采用信息理論準則的信號源數(shù)估計方法及性能對比

成瑋,張周鎖,

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安)

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采用信息理論準則的信號源數(shù)估計方法及性能對比

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安)

為了從機械系統(tǒng)觀測混合信號中有效評估信號源的數(shù)目,以及解決數(shù)據(jù)點較大時貝葉斯信息準則(BIC)難以計算的問題,在剖析了3種信源數(shù)目估計準則(赤池信息準則(AIC)、最小描述長度(MDL)以及貝葉斯信息準則(BIC))的原理和算法的基礎上,提出了基于對數(shù)函數(shù)修正的改進貝葉斯準則(IBIC)。該準則利用對數(shù)運算將BIC目標函數(shù)中的多參數(shù)指數(shù)運算轉(zhuǎn)換為乘積運算,在不降低計算精度的條件下,顯著改善了BIC準則的計算效率和工程應用性能。仿真實驗分析表明:AIC與MDL具有近似的源數(shù)估計性能,對非線性調(diào)制成分非常敏感;從能量角度分析,提出的新準則容忍非線性調(diào)制成分(非線性調(diào)制信號能量占觀測信號總能量)能量比為5.15%,較AIC(0.07%)與MDL(0.08%)具有更好的魯棒性能。殼體結(jié)構(gòu)試驗臺聲源數(shù)目估計實驗表明,3種方法均可有效評估聲源數(shù)目。本研究對于模態(tài)階數(shù)選擇、系統(tǒng)復雜度分析以及基于機械系統(tǒng)信號源分離的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷具有學術(shù)意義和工程應用價值。

源數(shù)估計;信息理論準則;赤池信息準則;最小描述長度;貝葉斯信息準則

在大多數(shù)物理系統(tǒng)中,觀測信號可以建模為有限個信源和噪聲的線性疊加?；诰€性疊加理論的主分量分析[1]、盲源分離[2-3]、獨立分量分析技術(shù)[4-6]由于可有效分析這類物理系統(tǒng)而獲得廣泛的工程應用。信源有效分離的首要條件是精確估計信源數(shù)目。當前的信源數(shù)目估計方法在處理機械系統(tǒng)時由于結(jié)構(gòu)傳遞特性以及信源混合方式而受到限制,本文將探討基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法處理機械系統(tǒng)信號時的性能。

近十年來,國內(nèi)外許多學者通過改進現(xiàn)有信源數(shù)目估計方法和提出新的理論方法解決源數(shù)估計問題。如文獻[7]提出了多源干擾下的聲源數(shù)目和方位估計方法并給出了實驗驗證;文獻[8]提出了基于獨立分量分析的信源數(shù)目估計方法并將其應用于機械系統(tǒng)中;文獻[9]提出了一種基于線性陣列和嵌套數(shù)組的信源數(shù)目估計方法。然而,現(xiàn)有文獻中對信源數(shù)目估計理論方法研究較多,但應用源數(shù)估計方法解決機械系統(tǒng)工程問題的研究文獻很少。信源數(shù)目估計是有效分析系統(tǒng)信號組成成分以及復雜程度的關(guān)鍵,因此研究機械系統(tǒng)源數(shù)估計方法對于機械系統(tǒng)復雜程度分析以及振動噪聲溯源具有重要的工程價值。

與基于特征值分解通過設定噪聲子空間門限實現(xiàn)信源數(shù)目估計方法不同,基于信息理論的源數(shù)估計方法通過目標函數(shù)極值特性自適應估計信源數(shù)目,如赤池信息準則[10]、最小描述長度[11]、貝葉斯信息準則[12]等。然而,基于貝葉斯信息準則的源數(shù)估計方法計算復雜,并且存在當數(shù)據(jù)點數(shù)較大時難以計算的技術(shù)難題。針對上述問題,本文提出了一種改進的貝葉斯準則(IBIC),在不降低計算精度的條件下提高了計算效率,具有更好的工程應用性能。本研究通過數(shù)值仿真和實驗定量比較了上述方法應用于機械系統(tǒng)的性能,可用于模態(tài)參數(shù)選擇、系統(tǒng)復雜性分析、以及機械信號源盲分離,研究結(jié)論對于機械系統(tǒng)故障診斷與振動噪聲溯源具有重要的學術(shù)意義和工程價值。

1 源數(shù)估計理論

1.1 信源線性疊加模型

對于包含n個信號源S(t)=[s1(t),…,sn(t)]T的m個不同位置觀測獲取的混合信號X(t)=[x1(t),…,xm(t)]T,假定每個觀測混合信號分別是所有源信號與噪聲信號N(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]通過混合矩陣A={aij}m×n的線性疊加,于是觀測混合信號X(t)可以描述如下

(1)

假定R=E[XXT](E表示期望函數(shù))是觀測混合信號X(t)的自相關(guān)矩陣,特征值滿足λ1≥λ2≥…≥λm,L(n)是一個對數(shù)似然函數(shù),表達式如下

(2)

基于線性疊加理論的信號處理方法如主分量分析等的中心問題是選擇需要保留的分離分量個數(shù),將m維信號投影到n(n

1.2 赤池信息準則(AIC)

基于赤池信息理論準則的源數(shù)估計方法通過最小化目標函數(shù)AIC,實現(xiàn)模態(tài)階數(shù)或者源數(shù)n*的自適應判定,AIC計算原理如下

(3)

式中:N為數(shù)據(jù)長度。

AIC函數(shù)由兩部分構(gòu)成,第一項體現(xiàn)了主分量對參數(shù)擬合的好壞,隨著階數(shù)(信源數(shù)目)的增加而變小;第二項表示主分量n的多少,隨著階數(shù)的增加而變大。當兩者之和取最小值意味著權(quán)衡了兩方面的因素,進而獲得信源數(shù)目的次最佳估計。

1.3 最小描述長度(MDL)

基于最小描述長度準則的源數(shù)估計方法是通過最小化目標函數(shù)MDL實現(xiàn)源數(shù)n*的自適應判定,MDL計算原理如下

(4)

對比MDL與AIC目標函數(shù)可以看出,MDL采用了與AIC相近的信息理論準則,只是在兩者權(quán)重方面做了參數(shù)修正,本質(zhì)上都是對主分量數(shù)目與擬合性能的全面考慮。

1.4 貝葉斯信息準則(BIC)

基于貝葉斯信息理論準則的源數(shù)估計方法是通過最大化目標函數(shù)BIC實現(xiàn)源數(shù)n*的自適應判定,BIC計算原理如下

BIC(n)=p(X|n)≈

(5)

式中

(6)

(7)

Minka的實驗表明,BIC相對于源信號的概率分布十分穩(wěn)健,對數(shù)據(jù)點數(shù)較少的時候也表現(xiàn)出穩(wěn)健性[14]。但是,BIC或IBIC在使用中應該考慮兩個前提條件:

(1)混合信號數(shù)目m必須大于源信號數(shù)目n;

(2)觀測信號中應該混有少量的噪聲。

2 仿真分析

2.1 源信號和觀測信號

給定源信號s1(t)是一個正弦信號,模擬機械系統(tǒng)的簡諧振動;s2(t)是一個頻率調(diào)制信號,模擬機械系統(tǒng)的頻率調(diào)制特性;s3(t)是一個幅值調(diào)制信號,模擬機械系統(tǒng)的幅值調(diào)制特性;s4(t)是一個白噪聲信號,模擬機械結(jié)構(gòu)噪聲與環(huán)境噪聲。仿真實驗源信號的波形如圖1所示,其中a為加速度,g為重力加速度。

圖1 源信號波形圖

混合信號通過源信號以線性疊加與非線性調(diào)制混合產(chǎn)生,非線性混合因子σ用于定量反映各種方法對非線性成分的容忍性能,其中線性混合系數(shù)為隨機產(chǎn)生,非線性混合因子σ人為設定?；旌闲盘柹珊瘮?shù)見式(8),其波形如圖2所示。

圖2 觀測信號波形圖(σ=0.097 4)

(8)

從圖1可以看出,源信號1、2、3波形具有典型的特征信息:源信號1是典型的正弦函數(shù),源信號2具有明顯頻率調(diào)制特征,源信號3具有明顯的幅值調(diào)制特征,源信號4是白噪聲,波形非常復雜。圖2中所有觀測信號波形復雜,幾乎不能直接從觀測混合信號中識別出源信號波形特征信息。

2.2 信源數(shù)目估計方法性能分析

通過調(diào)整非線性混合因子σ可定量獲得非線性混合成分的魯棒性能,仿真實驗從σ=0.000 1開始逐步增加,AIC、MDL與IBIC 3種方法分別在σ=0.001 3、σ=0.001 5以及σ=0.097 4時失效,3種方法計算準確率如圖3所示。圖3表明,AIC與MDL性能非常接近,MDL較AIC魯棒性能稍優(yōu),IBIC較AIC與MDL具有更好的非線性調(diào)制成分魯棒性能,對于處理機械系統(tǒng)中廣泛存在的調(diào)制現(xiàn)象工程意義顯著。

圖3 基于信息理論準則方法的準確率比較

2.3 信源數(shù)目估計

AIC在σ=0.001 3、MDL在σ=0.001 5以及IBIC在σ=0.097 4條件下的估計結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出:當σ增至0.001 3時,AIC在n=5時獲得最小值-0.097 4;當σ增至0.001 5時,MDL在n=5時獲得最小值-0.070 8;當σ增至0.097 4時,IBIC在n=1時獲得最大值-0.893 5。換言之,AIC、MDL與IBIC分別在不同的非線性成分影響下失效,這進一步說明了機械系統(tǒng)調(diào)制成分對基于線性疊加理論的信源數(shù)目估計方法性能的嚴重影響,同樣也定量驗證了3種方法對非線性調(diào)制成分的魯棒性能。

圖4 不同參數(shù)條件下的源數(shù)估計結(jié)果

綜上分析,在包含弱非線性調(diào)制成分的仿真實驗中,AIC與MDL取得近似的源數(shù)估計性能,兩者對非線性調(diào)制成分的魯棒性差,比較而言MDL較AIC略優(yōu)。從能量角度分析,IBIC容忍非線性調(diào)制成分的能量比(噪聲能量占觀測信號總能量)為5.15%(觀測信號x6(t)非線性成分能量比為E[σs1s3]/(E[0.43s1]+E[0.27s2]+E[0.14s3]+E[0.32s4]+E[σs1s3])=5.15%,其中E為能量),IBIC較AIC(能量比為0.07%)與MDL(能量比為0.08%)具有更為顯著的魯棒性,較適合于處理殼體機械系統(tǒng)中信源數(shù)目估計。實際工程應用中必須提前考慮非線性混合成分能量比例。

3 實驗研究

3.1 實驗臺簡介

為了定量比較基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法處理機械系統(tǒng)的性能,搭建了殼體結(jié)構(gòu)實驗臺。實驗臺基本結(jié)構(gòu)與實物圖分別如圖5a和5b所示。實驗中,通過距離殼體0.5m的不同方位傳感器陣列獲取觀測信號,實驗參數(shù)如表1所示,源信號與觀測信號波形分別如圖6和圖7所示。

表1 實驗參數(shù)列表

從圖6中可以看出:源信號1和源信號2具有典型的周期特征,喇叭波形信息與理論波形特征信息非常接近,具有典型正弦波形特征;源信號3波形信息較為復雜,具有周期性成分與幅值調(diào)制成分混合疊加的特征。相比源信號波形,圖7中所有觀測信號波形較為復雜,難以直接從觀測混合信息中評估出準確的信源數(shù)目和波形信息。圖8表明,雖然所有觀測信號均含有不同幅值的840、1 600、3 000 Hz頻率成分,但是由于觀測信號為各個源信號的復雜混合,不能直接從觀測信號中辨識出獨立源信號的主要組成成分。此外,許多工程應用中信源真實波形信息是難以直接獲取,因此信源數(shù)目估計不僅提供系統(tǒng)復雜程度的精確認識,降低了問題維數(shù)(難度),而且對盲源分離提供了準確源數(shù),可顯著提高其信源分離能力。

a:端蓋; b:喇叭I; c:左支撐肋; d:喇叭II; e:殼體;f:電機; g:右支撐肋; h:橡膠彈簧; i:支架 (a)基本結(jié)構(gòu)

(b)實物圖圖5 殼體結(jié)構(gòu)實驗臺

圖6 源信號波形圖

圖7 觀測信號波形圖

圖8 觀測信號頻譜圖

3.2 源數(shù)估計

基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法分析機械系統(tǒng)聲學信號,結(jié)果如圖9所示。從圖9中可以明顯看出:隨著信源數(shù)目的增加,AIC與MDL變化趨勢近似,在n*=4時目標函數(shù)分別取得極小值-0.980 6和-0.817 1;IBIC變化較小,在n*=4時目標函數(shù)取得極大值1.000。從基于信息理論準則的定義可知,3種基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法認為6組觀測混合信號中包含有4個信源,這與實驗臺3個機械噪聲源不符?？紤]到實驗設置及環(huán)境噪聲的影響,研究中將利用獨立分量分析方法進行信號分離,提取分離分量并定量分析觀測信號中包含的源信息成分,進而對基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法提供可靠的實驗驗證。

圖9 基于信息理論準則的信源數(shù)目估計結(jié)果

3.3 有效性驗證

為了驗證基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法處理機械噪聲信息的有效性,利用獨立分量分析方法,將6組觀測信號在信源數(shù)目為4的初始條件下進行了獨立分量分離,所提取的獨立分量波形如圖10所示。對比圖10和圖6可以看出,獨立分量1與源信號1波形非常近似,具有典型的正弦周期特征;獨立分量2與源信號2波形一致,具有清晰的正弦特征信息;獨立分量3與源信號3特征近似,都含有周期成分并有明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象;獨立分量4波形復雜,與各個源信號波形具有明顯的差異。

圖10 盲源分離提取獨立分量波形圖

波形信息特征分析僅能給出定性的判斷,研究將利用精確的頻譜特征信息對比給出定量說明。源信號和獨立分量的頻譜分別如圖11和圖12所示。圖11表明:源信號1含有明顯的特征頻率3 kHz;源信號2含有明顯的特征頻率1.6 kHz;源信號3的頻譜成分主要分布于0.4～1.3 kHz內(nèi),并具有顯著的特征頻率0.84 kHz,上述3個特征頻率均包含在圖8所示觀測信號中。

圖11 源信號頻譜圖

圖12 盲源分離提取獨立分量頻譜圖

對比圖11與圖12可以看出:獨立成分1、2、3分別與源信號1、2、3具有相同的特征頻率,表明觀測信號中包涵了源信號1、2、3的波形特征信息;獨立分量4頻譜成分復雜,頻譜無明顯特征信息,能量分布較為廣泛,包含了從0～5 kHz頻段內(nèi)成分,特征與白噪聲頻譜特征類似,分析認為是實驗中環(huán)境噪聲所致。

通過獨立分量分析的信源分離,以及分離分量與源信號的波形與頻譜特征分析可以看出:6組觀測混合信號中包涵了全部3個源信號,并且在實驗過程中額外含有了環(huán)境噪聲信息,致使信源數(shù)目從3變成4,因此實驗分析認為真實信源數(shù)目為4。這與基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法得到的結(jié)論一致,進而驗證了基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法在處理機械噪聲信息中的有效性。

4 結(jié) 論

信號源數(shù)目估計是準確分析系統(tǒng)復雜程度的前提條件,也是盲信號處理的關(guān)鍵技術(shù)。本文剖析了3種基于信息理論準則的信源數(shù)目估計方法及其計算原理,并改進了基于貝葉斯信息理論準則的信源數(shù)目估計方法,顯著提高了其計算效率和工程應用性能。仿真分析表明,AIC與MDL具有近似的信源數(shù)目估計性能,兩者對線性疊加系統(tǒng)有效,但對非線性調(diào)制成分非常敏感,IBIC較AIC與MDL對非線性混合特征具有更好的魯棒性能,對于機械系統(tǒng)具有較好的工程應用價值。殼體結(jié)構(gòu)實驗臺聲源數(shù)目估計表明,3種方法均有效估計出了信源數(shù)目為4(3個機械噪聲源與1個環(huán)境噪聲源)。借助獨立分量分析信源分離、波形定性分析與頻譜定量分析,基于信息理論準則的信源數(shù)目估計有效性得到了可靠的實驗驗證。研究為模態(tài)階數(shù)選擇、系統(tǒng)復雜性分析以及基于機械系統(tǒng)信源分離的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷技術(shù)提供了重要的先驗信息。

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(編輯 杜秀杰)

Information Criterion-Based Source Number Estimation Methods with Comparison

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To effectively evaluate the source number of mechanical systems from the measured mixed signals, and solve the calculating difficulty of BIC for large data points, three information criterion-based source number estimation methods, Akaike information criterion (AIC), minimum description length (MDL), and Bayesian information criterion (BIC), are comparatively studied and an improved BIC, named IBIC, is proposed following an exponential function modification, which transforms the multi-parameter exponential calculating to multiplications. Without decreasing the accuracy, IBIC obviously improves the calculating efficiency and engineering application performances. The numerical case study results show that AIC and MDL obtain the similar performances on source number estimation, and they are both very sensitive to the nonlinear modulation effects. In respect to signal energy ratios, the proposed method has a robustness tolerance on nonlinear modulation effects for 5.15%, which is higher than that of AIC (0.07%) and MDL (0.08%). The results of source number estimation for acoustical signals of a test bed with shell structures show that all the three methods are effective for the given acoustical signals. This work benefits model order selection, complexity analysis of a system, and applications of source separation to mechanical systems for the condition monitoring and fault diagnosis purposes.

source number estimation; information criteria; Akaike information criterion; minimum description length; Bayesian information criterion

2014-12-12。 作者簡介:成瑋(1983—),男,講師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51305329);教育部高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20130201120040);中國博士后科學基金資助項目(2013M532032,2014T70911)。

時間:2015-05-04

10.7652/xjtuxb201508007

TH17

A

0253-987X(2015)08-0038-07

網(wǎng)絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150504.0900.004.html