切比雪夫多項(xiàng)式在精密星歷擬合中的應(yīng)用

張 奇李慕清李立瑞賴山東

（1.中南電力設(shè)計(jì)院 湖北武漢 430000；2.江西省基礎(chǔ)測繪院 江西南昌 330001）

切比雪夫多項(xiàng)式在精密星歷擬合中的應(yīng)用

張 奇1李慕清1李立瑞1賴山東2

（1.中南電力設(shè)計(jì)院 湖北武漢 430000；2.江西省基礎(chǔ)測繪院 江西南昌 330001）

在GPS高精度定位中，通常采用精密星歷來獲取觀測衛(wèi)星的位置。而當(dāng)前一些國際組織發(fā)布的精密星歷的采樣率有限，因此，在GPS數(shù)據(jù)后處理中，用戶需要采用一定的方法才能獲得任意時(shí)刻衛(wèi)星的位置。采用切比雪夫正交多項(xiàng)式來擬合衛(wèi)星的軌道，其精度完全符合要求。

精密星歷擬合；切比雪夫

1 引言

在GPS測量中，衛(wèi)星坐標(biāo)的計(jì)算是一項(xiàng)基本的工作。目前主要利用廣播星歷和精密星歷來獲取衛(wèi)星的位置信息，前者是調(diào)制在導(dǎo)航電文中通過衛(wèi)星實(shí)時(shí)播發(fā)給用戶，其精度較低，約為2m，難以滿足高精度定位用戶的要求。鑒于此，IGS (TheInternationalGNSSService，國際GNSS服務(wù))等國際組織發(fā)布了GPS精密星歷，其最終精度優(yōu)于5cm，被廣泛應(yīng)用于高精度定位中。然而，IGS精密星歷是以15分鐘的采樣率給出衛(wèi)星在ITRF(InternationalTerrestrial ReferenceFrame，國際地球參考框架)中的三維坐標(biāo)及衛(wèi)星鐘差，在GPS數(shù)據(jù)后處理中用戶需要選擇合適的方法才能獲得任意時(shí)刻觀測衛(wèi)星的位置信息。本文將采用切比雪夫正交多項(xiàng)式來擬合GPS衛(wèi)星軌道，并對其精度進(jìn)行分析。

2 切比雪夫多項(xiàng)式擬合的原理

切比雪夫多項(xiàng)式擬合就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)擬合出一個函數(shù)，使其在給定點(diǎn)的函數(shù)值與給定值之間的方差和最小，且該函數(shù)是以切比雪夫多項(xiàng)式為基函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)。第一類切比雪夫多項(xiàng)式定義為：

本文主要采用第一類切比雪夫多項(xiàng)式為基函數(shù)來擬合衛(wèi)星軌道，以下簡稱切比雪夫多項(xiàng)式。

GPS衛(wèi)星的軌道變化是一個連續(xù)的過程。因此，可以將衛(wèi)星星歷表示為時(shí)間的一個函數(shù)，將一定時(shí)間間隔的衛(wèi)星坐標(biāo)擬合成一個關(guān)于時(shí)間的多項(xiàng)式，在以后需要計(jì)算衛(wèi)星坐標(biāo)時(shí)只要調(diào)出多項(xiàng)式系數(shù)就可以計(jì)算得到衛(wèi)星坐標(biāo)，這大大提高了數(shù)據(jù)處理的效率。

假設(shè)需要在時(shí)間間隔［t0，t0+△t］內(nèi)計(jì)算n階切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。其中t0為起始?xì)v元時(shí)刻，△t為擬合時(shí)間區(qū)間的長度。首先將變量t∈［t0，t0+△t］變換成τ∈［-1，1］：

則衛(wèi)星的坐標(biāo)X、Y、Z可表示為：

式中，n為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)。CXi、CYi、CZi分別為X坐標(biāo)分量、Y坐標(biāo)分量、Z坐標(biāo)分量的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。

切比雪夫多項(xiàng)式Ti可以根據(jù)遞推公式求得

下面僅以X坐標(biāo)分量為例敘述求解切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)的步驟。

根據(jù)精密星歷提供的τk（k=1，2…m）時(shí)刻的衛(wèi)星位置（Xk，Yk，Zk）組成坐標(biāo)文件。設(shè)Xk為觀測值，則誤差方程為

則誤差方程可寫為：V=BM-L

由最小二乘原理可得：M＝（BTB）-1BTL

同理，Y、Z分量的切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)也可求得。根據(jù)求得的切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)CXi、CYi、CZi和式（2）、（3）和（4）即可求得計(jì)算區(qū)間［t，t+△t］內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。

3 算例分析

本文采用從中國地殼運(yùn)動觀測網(wǎng)絡(luò)（www.igs. org.cn）下載的2008年3月20日全天的精密星歷數(shù)據(jù)（SP3格式）進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)包括32顆衛(wèi)星的精密坐標(biāo)，采樣率為15分鐘?，F(xiàn)把PG02衛(wèi)星的坐標(biāo)數(shù)據(jù)擬合成采樣間隔為1分鐘的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。

為了驗(yàn)證算法的精度，采用擬合差表示算法的精度，擬合差是指精密星歷提供的坐標(biāo)值與對應(yīng)時(shí)刻的擬合值的差值。如圖1為采用15階切比雪夫多項(xiàng)式時(shí)X、Y、Z分量的擬合差值圖，橫軸為時(shí)刻（從0時(shí)到23時(shí)45分，用累計(jì)分鐘數(shù)表示時(shí)刻），縱軸為擬合差，單位為米。

從圖1可以看出，15階切比雪夫擬合多項(xiàng)式的精度比較低，只能達(dá)到米級。由于切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)與所選取的時(shí)間間隔都會對擬合精度產(chǎn)生影響，下面將對兩者分別進(jìn)行試驗(yàn)分析。圖2、圖3和圖4分別18、20、25階時(shí)X分量的擬合差值圖（擬合時(shí)間間隔為1分鐘）。

圖1 采用15階切比雪夫多項(xiàng)式時(shí)X、Y、Z分量的擬合差值圖

圖2 采用18階切比雪夫多項(xiàng)式時(shí)X分量的擬合差值圖

圖3 采用20階切比雪夫多項(xiàng)式時(shí)X分量的擬合差值圖

圖4 采用25階切比雪夫多項(xiàng)式時(shí)X分量的擬合差值圖

從圖2、圖3和圖4可以看出，擬合階數(shù)越高，擬合差越小，擬合精度越高。本例中當(dāng)取到21階時(shí)，擬合差已經(jīng)達(dá)到厘米級；取到25階時(shí)，擬合差已經(jīng)達(dá)到毫米級，滿足實(shí)際應(yīng)用的要求，繼續(xù)增加擬合階數(shù)，已經(jīng)沒有實(shí)際意義。

當(dāng)固定擬合階數(shù)為20階時(shí)，分別選取1分鐘、3分鐘、5分鐘的時(shí)間間隔，分量的擬合差如圖5、圖6和圖7。

圖5 采用20階切比雪夫多項(xiàng)式1分鐘時(shí)間間隔時(shí)X分量的擬合差值圖

圖6 采用20階切比雪夫多項(xiàng)式3分鐘時(shí)間間隔時(shí)X分量的擬合差值圖

圖7 采用20階切比雪夫多項(xiàng)式5分鐘時(shí)間間隔時(shí)X分量的擬合差值圖

從圖5、圖6、圖7可以看出，分別取1分、3分、5分的時(shí)間間隔時(shí)，擬合差值圖沒有變化。在計(jì)算中也發(fā)現(xiàn)，時(shí)間間隔對擬合差值影響不大。

4 結(jié)論

從以上的算例分析中可以得到以下結(jié)論：

4.1 利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合精密星歷是可行的，當(dāng)取到一定階數(shù)后，精度能滿足要求；

4.2 在本文的算例分析計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)越高，擬合精度越高。如本例中，當(dāng)階數(shù)從20增加到25時(shí)，擬合精度從分米級提高到毫米級；

4.3 在本文算例中，擬合時(shí)間間隔的大小對擬合精度影響不大；而擬合時(shí)間間隔對任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)精度的影響程度，由于不知道真實(shí)的衛(wèi)星坐標(biāo)，其大小也未知；

(4)本文的結(jié)論都是基于試驗(yàn)得到的，在實(shí)際的計(jì)算中，擬合階數(shù)取到多少才合適還應(yīng)根據(jù)具體的試驗(yàn)確定。

［1］李慶揚(yáng)，王能超，等.數(shù)值分析［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2001.

［2］余鵬，孫學(xué)金，趙世軍.GPS定位中衛(wèi)星坐標(biāo)計(jì)算的切比雪夫多項(xiàng)式擬合法［J］.氣象科技.2004年6月，第32卷，第3期.