用于機(jī)械系統(tǒng)固有頻率及阻尼比計(jì)算的改進(jìn)頻域方法

孟慶虎,,朱永生,刁瑞朋

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安)

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用于機(jī)械系統(tǒng)固有頻率及阻尼比計(jì)算的改進(jìn)頻域方法

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安)

針對(duì)傳統(tǒng)的機(jī)械系統(tǒng)固有頻率及阻尼比計(jì)算方法中,時(shí)域方法易造成主觀誤差,頻域方法存在一定精度限制的問題,提出了一種利用指數(shù)衰減正弦信號(hào)頻譜校正算法計(jì)算系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的新方法。該方法首先利用基于漢寧窗的插值頻譜校正方法獲得頻率偏移量和衰減因子,再結(jié)合有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)與指數(shù)衰減正弦信號(hào)的相似性關(guān)系求取固有頻率,進(jìn)而獲得系統(tǒng)阻尼比和有阻尼固有頻率,最終計(jì)算出無阻尼固有頻率。分別使用傳統(tǒng)時(shí)域方法和本文提出的頻域方法對(duì)壓電懸臂梁的固有頻率及阻尼比進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果表明新方法擁有更高的計(jì)算精度和更好的信噪比適應(yīng)性。與傳統(tǒng)的頻率擬合方法相比,本文所提方法也更簡單,計(jì)算效率更高。

衰減信號(hào);頻譜校正;固有頻率;阻尼比;壓電懸臂梁

系統(tǒng)自由振動(dòng)幅值逐步減少的過程稱為阻尼現(xiàn)象[1],其本質(zhì)是振動(dòng)系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)換,即從機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能或其他形式能量的過程。阻尼比是指阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比,用來表達(dá)結(jié)構(gòu)阻尼的大小,描述結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中能量的耗散情況。較為精確地獲得系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比,在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算、結(jié)構(gòu)故障診斷、振動(dòng)實(shí)時(shí)監(jiān)控、響應(yīng)預(yù)測(cè)、荷載識(shí)別、能量轉(zhuǎn)換等課題研究和工程實(shí)際應(yīng)用方面,有著很重要的作用。

目前常見的計(jì)算系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的方法可分為時(shí)域法和頻域法兩種。時(shí)域法有對(duì)數(shù)衰減率法、易卜拉欣時(shí)域法(Ibrahim time domain, ITD)[2]、少時(shí)時(shí)域法(spare time domain, STD)[3]、隨機(jī)減量法[4]等;頻域法有半功率帶寬法[5]、峰值法、導(dǎo)納圓法等[6]。其中,時(shí)域方法具有操作簡單、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn),但是該方法需要人工進(jìn)行選點(diǎn),會(huì)帶來一定的主觀輸入誤差。此外,在信噪比較低的信號(hào)時(shí)域波形上也難以準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)周期,這也為正確地選點(diǎn)造成了困難。半功率點(diǎn)法應(yīng)用較廣,但存在柵欄效應(yīng)、能量泄漏的離散譜線上很難精確找到半功率點(diǎn)。傳統(tǒng)的頻域識(shí)別方法在進(jìn)行快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)的時(shí)候,亦會(huì)導(dǎo)致一定的能量泄漏,從而在精度上受到一定的限制。如何提高阻尼比識(shí)別精度,使之便于工程實(shí)際應(yīng)用,便成為了一項(xiàng)難題。

受到指數(shù)衰減信號(hào)頻域插值校正理論的啟發(fā),本文提出了一種新型的識(shí)別系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的指數(shù)衰減正弦信號(hào)頻譜校正方法。利用離散傅里葉變換后兩相鄰譜線的比值關(guān)系可以精確獲得衰減因子,而這個(gè)重要的頻譜校正參數(shù)與阻尼比存在確定的關(guān)系。與傳統(tǒng)的時(shí)域方法和頻域方法相比,本文方法利用校正的信號(hào)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算避免了人工選點(diǎn)造成的主觀誤差,而通過插值方法校正出的固有頻率和阻尼比基本不受采樣率的影響,具有較高的估計(jì)精度。同時(shí),本文方法又具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和更簡單的計(jì)算過程,并適用于多模態(tài)的阻尼比的計(jì)算。使用本文方法計(jì)算了壓電懸臂梁固有頻率和阻尼比,并與傳統(tǒng)時(shí)域方法進(jìn)行了對(duì)比,獲得了較為準(zhǔn)確的結(jié)果,證明本文所提方法可以作為計(jì)算系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的一種可選方法。

1 方法描述

1.1 基于頻域差值的非平穩(wěn)信號(hào)參數(shù)識(shí)別方法

由M個(gè)頻率分量組成的指數(shù)衰減正弦信號(hào)一般形式為

(1)

式中:Am、fm、φm為第m個(gè)頻率分量的幅值、頻率、初相位;αm為第m個(gè)頻率分量的衰減因子,該參數(shù)表征指數(shù)衰減正弦信號(hào)的衰減速率,衰減因子越大,信號(hào)幅值的衰減速率越快;N為采樣點(diǎn)數(shù)。其中一單頻指數(shù)衰減正弦信號(hào)可表示為

(2)

式(2)的離散傅里葉變換為

X[k]=A0ejφ0W[k-f0;α0],k=0,…,N-1

(3)

式中:W[k-fm;αm]由下式給出

(4)

假設(shè)頻率f0的理論位置為θ0,其兩側(cè)的兩根離散譜線的位置分別為k0-1和k0,則存在如下關(guān)系

(5)

由式(3)可知,f0兩側(cè)的兩根譜線對(duì)應(yīng)值為

(6)

由式(5)和式(6)可知,f0兩側(cè)兩根譜線的離散傅里葉變換比值為

(7)

定義變量

(8)

將式(4)和式(8)代入式(7),可解出τ的值為

(9)

由式(8)可知,τ為一復(fù)數(shù),根據(jù)復(fù)數(shù)模和幅角的定義可知

(10)

式中:arg(τ)為τ的幅角。

因此,指數(shù)衰減正弦信號(hào)頻率的校正值為

(11)

由式(3)可知

A0=|X[k]|/|W[-δ0;α0]|

φ0=arg(X[k])-arg(W[-δ0;α0])+π/2

(12)

基于矩形窗的頻域差值方法存在頻譜泄漏大、衰減因子偏差較大的不足。為了有效地抑制頻譜泄漏的影響,提高頻譜參數(shù)估計(jì)的精度,刁瑞朋等提出了基于漢寧窗的指數(shù)衰減正弦信號(hào)矢量插值頻譜校正方法并推導(dǎo)出了具體的實(shí)現(xiàn)公式,可獲得衰減因子和頻率偏移量的校正值[7]

(13)

(14)

頻率的校正值為

(15)

幅值和相位的校正值為

(16)

(17)

至此,我們獲得了指數(shù)衰減正弦信號(hào)基于漢寧窗的插值頻譜校正公式。為了方便起見,將此插值頻譜校正方法簡稱為HDIDFT(Hanning damping interpolated discrete Fourier transform)。

本文擬采用基于漢寧窗的指數(shù)衰減正弦信號(hào)矢量插值頻譜校正方法,并根據(jù)振動(dòng)力學(xué)的公式,提出一種計(jì)算系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的方法。

1.2 基于頻域方法的系統(tǒng)固有頻率和阻尼比計(jì)算

由振動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知,系統(tǒng)欠阻尼情形單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)[8]為

(18)

根據(jù)三角函數(shù)和差化積公式,式(18)可表示為

(19)

其中

式(19)表明,欠阻尼情形的單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)是一種振幅按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減的簡諧振動(dòng),與指數(shù)衰減信號(hào)式(1)具有相同的表示形式。對(duì)比兩個(gè)公式可以看出,式(19)中的-ζωn即是式(1)中的衰減因子項(xiàng)2πα,而有阻尼系統(tǒng)的固有頻率ωd與式(1)中2πf意義相同,即2πf為系統(tǒng)的有阻尼固有頻率,而衰減因子2πα和頻率f剛好是本文提出的頻譜校正方法所校正出的兩個(gè)參數(shù),見式(13)和式(15)。由此可見,指數(shù)衰減信號(hào)的頻域插值頻譜校正方法可以用來計(jì)算欠阻尼情形下的阻尼比及固有頻率。

下面給出本文提出的利用指數(shù)衰減信號(hào)頻譜校正方法計(jì)算阻尼比的公式。由式(1)和式(19)可知

α=-ζωn/2π

(20)

則有阻尼固有頻率ωd和衰減因子α的比值為

(21)

根據(jù)式(20)即可求出阻尼比

(22)

式中:fd=ωd/2π為有阻尼固有頻率,單位為Hz。

具體計(jì)算阻尼比時(shí),首先用指數(shù)衰減正弦信號(hào)頻域插值校正方法獲得衰減因子α和有阻尼固有頻率fd兩個(gè)值,代入式(21)即可求出阻尼比ζ和固有頻率ωd。然后根據(jù)ωd與ωn的關(guān)系即可求出系統(tǒng)的無阻尼固有頻率為

(23)

2 壓電懸臂梁固有頻率及阻尼比實(shí)驗(yàn)

隨著無線傳感設(shè)備及微機(jī)電系統(tǒng)的日益發(fā)展,以化學(xué)電池為主的供能方式的弊端日漸顯露。為實(shí)現(xiàn)微機(jī)電系統(tǒng)的長時(shí)間供能,需要大力發(fā)展能量回收技術(shù),將外界能量轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)可利用的電能。由于振動(dòng)現(xiàn)象幾乎無處不在且具有較高的能量密度,因此對(duì)振動(dòng)能量的轉(zhuǎn)化及回收利用的研究在近年逐步興起。目前,振動(dòng)能量回收技術(shù)主要分為靜電式、電磁式和壓電式3類。其中,壓電式方法以其具有的結(jié)構(gòu)簡單、不發(fā)熱、無電磁干擾、清潔環(huán)保和易于微型化等諸多優(yōu)點(diǎn)而得到了極大重視[9-10]。

壓電發(fā)電裝置利用環(huán)境中的振動(dòng)使壓電材料發(fā)生變形來產(chǎn)生電能,其核心部件是換能器,它決定了系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換效率[10]。目前,最常用的換能器結(jié)構(gòu)為懸臂梁式結(jié)構(gòu),如圖1所示。換能器設(shè)計(jì)的一個(gè)基本要求是其諧振頻率與外界的振動(dòng)頻率一致,使電能輸出最大,因此需要對(duì)其形狀和結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。理論分析壓電懸臂梁的電能輸出時(shí),將其阻尼設(shè)為瑞利阻尼,忽略質(zhì)量阻尼,而只考慮材料的結(jié)構(gòu)阻尼,此時(shí)壓電懸臂梁的機(jī)電耦合微分方程中的阻尼系數(shù)可由阻尼比和固有頻率計(jì)算得到。

圖1 壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)圖

具體實(shí)驗(yàn)中,將壓電懸臂梁固定在Z型支架上,如圖2所示。給其自由端一個(gè)微小的瞬時(shí)位移激勵(lì),然后讓其自由振動(dòng),利用電渦流位移傳感器測(cè)量質(zhì)量塊在垂直方向發(fā)生的位移量,進(jìn)而利用該位移量計(jì)算求取其固有頻率及結(jié)構(gòu)阻尼比。采集信號(hào)時(shí),設(shè)置采樣率為1 000 Hz,從采集信號(hào)中截取采樣時(shí)長為601 ms的數(shù)據(jù)。圖3給出了測(cè)得的質(zhì)量塊自由衰減時(shí)域曲線和FFT波形圖。

圖2 壓電懸臂梁實(shí)驗(yàn)圖

3 對(duì)比分析

下面分別用時(shí)域方法和基于頻譜校正的頻域方法計(jì)算壓電懸臂梁的固有頻率和阻尼比,并將兩種方法進(jìn)行對(duì)比。

3.1 時(shí)域方法

時(shí)域方法[11-13]是一種簡便有效的計(jì)算自由振動(dòng)阻尼比和固有頻率的方法。具體來說,分別記錄時(shí)域曲線上相隔固定周期的幾個(gè)時(shí)刻的位移值,然后利用式(24)計(jì)算出系統(tǒng)的阻尼比,根據(jù)采集到的信號(hào)周期估計(jì)出固有頻率[10]

(24)

式中:N為計(jì)算阻尼比需要的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù);τ為相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)間所包含的信號(hào)周期數(shù)。

(a)時(shí)域波形圖

(b)FFT頻譜圖圖3 壓電換能器自由衰減時(shí)域波形及FFT頻譜圖

本例中每隔2個(gè)周期選擇一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),共選擇7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),即N=7,τ=2。數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置和對(duì)應(yīng)的位移值分別見圖4和表1。

圖4 計(jì)算阻尼比的7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)

使用時(shí)域方法,利用7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算出了6組阻尼比和固有頻率。表2給出了使用不同區(qū)間的數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果。

表1 不同數(shù)據(jù)點(diǎn)的位移

表2 使用不同區(qū)間計(jì)算出的阻尼比

3.2 基于衰減信號(hào)參數(shù)估計(jì)的頻域方法

為了用頻域方法計(jì)算懸臂梁的固有頻率和阻尼比,首先需要用頻域插值校正出固有頻率和衰減因子的準(zhǔn)確值。表3給出了FFT和HDIDFT計(jì)算出的信號(hào)參數(shù),由于FFT不能計(jì)算出衰減因子,因此該項(xiàng)的值為空。

將表3中由HDIDFT計(jì)算出的有阻尼固有頻率和衰減因子代入式(22),則阻尼比為

表3 信號(hào)的FFT和HDIDFT計(jì)算結(jié)果

(25)

將有阻尼固有頻率的值代入式(23),則系統(tǒng)的無阻尼固有頻率為

fn=[1-0.01982]-1/2×28.5=28.506 (Hz)

(26)

以上對(duì)阻尼比和固有頻率的計(jì)算結(jié)果表明,時(shí)域方法和本文提出的利用指數(shù)衰減正弦信號(hào)頻譜校正算法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率和阻尼比的方法具有基本相似的計(jì)算結(jié)果。本文方法還可應(yīng)用于多模態(tài)的阻尼比的計(jì)算中。由于本文方法校正出的固有頻率值和衰減因子相對(duì)準(zhǔn)確,基于二者計(jì)算出的參數(shù)也較時(shí)域方法要準(zhǔn)確些。

4 結(jié) 論

指數(shù)衰減正弦信號(hào)廣泛存在于機(jī)械系統(tǒng)中,因此對(duì)該類信號(hào)進(jìn)行分析和參數(shù)識(shí)別具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。在分析有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)方程的基礎(chǔ)上,結(jié)合指數(shù)衰減正弦信號(hào)插值頻譜校正技術(shù),本文提出一種利用指數(shù)衰減正弦信號(hào)頻譜校正算法來計(jì)算阻尼比和固有頻率的新方法,并給出了計(jì)算公式。該方法利用校正的信號(hào)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算,從而避免了人工選點(diǎn)造成的主觀誤差,而通過插值方法校正出的固有頻率和衰減因子基本不受采樣率的影響,具有較高的估計(jì)精度。為了驗(yàn)證該方法的性能,使用其對(duì)壓電懸臂梁的固有頻率和阻尼比進(jìn)行計(jì)算。與傳統(tǒng)時(shí)域方法相比,本文所提方法適應(yīng)性更好,精度更高,計(jì)算過程也更簡單。與傳統(tǒng)的頻率擬合方法相比,本文所提方法也更簡單,計(jì)算效率更高。

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(編輯 武紅江)

A New Frequency-Domain Algorithm to Calculate Natural Frequency and Damping Ratio of Mechanical Systems

(School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

A new algorithm to calculate the system damping ratio and natural frequency using frequency spectrum correction of exponentially decaying sinusoidal signals is proposed to solve the problem that time domain methods are easy to cause subjective errors and there exists the accuracy limit problem in frequency domain methods in traditional methods to calculate natural frequencies and damping ratios of mechanical systems. The interpolation spectrum correcting method based on Hanning-window is used to obtain frequency deviations and damped factors. Then the natural frequency is calculated by combining similarity relations between damping free vibration responses and exponentially decaying sinusoidal signals, and the system damping ratio and damped natural frequency are obtained. The undamped natural frequency is finally calculated. Both a traditional time domain method and the proposed frequency domain method are respectively used to calculate the natural frequency and damping ratio of a piezoelectric cantilever beam. The results show that the proposed algorithm has a higher calculation accuracy and better adaption of signal to noise ratio. Comparisons with the traditional frequency fitting method show that the new algorithm is simpler and its computational efficiency is higher.

damped signal; frequency spectrum correction; natural frequency; damping ratio; piezoelectric cantilever

2015-03-16 。 作者簡介:孟慶虎(1983—),男,博士生;朱永生(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275380)。

時(shí)間:2015-05-21

10.7652/xjtuxb201508001

TN911.72

A

0253-987X(2015)08-0001-05

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150521.0901.001.html