范崇秀

    (重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶450050)

    摘要:通過(guò)對(duì)無(wú)窮小量的階的估計(jì)研究,討論了階的估計(jì)方法在級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用,為級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題的深入研究提供了一種較為便利的方法。

    關(guān)鍵詞:無(wú)窮小量;無(wú)窮大量;階的估計(jì);數(shù)列收斂

    階的估計(jì)方法在研究函數(shù)的極限以及數(shù)列收斂、級(jí)數(shù)收斂、廣義積分收斂中是一種常用且重要的方法。數(shù)學(xué)分析中在討論無(wú)窮小量的比較時(shí)引入了E.landau符號(hào)o與O及~,采用這些符號(hào)在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中可以對(duì)函數(shù)的變化狀態(tài)進(jìn)行比較,使所討論的問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。因此,這幾個(gè)符號(hào)在數(shù)學(xué)分析被廣泛采用。階的概念是數(shù)學(xué)分析中的基本概念之一,它可用于計(jì)算數(shù)列、函數(shù)的極限,判斷級(jí)數(shù)、廣義積分的收斂性[1-10]。本文從階的概念入手,探討階的估計(jì)方法在判斷級(jí)數(shù)收斂方面的應(yīng)用。

    1階的概念

    注:

    2) f(x)=O(g(x))是一個(gè)不等式,只不過(guò)寫(xiě)成等式的形式。

    2階的估計(jì)在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用

    階的概念及符號(hào)O與o、~的運(yùn)算法則,還有帶O余項(xiàng)的一些常用Taylor公式,為解決級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題提供了很大的方便。數(shù)學(xué)分析中有許多級(jí)數(shù)的判別法則,但對(duì)于比較復(fù)雜的“臨界情形”處理起來(lái)很麻煩,在這種情形下就能夠顯示出O與o的便利。

    由引理1可知,當(dāng)p>1時(shí),級(jí)數(shù)收斂。

    無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

    如果用拉阿比判別法,得

    當(dāng)p>2時(shí),級(jí)數(shù)收斂。

    利用引理2,得

    故當(dāng)p>2時(shí),級(jí)數(shù)收斂。

    例3試討論下列級(jí)數(shù)

    的斂散性。

    由引理2、引理3可得:當(dāng)α+β<λ時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)α+β<λ+1時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂;當(dāng)α+β≥λ+1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。

    3結(jié)束語(yǔ)

    階的估計(jì)是一種重要的方法,需要較高的技巧。運(yùn)用階的估計(jì)方法可以有效處理較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題,簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,并得到較為精確的結(jié)果。

    參考文獻(xiàn):

    [1]潘承洞,于秀源.階的估計(jì)[M].濟(jì)南:山東科技出版社,1983.

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2004.

    [3]徐利治,王元化.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].北京:商務(wù)印書(shū)館,1955.

    [4]沈燮昌,邵品琮.數(shù)學(xué)分析縱橫談[M].北京:北京大學(xué)出版社,1991.

    [5]菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程[M].北京:人民教育出版社,1959.

    [6]馬雪雅.階的估計(jì)在收斂問(wèn)題中的應(yīng)用[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,25(1):35-40.

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    [8]BabolianE,MaleknejadK,RoodakiM,etal.Two-dimensionaltriangularfunctionsandtheirapplicationstononlinear2DVolterra-Fredholmintegralequations[J].Computers&MathematicswithApplications,2010,60(6):1711-1722.

    [9]El-KallaIL.Errorestimateoftheseriessolutiontoaclassofnonlinearfractionaldifferentialequations[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2011,16(3):1408-1413.

    [10]El-SayedAMA,El-KallaIL,ZiadaEAA.Analyticalandnumericalsolutionsofmulti-termnonlinearfractionalordersdifferentialequations[J].AppliedNumericalMathematics,2010,60(8):788-797.

    (責(zé)任編輯陳艷)

    收稿日期:2015-03-11

    基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171363);高等數(shù)學(xué)課程專(zhuān)項(xiàng)建設(shè)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目;重慶理工大學(xué)重大教學(xué)成果培育項(xiàng)目

    作者簡(jiǎn)介:彭建華(1963—),男,重慶人,副教授,主要從事偏微分方程研究。

    doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.07.020

    中圖分類(lèi)號(hào):O174.1

    文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    文章編號(hào):1674-8425(2015)07-0113-03

    ApplicationofEstimationofOrderinConvergenceofSeries

    PENGJian-hua,TIANJian,FANChong-xiu

    (CollegeofMathematicsandStatistics,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)

    Abstract:This paper studied the concept of estimation of the order of infinitesimal and discussed the convergence of series with estimation of the orders. A kind of convenient method for studying convergence was offered.

    Key words:infinitesimal; infinity; estimation of the orders; convergence of series

    引用格式:彭建華,田堅(jiān),范崇秀.階的估計(jì)在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015(7):113-115.

    Citationformat:PENGJian-hua,TIANJian,FANChong-xiu.ApplicationofEstimationofOrderinConvergenceofSeries[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience,2015(7):113-115.

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