數(shù)學(xué)變式教學(xué)的探索

俞志華

摘要：所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對情景、命題、問題進行合理的轉(zhuǎn)化。即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征;變換問題中的條件或結(jié)論;轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式;合理構(gòu)建實際應(yīng)用的各種環(huán)境，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性?！白兪健苯虒W(xué)有效“動態(tài)化”了數(shù)學(xué)的情景、概念、命題、問題和結(jié)論，讓機械化的線性教學(xué)真實、靈活、開放，有效揭示了對象的本質(zhì)屬性，學(xué)生解決問題的能力得到了更廣闊的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)變式;變式分類;設(shè)計考量

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2015）23-102-1

變式教學(xué)方法的分類

命題的變式初中教材的命題大部分以概念的形式出現(xiàn)。數(shù)學(xué)概念是對客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式或結(jié)構(gòu)關(guān)系的特征概括，是對一類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的反映。

1.由具體或直觀到抽象的變式引入概念。以《相似三角形》為例，先由生活中的直觀材料組織學(xué)生已有的感性經(jīng)驗，使學(xué)生理解概念的具體含義;再利用不同的圖形變式，建立由具體到抽象概念之間的過渡，進而掌握概念圖形的基本特征，準確地把握概念的外延空間。

2.由正反向變式突出概念的本質(zhì)屬性。命題是一種外延性概念，每個命題都有一個明晰的邊界，將命題的外延作為變異空間，將其所包含的對象作為變式，通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。正向變式是根據(jù)命題的外延集合的變式，反向變式是根據(jù)不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對象有某些共同的非本質(zhì)屬性的變式，其中包括用于揭示概念對立面，從而劃清了與其他概念之間的邊界，明確了概念的外延，以達到對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征的深刻理解。

圖形的變式這種變式在我們?nèi)粘＝虒W(xué)中比較常見，即指保持圖形的基本屬性，改變圖形的非本質(zhì)屬性而得到的變異圖形，旨在讓學(xué)生掌握圖形的本質(zhì)屬性。

1.對于單獨出現(xiàn)的幾何概念基本圖形的變式，對其位置或者形狀進行變式。例如蘇科版八年級6.3《一次函數(shù)的圖像》第一課時，函數(shù)的表示有列表法，圖像法，函數(shù)關(guān)系式三種不同的方法表示。對于從一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）（式）到它具有什么樣的函數(shù)圖像（形）時，應(yīng)該把握住數(shù)與形這兩個概念的轉(zhuǎn)變和練習(xí)，把握住數(shù)學(xué)思想。即對于一個自變量x，總有一個函數(shù)值y與之對應(yīng)（函數(shù)的概念），用這一對有序?qū)崝?shù)（x，y）在平面直角坐標系中表示一個點的坐標，確定了那個點的位置，引導(dǎo)學(xué)生用多個點去描述圖形的特征。接著變式為解決圖像上的點（x，y）與函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b（k≠0）的關(guān)系，進而再解決判別已知點是否在函數(shù)圖像上的問題。

2.對于例題、習(xí)題的圖形的變式。把握住基本圖形的本質(zhì)和變式目的，體現(xiàn)聯(lián)系和數(shù)學(xué)方法的靈活運用，達到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的目的。例：已知正△ABC，以AC為腰作等腰△ACD，連接BD，CD，求∠BCD。本質(zhì)是∠BCD是不變的，等于30°或者120°。設(shè)∠CAD=n°用參數(shù)思想和分類討論的方法說明變化中的不變。用構(gòu)建圓，用同弧所對圓周角和圓心角的關(guān)系，以及圓的內(nèi)接四邊形對角互補更能體現(xiàn)圖形的本質(zhì)屬性。

課堂活動的變式教學(xué)中充分利用各種手段融合。數(shù)學(xué)活動的變異空間具有以下三個維度：操作材料、操作活動與理論應(yīng)用。操作活動的變式取決于經(jīng)驗材料的變式。課例研究的結(jié)果表明：面向數(shù)學(xué)對象的直觀的實物操作與非直觀的意象操作是有效的操作方式，這兩種操作方式的結(jié)合很好地促進了數(shù)學(xué)活動的完成。理論的應(yīng)用兼顧橫向與縱向的關(guān)聯(lián)性問題，使得課堂教學(xué)保持了較大的信息容量。以蘇科版八年級上3.1勾股定理的驗證為例。結(jié)合猜想談?wù)?，老師分發(fā)實物（幾個全等的直角三角形），然后小組討論，學(xué)生演示，教師講解，小組再探討等手段，圍繞勾股定理本身，利用已有的知識經(jīng)驗，有效地形成新的知識。

例如在講解三角形內(nèi)角和結(jié)合角平分線為主線，探索角的關(guān)系時采取層次變式，漸入佳境。在△ABC中，∠A=40°：

（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內(nèi)角角平分線，且相交于點O，求∠BOC;

（2）如圖（2）若BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC;

（3）如圖（3）若BO、CO分別是△ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC;

（4）根據(jù)上述三問的結(jié)果，當∠A=n°時，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需寫出結(jié)論）.

在此基礎(chǔ)上再變：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠ABO、∠ACO的平分線相交于點P，

∠A=40°，讓學(xué)生思考∠BPC的度數(shù);

變式教學(xué)的設(shè)計考量

變式教學(xué)作為揭示知識的發(fā)生過程以及延生的知識間的聯(lián)系和區(qū)別，必然需要教師設(shè)置足夠的時間，有目的性，有針對性，在適宜的時機呈現(xiàn)有效教學(xué)，同時注意變式的梯度，并非什么題目都要變式，或者遠離本質(zhì)去變，那樣反而畫蛇添足，淡化了的問題的本質(zhì)。學(xué)生在變式教學(xué)過程中，教師可以體現(xiàn)學(xué)生的主體性而鼓勵學(xué)生對問題進行變式和積極的評價，通過主體參與，暴露學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，更有利于知識的形成。利用變式教學(xué)，構(gòu)建有價值的變式探索和研究，在研究中有意識地展示數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，在教學(xué)中有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，從而以達到“觸類旁通”，“不變應(yīng)萬變”的目的。