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    集值優(yōu)化問題ε-強(qiáng)有效解的最優(yōu)性條件

    2015-12-29 05:08:14余麗
    關(guān)鍵詞:最優(yōu)性集值有界

    余麗

    (宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西宜春 336000)

    0 引言

    近年來,利用(次梯度)次微分刻畫集值優(yōu)化問題最優(yōu)性條件已成為很多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題.Tanino[1]引進(jìn)了集值映射弱次微分的概念.基于Tanino的研究,很多學(xué)者相繼提出了一些廣義(次梯度)次微分的概念[2-4],例如,點(diǎn)集映射的錐弱次梯度、錐-Henig有效次微分及超次梯度的概念,并在這些概念下,建立了一些最優(yōu)性條件.

    眾所周知,有效解與最優(yōu)性條件之間有著密切的聯(lián)系.由于集值映射向量優(yōu)化問題精確解的獲得通常比較困難,因而逼近解是集值優(yōu)化的重要組成部分.近年來,各種逼近解的概念相繼引出,并得到了一些有趣的結(jié)果[5-7].最近,Wang[6]研究了集值優(yōu)化ε-強(qiáng)有效解的性質(zhì),能否將次微分的概念進(jìn)一步推廣并用于研究集值優(yōu)化問題的逼近解?本文將在ε-強(qiáng)有效意義下對此問題進(jìn)行討論.

    1 基本概念

    設(shè)X為拓?fù)渚€性空間,Y和Z為Hausdorff局部凸的拓?fù)湎蛄靠臻g,Y*為Y的拓?fù)鋵ε伎臻g.設(shè)φ≠S?Y,我們以cl S、int S和cone S分別表示S的閉包、內(nèi)部和生成錐,其中cone S={λs:λ≥0,s∈S}.設(shè)C?Y為內(nèi)部非空的閉凸點(diǎn)錐.凸子集B?C稱為錐C的基,如果0?cl B且C=cone B.C的對偶錐C*定義為C*={c*∈Y*:c*(c)≥0,c∈C},這里c*(c)表示c*在c上的值.Bst={φ∈Y*:存在t>0使得φ(b)≥t,b∈B},稱為基泛函.

    定義1[7]設(shè)φ≠M(fèi)?Y,ε∈C.點(diǎn)y∈M稱為M關(guān)于錐C的ε-有效點(diǎn),記為y∈ε-E(M,C),如果M∩(y-C{0}-ε)=φ.

    定義2[6]設(shè)B為C的基,N(0)是Y的零點(diǎn)鄰域基,ε∈C.點(diǎn)y∈M?Y稱為M關(guān)于錐C的ε-

    Y強(qiáng)有效點(diǎn),記為y∈ε-GE(M,C).若?φ∈Y*,?U,V∈N(0Y),使得φ[clcone(M+ε-y)∩(U-cone(V+B))]有界.

    注1[6]在定義2中根據(jù)需要,U,V可以取為凸的對稱鄰域,且y∈ε-GE(M,C),當(dāng)且僅當(dāng)?φ∈Y*,?U,V∈N(0Y),使得φ[cone(M+ε-y)∩(U-cone(V+B))]有界.易知,ε-GE(M,C)?ε -E(M,C).

    引理1 設(shè)Y為局部凸的拓?fù)湎蛄靠臻g,序錐C是點(diǎn)凸錐,且有有界基B,ε∈C.如果φ≠M(fèi)?Y,則:ε-GE(M,C)=ε-GE(M+C,C).

    證明 由定義2及文獻(xiàn)[8]中引理1.3,易證.

    設(shè)F:X→2Y是集值映射,則F的定義域,圖和上圖分別定義為

    定義3[9]令F:X→2Y為一集值映射,(x0,y0)∈graph F.F稱為在點(diǎn)(x0,y0)處是下半連續(xù)的,如果對y0的任意鄰域N(y0),存在x0的鄰域N(x0),使得對所有的x∈N(x0),有F(x)∩N(y0)≠φ.

    定義4[9]設(shè)集值映射F:X→2Y,如果對任意的x,x∈X,0≤λ≤1,有:

    12

    則稱F在X上是C-凸的.

    定義5 設(shè)F:X→2Y是集值映射,點(diǎn)∈ X,∈F(),并且φ*∈X*,給定向量p∈int C,若:

    則稱φ*∈X*是集值映射F在點(diǎn)關(guān)于向量p的ε-強(qiáng)有效次梯度.F在點(diǎn)關(guān)于向量p的ε-強(qiáng)有效次梯度的集合稱為F在點(diǎn)處關(guān)于向量p的ε-強(qiáng)有效次微分,記作?ε-GF.若?ε-GF≠φ,則稱F在點(diǎn))關(guān)于向量p是ε-強(qiáng)有效次可微的.

    2 ε-強(qiáng)有效次微分的存在性定理

    引理2[3]設(shè)F:X→2Y是一集值映射,且x0∈dom F,則下面三個條件只要滿足其中之一,就有int(epi F)≠φ.

    1)存在y^∈F(x0)使得F在(x0,y^)處是下半連續(xù)的;

    2)存在a∈Y,使得F(X)?a-C;

    3)存在映射f:X→Y使得f(x)∈F(x)(?x∈X),并且f在x0的一鄰域U(x0)內(nèi)連續(xù).

    引理3[10]Bst具有以下性質(zhì):1)Bst≠φ;2)Bst?C*;3)若B是C的有界基,則Bst=int C*.

    定理1 令B為C的有界基,(x0,y0)∈graph F,存在W^∈W(0),使得y0∈ε-GE(F(x0),CW^(B)).設(shè)F:X→2Y是CW^(B)-凸的集值映射,p∈int C,則只要引理2中的條件滿足其中之一,就有 ?ε-GF(x0,y0)p≠ φ.

    這樣,y0?ε-E(F(x0),CW^(B)),因此,y0?ε-GE(F(x0),CW^(B)),此與已知矛盾,所以(x0,y0-ε)? int.由凸集分離定理知,存在(φ*,Ψ*)∈X*×Y*,(φ*,Ψ*)≠(0X*,0Y*),使得:

    即:

    由于y+ε∈F(x)+CW^(B)+ε?F(x)+CW^(B)+CW^(B)?F(x)+CW^(B),令y^=y+ε,則(2)式等價為:

    下證Ψ*≠0Y*.若不然,則有φ*(x-x0)≥0,?x∈X.對正實(shí)數(shù)λ>0,任取v∈X,取x=±λv+x0,可得φ*(±λv)≥0.由此得到φ*=0X*,此與(φ*,Ψ*)≠(0X*,0Y*)矛盾.另一方面,在(3)式中取x=x0,=y0+q,?q∈CW^(B),有:ψ*(q)≥0,?q∈CW^(B).

    由g≠0*及W^的吸收性得,存在s0∈W^W?C^(B),使得g(s0)<0.令t=-g(s0),于是g(B)≥-g(s0)=t>0.這就是g∈Bst.

    下面證明若不成立,則由定義5及引理1知,存在φ∈Y*,使得對任意的U,V∈N(0Y),有:

    無界.取k>0,δ>0,使εt-δ>0,令:

    于是,存在λn>0,xn∈X,yn∈F(xn),cn∈C,μn≥0,un∈,vn∈,bn∈B使:

    由(4),(5)式可知存在一正整數(shù)N,使:

    由Ψ*∈Bst,ε∈C知λnΨ*(ε)≥0,于是由(6)式得:

    特別有:

    由λN>0及(8)式得:

    其中:(xN,yN+cN)∈epi F?,上式與(3)式矛盾.

    有界.這等價于:φ[clcone(∪x∈X(F(x)-0(x-)p+ε-))∩(U-cone(V+B))]有界,因此0X*∈?ε-GF,)p.

    證明 必要性.由B為C的有界基及引理3知,存在t>0,使Bst≠φ.設(shè)φ0∈Bst,由φ*∈?ε-GF(,)p及引理1知,對上述的φ0∈Bst,?U0,V0∈N(0Y),使:

    有界.由于F在X上是C-凸的,故∪x∈X(F(x)-φ*(x-)p+ε-+C)為凸集,于是cone(∪x∈X(F(x)-φ*(x-)p+ε-+C))是凸錐,于是,由文獻(xiàn)[10]中定理2.2知,存在ξ∈(cone(v0+B))*及

    由U-B是開凸集,則:

    由 cone(∪x∈X(F(x)- φ*(x-)p+ε-+C))是凸集知,clcone(∪x∈X(F(x)-φ*(x-)p+ε-+C))是凸集,由凸集分離定理知,存在Ψ*∈Y*{0Y*}使得:

    由 clcone(∪x∈X(F(x)- φ*(x-x)p+ε-y+C))是錐及Ψ*在其上有下界,得:

    由0∈clcone(∪x∈X(F(x)-φ*(x-)p+ε-+C))及(11)式,得:

    因?yàn)棣?≠0,則存在u0∈U,使得Ψ*(u0)=t>0,在(13)式中取u0∈U,得ψ*(B)≥Ψ*(u0)=t即Ψ*∈Bst.由0∈C及(12)式,有:Ψ*(y-φ*(x-)p+ε-)≥0(?x∈X,y∈F(x)),即:

    2)充分性.設(shè)存在Ψ*∈Bst,使(9)式成立.若φ*??ε-GF(,)p,則存在φ1∈Y*,使得?U,V∈N(0Y),有:φ1[cone(∪x∈X(F(x)- φ*(x-)p+ε-))∩(U-cone(V+B))]無界.取k>0,δ>0,令,則,,,∈N(0Y).令 U~=V~=∩V^∈N(0Y),對 U~,V~∈N(0Y),存在

    滿足φ1(wn)→∞.將wn表示為:

    其中:tn≥0,sn≥0,yn∈F(xn),un∈,vn∈,bn∈B.而B有界及φ1(wn)→∞,因此,sn→+∞.

    由于Ψ*(b+v)>t+δ-t>0,?v∈ V~,b∈B,于是存在n0,當(dāng)n>n0時,有:

    于是Ψ*(tn(yn-φ*(xn-)p+ε-))<0.由于tn≥0,故Ψ*(yn-+ε)< φ*(xn-)Ψ*(p),此與(9)式矛盾.

    3 穩(wěn)定性

    設(shè)Z為拓?fù)渚€性空間,Ω?Z是Z中半徑為r的球.S:Ω→2X,F(xiàn):X×Ω→2Y為兩集值映射,考慮參

    數(shù)擾動集值優(yōu)化問題:

    由參數(shù)優(yōu)化問題的ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集定義的集值映射如下:

    定理4 令B為C的有界基,設(shè)F:X×Ω→2Y為C-凸的集值映射,S(q)為凸的集值映射.如果對任意的q∈Ω,F(xiàn)(S(q),q)?ε-GE(q)+CW(B).給定p∈int C,只要ε-GE(q)滿足引理2中的一個條件,則對任意的q∈Ω,集值映射ε-GE(q)關(guān)于向量p是ε-強(qiáng)有效次可微的.

    又因S(q)是凸的,所以:

    因此,F(xiàn)(S(q),q)在Ω上是C-凸的.

    再注意到F(S(q),q)?ε-GE(q)+CW(B),所以就有:

    再利用F(S(q),q)?ε-GE(q)+CW(B),并且由假設(shè)ε-GE(F(S(q),q),CW(B))≠φ可知:

    所以,集值映射ε-GE(q)滿足定理1的條件,由此知結(jié)論成立.

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