四階微分系統(tǒng)廣義主次譜之比的下界

黃振明

(蘇州市職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)部，江蘇蘇州215104)

考慮如下四階微分系統(tǒng)廣義譜的估計(jì)問題

其中(a，b)R是一個(gè)有界開區(qū)間，pij(x)∈C2［a，b］，qij(x)∈C［a，b］，wij(x)∈C1［a，b］，且滿足pij(x)=pji(x)，qij(x)=qji(x)，wij(x)=wji(x)(i，j=1，2，…，n)，為方便推導(dǎo)，令

利用上述矩陣和向量記號，首先將微分系統(tǒng)(1)寫成如下等價(jià)的矩陣形式

在推導(dǎo)定理的過程中還需用到如下條件:對任意n維向量ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T有

上述μi，vi(i=1，2)均為正常數(shù)，T表示轉(zhuǎn)置.

微分方程的離散譜問題是微分方程譜理論領(lǐng)域一個(gè)重要的研究課題，自從法國數(shù)學(xué)家Sturm和Liouville提出了有關(guān)離散譜函數(shù)空間理論之后，譜問題受到了越來越多的關(guān)注，特別是近數(shù)十年來，許多數(shù)學(xué)工作者運(yùn)用Sturm－Liouville理論，對實(shí)際問題中產(chǎn)生的單個(gè)微分方程(如梁橫向振動方程、重調(diào)和方程等)進(jìn)行了譜估計(jì)，并取得了一系列成果，有關(guān)結(jié)論可查閱文獻(xiàn)［1－8］，但對于比較復(fù)雜的問題，為了更精確地描述它的自然現(xiàn)象，在歸結(jié)方程時(shí)，就必須考慮更多的因素和它們之間的相互作用，其數(shù)學(xué)模型一般需要用微分方程組來表示。例如，在一定條件下，諧振回路的數(shù)學(xué)模型就可用四階微分方程組來表示。為此，筆者討論上述由任意多個(gè)方程構(gòu)成的方程組(2)的廣義譜估計(jì)，參照文獻(xiàn)［1］的討論方法，獲得了關(guān)于問題(2)的主次離散譜之比的下界估計(jì)不等式，且其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的幾何度量無關(guān)，文獻(xiàn)［2］討論的四階微分方程廣義譜問題僅是本文問題(2)當(dāng)時(shí)的特例，因此問題(2)的廣義譜估計(jì)結(jié)果可視為文獻(xiàn)［2］結(jié)論的進(jìn)一步推廣，在物理學(xué)和力學(xué)，特別是解決工程技術(shù)中的振動問題和穩(wěn)定性問題時(shí)有著一定的參考價(jià)值［9－11］，同時(shí)，本文的工作對進(jìn)一步討論高階常微分系統(tǒng)乃至偏微分系統(tǒng)的離散譜問題也有一定的啟迪作用，主要結(jié)果如下.

定理1 設(shè)λ1，λ2分別是問題(2)的主、次離散譜，且0＜λ1＜λ2，則有

首先，說明問題(2)的離散譜λ都為正實(shí)數(shù)，在(2)兩端乘u，再在區(qū)間(a，b)上積分，利用(3)、(4)和分部積分公式，并利用邊界條件，可得

另外，由問題(2)中邊界條件和(5)，可得

由(6)和(7)可知，λ為非負(fù)實(shí)數(shù).

另一方面，λ不會等于零，否則由(6)知，u″=0，可推得u=c1+c2x(其中c1，c2為任意n維常向量)，代入邊界條件u(a)=u'(a)=0，即得c1=c2=0，也即u≡0，而這與特征向量為非零向量矛盾，所以λ=0.

設(shè)問題(2)的主、次譜分別為λ1和λ2，由上面的討論知道，它們滿足0＜λ1≤λ2，記對應(yīng)于λ1的特征向量為u，且滿足對上式分部積分得

利用(5)和(8)，得

由(6)和(8)，得

從(11)知，φ與u廣義正交，且滿足奇次邊界條件φ(k)(a)=φ(k)(b)=0(k=0，1)，由Rayleigh商的最小化性質(zhì)可得

利用φ的定義和(2)，計(jì)算可得

φ″=(x－q)u″+2u'.

(P(x)φ″)″=(x－q)(P(x)u″)″+2(P(x)u″)'+2(P(x)u')″

(P(x)φ″)″+Q(x)φ =(x－q)［(P(x)u″)″+Q(x)u］+2(P(x)u″)'+2(P(x)u')″=－λ1(x－q)(W(x)u')'+2(P(x)u″)'+2(P(x)u')″.

上式兩端同乘φ并在［a，b］上積分可得

另一方面，利用分部積分和恒等式(x－q)u'=φ'－u，可得

根據(jù)(13)和(14)，得

由(15)，得

利用(12)和(16)，有

下面估計(jì)積分I1+I2+I3的上界和積分的下界.

引理1 設(shè)u是問題(2)對應(yīng)于主譜λ1的特征向量，則

證明 利用式(3)、(5)、(6)、Cauchy－Schwartz不等式和基礎(chǔ)不等式有

表15和16給出了LAS及本文方法的迭代過程及設(shè)計(jì)點(diǎn)處可靠度值。表17給出了本文方法迭代點(diǎn)處的局部采樣半徑值?？梢钥闯?，相較于LAS方法，本文方法每次迭代所需的樣本點(diǎn)更少，最終求解也更為準(zhǔn)確。

則引理1得證.

引理2 設(shè)λ1是問題(2)的主譜，則

證明 利用分部積分和φ的定義，計(jì)算可得

通過推算，類似可得

結(jié)合(18)、(19)和(20)，有

引理3 對于上述定義的φ與λ1，下列估計(jì)式成立

證明 利用分部積分和φ的定義，有

由(22)，可得恒等式

利用(5)、(9)、(10)、(23)和 Cauchy－ Schwartz不等式得

整理上式，即得引理3.

定理1的證明

將引理2的估計(jì)結(jié)論代入(17)得到

再將引理3的估計(jì)不等式代入(24)，經(jīng)化簡整理即得定理1的結(jié)論.

注1 特別地，當(dāng)微分系統(tǒng)(2)中P(x)、W(x)為數(shù)量矩陣時(shí)，有μ1=μ2，v1=v2，此時(shí)，由定理1可得到更簡潔的用主譜估計(jì)次譜上界的不等式

注2 至于微分系統(tǒng)(2)在其它邊界條件下是否有類似定理1的估計(jì)結(jié)論還有待于進(jìn)一步研究.

［1］曾維國，錢椿林.斯圖姆－劉維爾問題的特征值［J］.工科數(shù)學(xué)，1992，8(1):28－32.

［2］黃振明.一類四階微分方程第二廣義譜的估計(jì)［J］.三明學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，28(5):13－16.

［3］陳祖墀，錢椿林.任意階Laplace算子的離散譜估計(jì)［J］.中國科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1990，20(3):259－265.

［4］賈高.梁橫向振動方程的特征值估計(jì)［J］.安徽大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，21(2):29－33.

［5］金光宇，錢椿林.四階常微分方程的特征值估計(jì)［J］.蘇州絲綢工學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，16(4):115－119.

［6］韓秋敏，錢椿林.六階某類微分方程第二特征值的上界［J］.蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，15(4):26－30.

［7］盧亦平，錢椿林.微分方程帶一般權(quán)的第二特征值的上界估計(jì)［J］.長春大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，19(10):7－10.

［8］Hile G N，Yeh R Z.Inequalities for Eigenvalues of the Biharmonic Operator［J］.Pacific J Math，1984，112(1):115 －132.

［9］Protter M H.Can one hear the shape of a drum［J］.SIAM Rev.1987，29(2):185 －197.

［10］Hook S M.Domain independent upper bounds for eigenvalues of elliptic operator［J］.Trans Amer Math Soc，1990(318):615－642.

［11］Mark S A.The universal eigenvalue bounds of Payne－Polya－Weinberger，Hile－Protter，and H C Yang［J］.Proc.Indian Acad.Sci.Math.Sci.，2002，112(1):3 －30.