分析力學(xué)方法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用

張波

(中煤科工集團(tuán)重慶研究院，重慶 400039)

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分析力學(xué)方法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用

張波

(中煤科工集團(tuán)重慶研究院，重慶 400039)

摘要：分析力學(xué)中，在構(gòu)建剛體的運動微分方程時，使用拉格朗日方程非常方便，因為借助拉格朗日方程來建立運動微分方程時，只需寫出系統(tǒng)的動能和勢能。現(xiàn)以鐵木辛柯梁和小撓度矩形薄板為研究對象，沿用分析力學(xué)的方法，實現(xiàn)了分析力學(xué)方法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：分析力學(xué)；彈性力學(xué)；鐵木辛柯梁；小撓度矩形薄板；撓曲線方程；最小勢能原理

0引言

在經(jīng)典的彈性力學(xué)書籍中[1-3]，變分原理是應(yīng)用最為廣泛的一個原理，可是在實際模型中，對能量函數(shù)進(jìn)行變分還是相對繁瑣，能不能用一些方程取代這些復(fù)雜的變分過程，讓應(yīng)用者有公式可套，就像在分析力學(xué)一樣，只要列出系統(tǒng)的動能和勢能，借助拉格朗日方程轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的運動微分方程即可確立。

與此同時，文中所提到的外力勢能，擺脫了邊界條件產(chǎn)生的外力勢能，即邊界條件并不參與方程的建立，它只參與方程的求解。這與彈性力學(xué)變分原理有些不同，因為在彈性力學(xué)變分原理中邊界條件產(chǎn)生的外力勢能也參與變分。在后文的工程應(yīng)用中將體現(xiàn)這種思路，同時這種思路與分析力學(xué)也相吻合，因為在分析力學(xué)中初始條件只是在方程求解時發(fā)揮了作用，而并沒有參與方程的構(gòu)建。

文中建立了兩個一般性的歐拉方程，并對其作出了數(shù)學(xué)證明，借助這兩個方程，鐵木辛柯梁和小撓度矩形薄板的撓曲線方程很快就能建立。

在方程求解方面，狀態(tài)空間法[4-6]為求解彈性體的精確解析解開辟了新思路。然而狀態(tài)空間法需要構(gòu)建哈密頓矩陣，并求出其零本征值的本征向量和非零本征值的本征向量，這并不是件容易的事。介紹另一種能精確求解鐵木辛柯梁解析解的方法，即參數(shù)法，高等數(shù)學(xué)對這種方法有過闡述，但那只是對一維問題的求解，將其引用到二維問題中來，當(dāng)然實際應(yīng)用時還可以將其拓展到更高維的問題中去。

1數(shù)學(xué)模型分析

第一類泛函：

K=

這個泛函取極值時應(yīng)滿足的條件為：

其中：∈η(x,y)在邊界時函數(shù)值為零。

根據(jù)偏導(dǎo)順序可調(diào)換有：

根據(jù)偏導(dǎo)順序可調(diào)換有：

根據(jù)偏導(dǎo)順序可調(diào)換有：

xdy=

由格林公式[7]導(dǎo)出：

∮(Aηdy-Bηdx)=xdy+xdy

由于邊界積分為0, 故等式左邊為0，那么有：

xdy=-xdy

由格林公式導(dǎo)出：

由于邊界積分為0, 故等式左邊為0，那么有：

xdy=-xdy

再由格林公式導(dǎo)出：

由于邊界積分為0, 故等式左邊為0，那么有：

-xdy=xdy

即有：

xdy=xdy

同理：

xdy=xdy

xdy=xdy

得證：

第二類泛函：

其中：∈η(x),∈ε(x)在邊界時函數(shù)值為零。

根據(jù)偏導(dǎo)順序可調(diào)換，有：

(1)

由于邊界積分為0,那么式(1)為：

2工程應(yīng)用

1) 列出在分布力q(x，y)作用下小撓度矩形薄板的撓曲線方程(x0z平面內(nèi))。q(x,y)方向向下，I為板截面繞中性軸的慣性矩,E為材料的楊氏模量，G為材料的剪切模量，μ為泊松比。

解：先將板在橫截面上分成N份(單位面積)。

每份的外力勢能為：T=-qw

每份的變形勢能為：

V=∫vWdv=∫ΩWdΩ

其中W為板的應(yīng)變比能，根據(jù)根據(jù)基爾霍夫假設(shè)[1]及應(yīng)變和位移的幾何關(guān)系可導(dǎo)出：

令：

故矩形薄板在外力作用下的總勢能為：

根據(jù)最小勢能原理δS=0及已證第一類泛函取極值的條件，得小撓度矩形薄板的撓曲線方程為：

2) 求解縱橫載荷聯(lián)合作用下“鐵木辛柯梁”的撓曲線方程(x0z平面內(nèi))。其中橫向載荷為分布力q(x)及分布外力矩M0(x),q(x)方向向下，M0(x)為順時針，縱向載荷為拉力F。A為橫截面面積，I為梁截面繞中性軸的慣性矩,E為材料的楊氏模量，G為材料的剪切模量，μ為泊松比。

解：先將長度為L的梁在長度方向上分成N份(單位長度)。

由于鐵木辛柯梁需考慮剪切變形的影響，故引入兩個廣義位移：梁軸線的撓度w(x)及橫截面轉(zhuǎn)角θ(x)。

由微弧分公式有：

撓度作用下的軸向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

每份的外力勢能為：

每份的變形勢能為：

其中W為鐵木辛柯梁的應(yīng)變比能，根據(jù)應(yīng)變和位移的幾何關(guān)系有：

參考文獻(xiàn)一般假定橫截面上的切應(yīng)力為常數(shù)，但實際并非如此，因此引入剪切修正系數(shù)k，具體可[2] ,其中k與截面有關(guān)。故：

令：

故鐵木辛柯梁在外力作用下的總勢能為：

根據(jù)最小勢能原理δS=0及已證第二類泛函取極值的條件，得“鐵木辛柯梁”的撓曲線方程為：

EI2θ+KGA=-M0(x)

將該方程組寫成矩陣形式：

(2)

其中：

將式(2)寫成矩陣形式為：

(3)

令：

那么：

(4)

將式(4)化為積分方程[8]:

(5)

已經(jīng)化簡到了這一步，計算交由電腦來完成。MATLAB是一個很好的工具，在MATLAB中可以直接調(diào)用expm來處理矩陣函數(shù)eAx，int來處理積分函數(shù)，利用文獻(xiàn)[9]的庫程序可以求出S(x)的表達(dá)式。A是一個四階矩陣，求解速度很快。

3結(jié)論

1) 文中列方程的思路幾乎與分析力學(xué)中列運動學(xué)微分方程的思路一模一樣，這一點在實例中得到了很好的體現(xiàn)。通過對鐵木辛柯梁和小撓度矩形薄板的研究，實現(xiàn)了分析力學(xué)方法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用。

2) 已經(jīng)證明的兩個方程是基本方程，其橋梁作用在實例中也已經(jīng)得到了很好的體現(xiàn)。但是這兩個方程不應(yīng)只局限于這兩個模型，它們的作用應(yīng)該得到拓展。即只要所求系統(tǒng)的能量函數(shù)在結(jié)構(gòu)上與這兩個方程類似，那么在構(gòu)建方程時就可以借助這兩個方程。

3) 可以看到，在構(gòu)建撓曲線方程時，邊界條件并沒有參與方程的構(gòu)建。這樣的思考來源于兩點：一是這一類問題都是邊界已知的變分問題，即只發(fā)生彈性變形；二是由于彈性體是一個連續(xù)系統(tǒng)，那么在彈性體中任何一點的撓曲線方程應(yīng)該是連續(xù)的，邊界處也不例外。

4) 在求解鐵木辛柯梁的方程時，借助參數(shù)法，實現(xiàn)了高階微分方程向低階微分方程轉(zhuǎn)化的思路。當(dāng)然參數(shù)法還可以應(yīng)用到其他問題中去，比如多自由度系統(tǒng)的線性振動問題，求解其振動響應(yīng)也是非常的便捷。

[1] 楊伯源，張義同. 工程彈塑性力學(xué)[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.10.

[2] 付寶連. 彈性力學(xué)中的能量原理及其應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社，2004.

[3] 姚偉岸，鐘萬勰. 辛彈性力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2002.4.

[4] 鐘萬勰. 分離變量法與哈密頓體系[J]. 計算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用，1991，8(3).

[5] 徐新生，邱文彪，付月，等. 辛方法在彈性圓板屈曲問題中的應(yīng)用[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2009，9(3).

[6] 鐘陽，李銳，劉月梅. 四邊固支矩形彈性薄板的精確解析解[J]. 力學(xué)季刊，2009，6(2).

[7] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)第六版下冊[M]. 北京：高等教育出版社，2007.6.

[8] 史榮昌,魏豐. 矩證分析[M]. 北京: 北京理工大學(xué)出版社,2005.

[9] 陳懷琛,龔杰民. 線形代數(shù)實踐及MATLAB入門[M]. 北京:電子工業(yè)大學(xué)出版社,2009.1.

Application of Analytic Mechanics Method in Elasticity Theory

ZHANG Bo

(China Coal Technology Engineering Group Chongqing Research Institute, Chongqing 400039, China)

Abstract:In analytic mechanics, when differential equations of motion of rigid body are constructed, the Lagrange equation is chosen. Since the differential equation of motion is established with the aid of the Lagrange equation, it only needs writing the kinetic and potential energy of the system. This article takes the Timoshenko beams and small deflection thin plate as the research objects and the analytic mechanics method is applied to the elasticity theory.

Keywords:analytical mechanics; elastic mechanics; timoshenco beam; small deflection thin plate; equation of deflection curve; theorem of minimum potential energy

收稿日期：2014-11-29

中圖分類號：TB125

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-5276(2015)03-0071-04

作者簡介：張波(1985-)，男，江西吉安人，碩士研究生，主要從事生產(chǎn)技術(shù)管理工作。