逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探析

蘇尼來

（赤峰學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

思維是人對(duì)客觀事物的本質(zhì)特點(diǎn)和內(nèi)在規(guī)律的反映，是人的理性認(rèn)識(shí)的過程.根據(jù)思維過程的指向性，可以將思維分為正向思維和逆向思維.正向思維是指在思考數(shù)學(xué)問題時(shí)，按通常思維的方向進(jìn)行.而逆向思維是從已知問題的相反問題著手解決原問題，其采用了與正常的思維方式完全相反的一種思維方式，“反其道思之”.所以在數(shù)學(xué)解題過程中，我們也可以采用與常規(guī)思想不同的逆向思維思考問題，順推解決不了問題就考慮逆推，直接解決不了就考慮間接，正面不好討論的問題就討論其相反面.

逆向思維也是創(chuàng)造思維的一個(gè)組成部分.在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維的培養(yǎng)對(duì)于提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析問題，解決問題的能力有很大的幫助.其在數(shù)學(xué)解題或研究中時(shí)常會(huì)遇到，比如利用逆用定義，逆用公式和法則等方式解決問題，證明題中常用的反證法運(yùn)用的也是這樣一種思維方式.本文試圖從以下幾個(gè)方面來闡述逆向思維在解題中的重要性.

1 逆用定義

在數(shù)學(xué)解題過程中定義的作用不可替代，它是解題的航標(biāo).而定義的逆用在解題過程中也時(shí)常遇見.只要我們重視定義的逆用，進(jìn)行逆向思維，有些題目的解決會(huì)很容易.

例1 解不等式|x-2|<1.

分析 掌握了絕對(duì)值的概念后，我們知道，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.如|3|=3,|-3|=3.|0|=0.于是我們應(yīng)想到絕對(duì)值等于3的數(shù)有幾個(gè)？而如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，這兩個(gè)數(shù)可能是什么關(guān)系？如果是一個(gè)式子的絕對(duì)值，在去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)可能出現(xiàn)什么樣的情況？

解 由題

當(dāng)x-2>0即x>2時(shí)

有|x-2|=x-2

此時(shí)原不等式等價(jià)于x-2<1

解得x<3

而當(dāng)x-2<0即x<2時(shí)

有|x-2|=2-x

此時(shí)原不等式等價(jià)于2-x<1

解得x>1

綜上可以得出原不等式的解為1

分析 若x是方程ax2+bx+c=0的根，則有ax2+bx+c=0.那么若ax2+bx+c=0，則x是方程ax2+bx+c=0的根，所以可以根據(jù)方程根定義的可逆性解答此題.

解 由已知條件可知

又因?yàn)?/p>

所以

因此由韋達(dá)定理可知

所以

例 3 設(shè) f(x)=9x-3x+1，求 f-1(0)

分析 我們通常的思路是先求出f(x)=9x-3x+1的反函數(shù)，然后再把0代入求出f-1(0)的值，顯然這樣做過程有些煩瑣.但是如果逆用反函數(shù)定義，令f(x)=0那么解出x的值就是為f-1(0)的值.

解 由題 令f(x)=0，即9x-3x+1=0

解得x=1

所以根據(jù)反函數(shù)定義f-1(0)=1.

2 公式的逆應(yīng)用

公式的運(yùn)用在數(shù)學(xué)解題過程中是非常重要的一部分，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用公式也是一種數(shù)學(xué)能力.我們運(yùn)用公式時(shí)大都習(xí)慣遵循著由左向右順序.可是有些問題不能運(yùn)用公式正面解決，那么逆用公式也是重要的數(shù)學(xué)方法.

例1 計(jì)算20002-19992+19982-19972+……+22-1.

分析 觀察原式的式子特點(diǎn)可考慮逆用平方差公式，這樣會(huì)使運(yùn)算過程簡(jiǎn)化.

又

且

所以

因此

3 利用逆向思維求函數(shù)值域

在函數(shù)這一部分學(xué)習(xí)中，求函數(shù)的定義域和值域是很重要的內(nèi)容，但有時(shí)候通過一些函數(shù)的性質(zhì)定義域很容易求出，可是值域卻不容易得出.于是我們可以利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而求得反函數(shù)的值域.

其反函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

4 反證法

一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明按其所證的對(duì)象是原命題還是其等價(jià)命題分為直接證法和間接證法.證明原命題稱為直接證法，證明原命題的等價(jià)命題稱為間接證法.反證法就是一種間接證法，是許多問題在用直接證法很難解決時(shí)常常被采用的證法.這是一個(gè)很好的思想，很好的體現(xiàn)了哲學(xué)中的“矛盾”思想，也就是任何一個(gè)矛盾都存在著對(duì)立統(tǒng)一的兩方面，一方的轉(zhuǎn)化或消失，矛盾便不存在.“反證法”在我們探索數(shù)學(xué)的性質(zhì)過程中，應(yīng)當(dāng)引起我們高度重視，正面想不出，從事情的反面考慮，也許就很容易得到想要的結(jié)果.

反證法證明問題的基本程序：

1 假定所要證的結(jié)論不成立,而設(shè)命題的反面成立.

2 用反設(shè)做條件,通過已知的定理,定義進(jìn)行正確的推理,導(dǎo)出矛盾

3 因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的錯(cuò)誤.既然結(jié)論的反面不成立，那么結(jié)論成立.

例1 圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

分析 假設(shè)兩條不是直徑的相交弦能互相平分，那么交點(diǎn)到兩條弦在圓上的點(diǎn)的距離相等，所以交點(diǎn)為圓心.又因?yàn)檫@兩條相交弦不是直徑，所以圓還有一個(gè)圓心，這樣同一個(gè)圓有兩個(gè)圓心，而這不可能，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

例 2 已知 a>0，b>0，a+b>2,求證中至少有一個(gè)小于2.

分析 本題顯然用一般的方法去思考會(huì)非常復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)三種需要考慮的結(jié)果.因此，我們不妨從反面著手，用反證法來證明.

則

因?yàn)?/p>

所以

因此

即

這與a+b>2矛盾，故假設(shè)不成立.

5 分析法

在解決數(shù)學(xué)問題過程中，從題設(shè)出發(fā)，根據(jù)已有的定理和公式推出要證的結(jié)論，稱為綜合法.但是在解題過程中，有一些問題的解決用綜合法很難得到解決，有些問題如果從條件出發(fā)往往會(huì)感到無從下手.但是若從命題的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行推理，最后達(dá)到已知條件，問題就很容易得到解決.這就是分析法.

分析法在不等式證明中的作用尤為突出.我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步尋找使不等式成立的充分條件，直到所需要的條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立.

例 求證3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2

證明 因?yàn)?/p>

而

所以原不等式兩邊可約去1+a+a2得

移項(xiàng)得2-4a+2a2≥0

即2(1-a)2≥0

因?yàn)?(1-a)2≥0成立，以上每一步都可逆，所以原不等式成立.

逆向思維在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，這就要求我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中.遇到難題時(shí)不要退縮，要大膽創(chuàng)新，加強(qiáng)逆向思維的培養(yǎng).在數(shù)學(xué)中，培養(yǎng)可逆思維能力的途徑還有很多，還需要我們不斷的探索，從而真正從思想高度上理解自己所學(xué)的知識(shí).

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