灰色模型在疲勞壽命預測中的應用

王海山，劉峰，曹燕龍，陳金池

(遼寧石油化工大學，遼寧 撫順 113001)

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灰色模型在疲勞壽命預測中的應用

王海山，劉峰，曹燕龍，陳金池

(遼寧石油化工大學，遼寧 撫順 113001)

摘要：疲勞壽命預測的問題是疲勞研究中的重要課題。影響疲勞壽命的因素多且復雜，利用灰色理論方法進行疲勞壽命預測，提出了非等間距GM(1,1)模型和中心逼近式GM(1,1)模型兩種預測疲勞壽命的方法。通過對實驗數(shù)據(jù)進行分析和整理，然后建立微分方程，利用MATLAB軟件計算得到灰色預測值。與實驗數(shù)據(jù)值進行比較，得出結果表明灰色模型方法具有很高的預測精度，證明灰色理論是一種簡單可行的、可靠的分析方法。

關鍵詞：疲勞壽命；灰色理論；非等間距GM(1,1)模型；中心逼近式GM(1,1)模型

0引言

材料的疲勞是指材料在循環(huán)載荷作用下所發(fā)生的性能的變化。美國ASTM對疲勞定義為：在某點或某些點承受足夠多的循環(huán)擾動之后，形成裂紋或者完全斷裂的材料中所發(fā)生的局部性、永久性的結構變化的發(fā)展過程[1]。因為影響疲勞壽命的因素眾多，并且某些因素對疲勞壽命的影響是未知或不確定的[2]，所以準確預測疲勞壽命十分困難，這是疲勞壽命問題沒有得到解決的原因。目前，預測材料疲勞壽命的方法很多，但是很多是建立在確定性理論的基礎上的，由于實驗數(shù)據(jù)的缺乏而無法預測。然而，灰色理論把疲勞現(xiàn)象看作一個小樣本、貧信息的不確定性系統(tǒng)，所需要的實驗數(shù)據(jù)少，真實地反映了疲勞現(xiàn)象的客觀規(guī)律，為疲勞壽命的預測提供了一種新的方法[3]。

1灰色系統(tǒng)理論的基本原理

灰色系統(tǒng)是指即含有已知信息、又含有未知信息的系統(tǒng)，也稱為貧信息系統(tǒng)。灰色系統(tǒng)理論中，稱抽象系統(tǒng)的逆過程為灰色模型，亦稱GM，通常GM表示為GM(n，h)，當n=h=1時可以表示為單變量一階灰色預測模型[4]?；疑A測將一組信息不完全、具有很大隨機性的原始數(shù)據(jù)進行m次累加處理后，利用這些信息，建立灰色預測模型，從而確定系統(tǒng)未來的變化趨勢[5]。在所建模型中，單數(shù)列微分模型GM(1,1) 由于具有較好的擬合性與外推特性[6]，比較適合于可靠性分析中的疲勞壽命預測。

文中主要用非等間距GM(1,1)模型和中心逼近式灰色GM(1,1)模型兩種方法進行疲勞壽命預測，以及兩種方法得出結果的精確性比較。

2非等間距GM(1,1)模型

在實際的工作和試驗中得到的數(shù)據(jù)并不都是等間距或者有規(guī)律性的，而初始的GM(1,1)模型卻要求建模的數(shù)據(jù)序列必須是等間距的，所以，需要得到一組等間距的數(shù)據(jù)序列才能完成建模。這樣做就不可避免的產(chǎn)生隨機誤差，致使建模的精度降低。因此，利用非等間距GM(1,1)模型可以解決等間距數(shù)據(jù)處理帶來的誤差，用此方法找出非等間距數(shù)據(jù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可以進行數(shù)據(jù)預測。

2.1建立非等間距GM(1,1)模型

設初始序列為[7]：

X(0)(σ)={x(0)(σ1),x(0)(σ2),…,x(0)(σn)}Δσk=σk-σk-1≠c，c為常數(shù)。稱X(0)(σ)為非等間距序列。

X(1)(σ)={x(1)(σ1),x(1)(σ2),…,x(1)(σn)}為X(0)(σ)的一次累加(1-AGO)序列。

Z(1)(σ)={z(1)(σ1),z(1)(σ1),…,z(1)(σn)}為X(0)(σ)的緊鄰均值序列，

(1)

由此可以將GM(1,1)模型的表達式X(0)(σ)+aZ(1)(σ)=u轉化為：

X(0)(σk)+aZ(1)(σk)Δσk=uΔσk

(2)

式(2)稱為灰色模型。

式中：Δσk=σk-σk-1，a和u是模型參數(shù)。此時模型的白化方程為：

(3)

式(3)求解得：

X(1)(σ)=[x(0)(σ1)-u/a]e-a(σ-σ1)+u/a

(4)

同時得到非等間距GM(1,1)模型的響應式為：

(5)

其中：

(6)

(7)

2.2實例分析

從文獻[8] 的彎曲實驗的S-N曲線(圖1)中采集到41Cr4材料的疲勞壽命隨應力變化的數(shù)據(jù)(表1)。

表1　疲勞壽命隨應力變化的關系

圖1　S-N曲線

將原始數(shù)據(jù)處理x(0)(σi)=Ni/106得：

X(0)(σ)={0.87,0.155,0.047,0.021,0.0116,0.009}

Z(1)(σ)={0.9475,1.0485,1.0825,1.0988,1.1091}

Δσk={7.5,7.5,6.1,5.2,2.5}

將上面的數(shù)據(jù)代入式(6)和式(7)，用MATLAB軟件計算得：

即a=-0.1247,u=0.1383。

取x(0)(21.2)=0.87，可以得到非等間距GM(1,1)模型的時間響應為式(8)：

(8)

將σk和Δσk的值代入式(8)中可以得到不同應力下的疲勞壽命預測值。預測值與實驗數(shù)據(jù)的比較如表2。

表2　預測值與實驗數(shù)據(jù)的比較

由表2中的結果可以得出平均誤差為104.4%/6=17.4%，按照誤差等級評價17.4%<35%屬于好的等級范圍。為了更好的說明模型具有很高的擬合性，把壽命預測數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)用origin軟件繪制如圖2。

圖2　試驗壽命曲線與預測壽命曲線

從圖2中可以看出，在預測壽命曲線上中間點處與曲線總體走勢不符合，原因可能是由于試驗條件的改變導致誤差的產(chǎn)生。雖然兩條曲線在一些地方偏離較大，但是總體的擬合性還是很好的，說明非等間距GM(1,1)模型建模精度較高，對于非等間距序列的建模是非常實用和有效的[9]。

3中心逼近式灰色GM(1,1)模型

中心逼近式灰色GM(1,1)模型是針對等間距序列建模的。方法以及求解過程如下：

設x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為正離散點列，一次累加后的序列為：

x(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

圖3　曲線斜率與導數(shù)的關系

設一系統(tǒng)x(t)=aeut，則：

x(k+1)-x(k)=aeku(eu-1)

當u→0時，上面兩式子的右端接近，也可以說，當x(t)變化不大時，以x(k+1)與x(k)的差作為t=k+1/2時刻的導數(shù)更加合理。

其中離散形式的時間相應式為：

式中：

(9)

(10)

3.1實例分析

由于中心逼近式灰色GM(1,1)模型需要的數(shù)據(jù)是等間距的，所以從圖1的S-N曲線及表1的數(shù)據(jù)組中選擇等間距的4個應力22MPa,20MPa,18MPa,16MPa所對應的疲勞壽命8.2×105，10.9×105，15.2×105，23.1×105作為原始序列。求解如下：

x(0)=(8.2,10.9,15.2,23.1)作為原始序列，對此取m=2，且x(0)呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律，對x(0)直接建模，

把上面數(shù)據(jù)代入式(7)，式(8)得：

用MATLAB軟件計算得[a,u]T=[-0.3730,-0.7243]T，

即a=-0.3730,u=-0.7243。

(11)

將K=1,2,3,···，n，代入平方得x(0)的預測值與實驗數(shù)據(jù)的比較如表3所示。

表3　預測值與實驗數(shù)據(jù)的比較

平均誤差為3.12%/4=0.78%，預測精度p=1-0.78%=99.22%。將k=5，6，···，代入式(11)得，即為14MPa，12MPa，···，的疲勞壽命預測值[9]。

4結果與討論

兩種灰色建模方法的預測結果及精度比較見表4。

表4　兩種建模方法精度比較

從表4中數(shù)據(jù)可以看出非等間距GM(1,1)模型的預測精度小于中心逼近式GM(1,1)模型的預測精度。說明中心逼近式GM(1,1)模型精確度更高，預測效果更好。但是非等間距GM(1,1)模型的使用范圍很廣，操作簡便，數(shù)據(jù)預測沒有局限性。而中心逼近式GM(1,1)模型需要取等間距的序列，就帶來了數(shù)據(jù)取值的局限性，同時數(shù)據(jù)預測也具有局限性，這樣就造成中心逼近式GM(1,1)模型的使用性降低。

5結論

疲勞現(xiàn)象是一個發(fā)展變化受眾多因素影響的復雜過程，文中視疲勞問題為一個灰色系統(tǒng)，提出了非等間距GM(1,1)模型和中心逼近式GM(1,1)模型兩種預測疲勞壽命的方法。通過建立微分方程，求解預測出的實驗數(shù)據(jù)，然后與實際數(shù)據(jù)進行比較得到預測值具有很高的精度，這是傳統(tǒng)的疲勞壽命預測方法無法做到的。與一般的試驗數(shù)據(jù)處理方法相比，灰色系統(tǒng)理論中的灰色模型不僅需要的數(shù)據(jù)少，而且還避開了復雜繁瑣的模型建立，操作簡單實用性強。并且兩種灰色模型具有良好的通用性與準確性，為準確地確定疲勞壽命值提供了一種實用的分析方法。

參考文獻:

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[9] 史雪榮,王作雷,張正娣. 變參數(shù)非等間距GM(1,1)模型及應用[J]. 數(shù)學的實踐與認識，2006，36(6):216-220.

Application of Gray Model in Fatigue Life Forecast

WANG Hai-shan, LIU Feng, CAO Yan-long, CHEN Jin-chi

(Liaoning Shihua University, Fushun 113001, China)

Abstract:Forecasting fatigue flife is an important issue in the study of fatigue. The factors that affect the fatigue life are complex and uncertain. By using gray theory, the non-equidistance GM (1, 1) model and center approach gray GM (1, 1) model are proposed in this article, which are used to forecast the fatigue life. After analysing experimental data and building differential equation, MATLAB software is used to calculate the gray forecast. Compared with the experimental data, it comes to conclusion that the prediction accuracy is very high and it is proved that the gray theory is a simple and feasible approach.

Keywords:fatigue life; gray theory; non-equidistance GM (1, 1) model; center approximation type GM (1, 1) model

收稿日期：2014-12-09

中圖分類號：TH123+.1

文獻標志碼：B

文章編號：1671-5276(2015)03-0123-04

作者簡介：王海山(1987-)，男，碩士研究生，研究方向：材料疲勞壽命預測。