連分式的逼近計算及其Mathematica實現(xiàn)

李聲鋒 陳棟棟

(蚌埠學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，安徽 蚌埠 233030)

在數(shù)值計算中，由于多項式具有任意階可導(dǎo)、易于求積等特點，在很多情況下采用多項式逼近函數(shù)，如Taylor級數(shù)展開法、Maclaurin級數(shù)展開法等。但有時遇到函數(shù)在某點無界等情形，此時解決此類問題需要用到有理逼近。連分式是一個經(jīng)典的有理逼近工具，是研究非線性問題的首選方法，應(yīng)用廣泛。

Mathematica軟件是一款功能強大的符號計算語言，廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)過程中，利用Mathematica軟件平臺可以實現(xiàn)各種計算和仿真。我們在利用連分式逼近函數(shù)的近似計算過程中，借助于Mathematica軟件，編寫了程序，快速實現(xiàn)了連分式的逼近計算，并將計算結(jié)果與多項式級數(shù)逼近結(jié)果進行了比較。

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)2個復(fù)數(shù)列{an}和{bn}，稱形如

的分式為連分式(Continued fractions)，記作

2 連分式逼近函數(shù)

2.1 連分式逼近函數(shù)

式(2)前幾項的漸近分式分別為

2.2 逼近計算結(jié)果的Mathematica實現(xiàn)

為了直觀顯示連分式(2)的漸近分式逼近計算結(jié)果，下面分別取 x=0.65，x=8，進行逼近計算，并編寫Mathematica程序:

運行程序，我們不僅能看到給出的漸近連分式，還得到漸近分式的計算結(jié)果。當(dāng)x=0.65時，利用式(2)的四次漸近分式就能計算得到函數(shù)值f(0.65)=3.50;當(dāng) x=8.00 時，利用式(2)的十次漸近分式就能計算得到函數(shù)值f(8.00)≈7.00。具體計算結(jié)果見表1。

表1 式(2)漸近式在x=0.65與x=8.0時的函數(shù)值(取前10項)

2.3 連分式逼近與多項式逼近的比較

從表1可以看到，連分式在數(shù)值近似計算中能得到較好的逼近結(jié)果，下面考慮函數(shù) f(x)=的多項式逼近，并與連分式逼近進行比較。我們將函數(shù)作如下的Maclaurin級數(shù)展開

其中

利用Mathematica軟件計算Maclaurin展開式(3)在x=0.65與x=8.00時的近似結(jié)果，編寫程序如下:

運行上面的程序，我們可以看到Maclaurin展開式的部分和，還得到了部分和的計算結(jié)果。當(dāng)x=0.65時，利用式(3)的前6項之和就能計算得到函數(shù)值 f(0.65)=3.50;當(dāng) x=8.00 時，此時級數(shù)發(fā)散，無法利用式(3)的部分和得到函數(shù)值，具體計算結(jié)果見表2。

表2 式(3)的部分和在x=0.65與x=8.00的函數(shù)值(取前十項)

從表1和表2的計算結(jié)果，我們可以看到如下事實:

3 結(jié)語

本文通過實例討論了連分式逼近的近似計算問題，利用Mathematica軟件編寫程序，快速實現(xiàn)了連分式的逼近計算，并將計算結(jié)果與多項式級數(shù)逼近結(jié)果進行了比較。比較結(jié)果表明，連分式逼近函數(shù)比多項式級數(shù)逼近函數(shù)不僅速度較快，而且具有較大的收斂區(qū)域。在某種意義上說，連分式逼近是一種行之有效的逼近方法，在近似計算中可以獲得較優(yōu)的計算結(jié)果。

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